盛 文 任 吉

（空軍預警學院，湖北 武漢 430019）

引 言

傳統(tǒng)的海雜波模型都存在共同的缺點，一方面出于數(shù)據(jù)擬合和數(shù)學上的方便對海雜波模型進行了一定的簡化，另一方面只是對指標的某一種側面特征的刻畫從而沒有完全地反映出海雜波的本性。海雜波的分布隨著海情、風速、浪高等因素變化而變化［1］，往往就呈現(xiàn)出時變性和非平穩(wěn)性［2］，因此只用傳統(tǒng)的模型來描述海雜波是不確切的。為了得到對海雜波性質更深的理解，更多新的概念被關注［3-7］，用于對海雜波的描述和建模，而以混沌、分形和吸收子為研究對象的非線性理論正好可以勝任這一工作。迄今為止，國內外已有大量的學者將精力投入到基于非線性理論的海雜波分析。

利用非線性理論針對以目標檢測為目的的海雜波特性分析研究還主要集中在微波波段。加拿大McMaster大學以S.Haykin為代表的團隊的實驗室為研究高分辨雷達海雜波，建立了一部著名的對海觀測實驗雷達——X波段海面浮冰多參數(shù)成像雷達（IPIX），該雷達的數(shù)據(jù)被廣泛地用于混沌和分析特性研究，并首次得出了海雜波具有混沌特性的結論［8］，而其數(shù)據(jù)和結論隨后被國內外本領域內研究者多次引用［7，9-13］。在 HF波段上國內外也有許多學者利用混沌理論開展了大量的研究，同樣并得出HF海雜波具有混沌特性的結論［14］。值得注意的是利用混沌理論主要是集中在高頻地波超視距雷達的海雜波上。

盡管不同頻段的海雜波特性呈現(xiàn)出大體相似的特性，但是由于缺乏必要的實驗手段，高頻天波雷達海雜波的散射機理尤其復雜，Bragg散射比微波波段要顯著，同時存在電離層帶來的嚴重影響［15-16］以及各種脈沖干擾［4］，所以人們都公認海雜波背景下的目標檢測存在著大的困難，尤其是對于低速目標的檢測。國內外針對高頻天波雷達海雜波特性分析的研究非常少。

本文詳細地分析了高頻天波雷達的混沌特性，從非線性檢驗、相空間重構、計算最大Lyapunov指數(shù)和Kolmogorov熵以及短期可預測性檢驗等方面證實了高頻天波雷達海雜波確實具有混沌特性，這一結論對高頻雷達目標探測和海雜波建模研究具有一定意義。

1.混沌動態(tài)特性分析及驗證方法

對于給定的實驗時間序列，至今還用單獨的準則來判斷其是否是混沌過程。通常，如果滿足一組準則就可以判斷該序列來自于一個混沌系統(tǒng)，對于這些準則可以歸納如下［8］:

1）相應過程應該是非線性的。

2）相應過程的吸收子關聯(lián)維數(shù)（DC）應該具有分形特征。此外，DC應隨嵌入維數(shù)（m）的增加趨于一個常數(shù)值。

3）產生相應過程的系統(tǒng)的動態(tài)特性應對于初始條件具有敏感性，即相應的過程至少具有一個正的Lyapunov指數(shù)。且由于相應的系統(tǒng)為耗散系統(tǒng)，所以所有的Lyapunov指數(shù)之和應為負。

4）系統(tǒng)的Kolmogorov熵應為正數(shù)且為有限值，更進一步應接近所有正的Lyapunov指數(shù)之和。

1.1 非線性檢驗基本原理

通過檢驗數(shù)據(jù)的非線性成分間接地判斷其混沌特性是判定時間序列混沌特性的方法之一。主要代表就是著名的替代數(shù)據(jù)法（SDT）［17］。該方法的基本思想是首先指定某種線性隨機過程為零假設，并依據(jù)該假設產生相應的一組替代數(shù)據(jù)，分別計算比較原始數(shù)據(jù)和替代數(shù)據(jù)集的檢驗統(tǒng)計量，采用以下高階統(tǒng)計量作為非線性判據(jù)由式（1）計算并觀測替代數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)的非線性判據(jù)的差異，如果原始數(shù)據(jù)所算的值與替代數(shù)據(jù)集的值有顯著差異，則拒絕該零假設，即該零假設不成立，說明原始數(shù)據(jù)中存在確定性的非線性成分。

1.2 相空間重構與吸收子

1980年，N.H.Packard［18］等人提出采用延遲坐標法，利用觀測的時間序列來重構原始動力系統(tǒng)。簡單來說就是對于給定的時間序列｛x（n）｝，利用延遲時間τ來構造m維的相空間矢量

根據(jù)1981年F.Takens嵌入延時定理:對于無限長、無噪聲的dA維混沌吸引子的標量時間序列｛x（n）｝，只要維數(shù)m≥2dA+1，總可以在拓撲不變的意義上找到一個m維的嵌入相空間。

針對偽最近鄰法具有對噪聲敏感和需要主觀選擇參數(shù)等缺點，Cao［19］對其進行了改進。Cao方法歸納為:

定義

如果時間序列來自于一混沌系統(tǒng)，當d大于某一值d0時，E1（d）停止變化，且d0+1即為最小嵌入維數(shù)。同時，Cao定義E2（d）

隨機序列數(shù)據(jù)不具備可預測性，E2（d）將恒等于1；而確定性序列數(shù)據(jù)問的相關性是依賴于嵌入維數(shù)d值變化的，即總存在一些m值使得E2（d）≠1.從而，可以通過E2（d）判定信號是隨機序列還是確定性序列。

由此可以看出，選擇合適的τ是正確使用Cao算法的前提。一種比較常用的估計嵌入延時τ的方法就是CC法，但是對離散時間數(shù)據(jù)最好取τ為1［19-20］，仿真分析使用的海雜波為經(jīng)過積累的離散數(shù)據(jù)，故取嵌入延時τ=1.

1.3 Lyapunov指數(shù)和Kolmogorov熵

混沌動力系統(tǒng)的一種定性描述就是相空間中兩個相鄰的軌道以指數(shù)率速度分離，而最大Lyapunov指數(shù)是對于吸收子在軌道空間演化的一種量化的指標，具有正的Lyapunov指數(shù)就表明動力系統(tǒng)是混沌的。由于HF雷達海雜波的數(shù)據(jù)量有限，所以利用Rosenstein小數(shù)據(jù)量法計算最大Lyapunov指數(shù)。

1.3.1 Rosenstein小數(shù)據(jù)量法計算最大Lyapunov指數(shù)的基本原理

尋找相空間軌道上第j點Yj（t0）的最近鄰點Yj'（t0），即滿足dj（0）=min‖Yj（t0）-Yj'（t0）‖，其中｜j-j′｜大于平均軌道周期，則最大Lyapunov指數(shù)可以表示為

式中:Δt為樣本周期；dj（i）為基本軌道上第j對最近鄰點對經(jīng)過i個離散時間后的距離。演化式（8）且根據(jù)最大Lyapunov指數(shù)的幾何意義，有

可以得到

顯然，利用最小二乘擬合式（10）的斜率即為最大Lyapunov指數(shù)，其單位為nats／Δt（奈特／采樣）。

1.3.2 Kolmogorov熵K2

Kolmogorov熵是系統(tǒng)的混沌水平的測度，即度量著系統(tǒng)運動的混亂和無序的程度，根據(jù)著名格拉斯伯格-龐加萊算法（GPA），K2為

式中:（l）為尺度l、重構維數(shù)為m下的關聯(lián)積分。改進的GPA方法為

K2衡量了一個系統(tǒng)具有混沌特性的程度:K2=0表明系統(tǒng)是規(guī)則的；K2→∞表明系統(tǒng)是隨機的；0＜K2＜∞表明系統(tǒng)具有混沌特性。

1.4 基于Lyapunov指數(shù)的預測

根據(jù)A.Wolf等人提出的采用最大Lyapunov指數(shù)進行混沌時間序列的預測方法，設相空間中YM為預測的中心點，其最近的鄰點為YK，距離為dM（0），則存在下列關系

YM和YK經(jīng)過一步演化成為YM+1和YK+1，根據(jù)最大Lyapunov指數(shù)的物理含義可得

在式（14）中，只有YM+1中最后一個分量YM+1，m=x（tn+1）未知，并可按式（15）計算出來。

預測均方誤差定義為

這就是時間序列的一步預測法。

2.仿真分析

仿真分析采用的海雜波數(shù)據(jù)是在HF波段某雷達上采集到的海面后向散射回波信號。圖1（a）和圖1（b）分別給出距離為34點I、Q通道的2048個重復周期的海雜波采樣回波幅度值。對該點的I、Q數(shù)據(jù)的2048個采樣周期數(shù)據(jù)作快速傅里葉變換（FFT）得到圖1（c）和圖1（d）所示海雜波頻譜分布圖形。

圖1 典型的高頻海雜波數(shù)據(jù)及其Doppler譜

2.1 高頻海雜波數(shù)據(jù)進行SDT非線性檢驗分析

對實測高頻海雜波I、Q路信號進行非線性檢驗。首先產生99批替代數(shù)據(jù)，利用式（1）得到統(tǒng)計量的分布分別如圖2（a）和2（b）所示。原始數(shù)據(jù)的高階統(tǒng)計量的分布與替代數(shù)據(jù)的統(tǒng)計量的分布差異明顯，所以，海雜波數(shù)據(jù)具有非線性特性。海雜波具有非線性，并不代表海雜波就一定具有混沌特性，而僅僅表示海雜波是一個非線性動力學過程。

為了使研究不失一般性，我們分析了所有的數(shù)據(jù)，得到結果為:線性批數(shù)和非線性批數(shù)分別為3和509批。由于可以認為所有的海雜波數(shù)據(jù)均為純雜波，得到的結果也就是高頻雜波總體上表現(xiàn)出非線性。

2.2 相空間重構的參數(shù)確定分析

為了能夠更加直觀地觀察海雜波的吸收子在相空間中的行為，利用m=3，τ=1對I、Q路數(shù)據(jù)分別進行相空間重構，得到相圖分別如圖3（a）和3（b）所示。

對于較短的時間離散時間序列最好取延遲時間τ=1.分別利用GPA和Cao方法估計海雜波的嵌入維數(shù)。圖4（見423頁）即為利用GPA的效果圖，可以看出，隨著嵌入維數(shù)的增加，關聯(lián)維數(shù)就穩(wěn)定在某一個值附近，并且關聯(lián)維數(shù)DC=5，此時的嵌入維數(shù)m=7，這也就表明至少對于本批數(shù)據(jù)來說，海雜波具有混沌特性。

圖5給出了利用Cao方法計算的結果，曲線E2≠1且在1附近波動，表明海雜波不是一個完全隨機的過程。同時，E1和E2都在m=7之后就趨于穩(wěn)定，這與GPA得到的嵌入維數(shù)基本上是一致的，即m=7.

圖5 利用Cao方法計算嵌入維數(shù)

利用以上的方法對實測數(shù)據(jù)進行了相空間重構，得到的重構特征參數(shù)經(jīng)統(tǒng)計分析顯示在表1中。從表1中可以清楚地看出:首先，對于I、Q數(shù)據(jù)表現(xiàn)出的差異較小。這是由于在假設海雜波是來自于一個低維的確定性混沌系統(tǒng)成立的時候，經(jīng)過正交雙通道這種線性的確定性變換，沒有改變原始系統(tǒng)的混沌特征，而這對于判定海雜波是否為來自于低維混沌系統(tǒng)及其背景下基于混沌特征提取的目標檢測是有力的；不論是從海雜波具有穩(wěn)定收斂的關聯(lián)維數(shù)來看，還是從替代數(shù)據(jù)非線性檢驗的結果來看，都可以證明海雜波不是隨機的簡單線性過程，而且混沌特征也非常明顯。

2.3 最大Lyapunov指數(shù)和Kolmogorov熵的計算

根據(jù)1.3.1節(jié)引入的Rosenstein小數(shù)據(jù)量法計算最大Lyapunov指數(shù)的基本原理，首先確定程序計算的初始參數(shù)。海雜波數(shù)據(jù)是在某一個距離單元上，在時間隔間為采樣周期時候連續(xù)觀測2048個采樣周期，故而時間序列的樣本周期Δt=Tr，相空間重構參數(shù)取Cao方法得到的嵌入維數(shù)m和τ=1，平均軌道周期的選取采樣頻譜分析的方法得到。

計算由2.1節(jié)提到的I、Q數(shù)據(jù)的最大Lyapunov指數(shù)，結果如圖6所示。可以看出不論對于I還是Q數(shù)據(jù)，平均分離率〈lndj（i）〉隨著演化時間i具有線性上升的區(qū)間，利用最小二乘擬合得到斜率即為最大Lyapunov 指 數(shù)，λ1，I=0.1233（nats／Δt），λ1，Q=0.1231（nats／Δt）。這就清楚地表明海雜波數(shù)據(jù)是混沌的。

為了更加直觀的觀察平均分離率 〈lndj（i）〉與演化時間i的關系，圖7給出了所有512批數(shù)據(jù)的〈lndj（i）〉與演化時間i的關系的誤差圖?？梢郧宄乜吹剿械臄?shù)據(jù)都存在一個線性上升的區(qū)間，即存在一個正的最大Lyapunov指數(shù)。

利用石炎福等提出的改進的GPA分別計算了I、Q通道數(shù)據(jù)，同樣重構參數(shù)取Cao方法計算的結果，嵌入維數(shù)的取值區(qū)間為［2，20］，嵌入維數(shù)間隔Δm=1.從估計結果圖8可以看出，很顯然對于I路和Q路信號，0＜K2＜∞，這就清楚的表明系統(tǒng)具有混沌特性。

同樣表1和表2分別給出I、Q數(shù)據(jù)利用Rosenstein方法和改進的GPA估計得到的最大Lyapunov指數(shù)和Kolmogorov熵的估計結果。結果清楚地表明高頻海雜波相空間中鄰近軌道是以一個正的指數(shù)率發(fā)散的耗散系統(tǒng)，這就是海雜波具有混沌特性的又一個強有力的證據(jù)。

2.4 高頻海雜波數(shù)據(jù)可預測性檢驗

利用基于最大Lyapunov指數(shù)的預測對高頻海雜波數(shù)據(jù)進行可預測性檢驗。以Q數(shù)據(jù)為例，將數(shù)據(jù)進行常用的ym8小波在水平2去噪處理。由于最大的預測步數(shù)理論上為Nmax=即為31步。取最大預測步數(shù)為100步以便觀測長期不可預測的現(xiàn)象。圖9給出了Q通道數(shù)據(jù)基于最大Lyapunov指數(shù)的多步預測結果，結果表明，高頻海雜波基于最大Lyapunov指數(shù)的預測較小，高頻海雜波確實具有一定的可預測性，而且長期預測是不可能的。所有I、Q通道數(shù)據(jù)的預測參數(shù)展示在表1和表2.

表1 高頻雷達海雜波I通道混沌不變量的統(tǒng)計參數(shù)

表2 高頻雷達海雜波Q通道混沌不變量的統(tǒng)計參數(shù)

圖9 Q路基于最大Lyapunov指數(shù)的預測

從以上的仿真計算分析結果可以得出高頻海雜波具有混沌動態(tài)特性的結論。同時也注意到，無論是GPA估計的關聯(lián)維數(shù)與嵌入維數(shù)，還是Cao方法估算的嵌入維數(shù)，以及最大Lyapunov指數(shù)的估計都存在一個線性上升區(qū)域的選擇問題，存在不可避免的主觀因素，這使得估算實驗數(shù)據(jù)（存在噪聲和數(shù)據(jù)長度的限制）的混沌不變量存在著一定的限制，但是值得慶幸的是這些限制對于我們定性地認知一個混沌過程來說不是一個決定性的因素。

3.與地波超視距雷達回波混沌特性的比較分析

天波超視距雷達與地波超視距雷達的電波環(huán)境的最根本區(qū)別在于，由于電離層是前者電波傳播環(huán)境的重要組成部分，從而在某種程度上受到了電離層的調制作用，并可能對海洋回波的混沌特性產生某種不確定的影響。為了弄清這種電離層對回波的混沌特性的影響，以實驗的方法來檢驗這種假設。

3.1 與地波超視距雷達海雜波混沌特性的比較分析

可以從兩種超視距雷達的混沌特征典型值來確定兩者的差異。天波超視距雷達回波由GPA得到的關聯(lián)維數(shù)在5.2～5.3之間，而研究表明地波超視距雷達回波的關聯(lián)維數(shù)在8～10之間［21］；天波超視距雷達回波的最大Lyapunov指數(shù)在0.177（nats／Δt）左右，這與地波超視距雷達回波的最大Lyapunov指 數(shù) 為 0.015（nats／Δt2）（其 中，Δt ≈0.1Δt2，Δt2為地波超視距雷達的線性調頻周期）幾乎沒有區(qū)別［21］。由于關聯(lián)維數(shù)和最大Lyapunov指數(shù)均為公認的衡量海雜波混沌的指標，所以，僅從典型值還不能確定兩者的差異。為了更加有力地解釋兩者間是否存在顯著差異，我們將在下面給出仿真實驗分析。

3.2 電離層對回波混沌特性影響的顯著性檢驗

假設影響回波混沌特性的因素為電離層導致的相位路徑的線性變化的單一因素A:電離層的擾動強度。電離層的垂直運動將產生一個Doppler域的頻移fD

式中:f0為雷達工作頻率；τ為群時延；c為光速。通常，經(jīng)Es（或E）層返回的散射信號的fD為0～0.1Hz，而經(jīng)F2層返回的散射信號的fD為0.1～0.4Hz，經(jīng)擾動的F層返回的散射信號的fD為3～5Hz，一般經(jīng)平靜的F層返回的散射信號的fD為0.1Hz.假設因素A的試驗水平r=10，即取fD為0～5Hz之間的10個頻率點，

利用最大Lyapunov指數(shù)來度量回波的混沌特性，每一種水平的測量值（可以認為所有的512批數(shù)據(jù)是隨機挑選得到的）構成一個母體Xi，i=1，2，…，r，Xi～N（μi，σ2），并假設r個母體的方差相等。其中，因素A1對應的母體即為原始的穩(wěn)定電離層測量的回波信號，而其余因素的母體為對應因素值的仿真回波信號。在母體Xi上作假設

經(jīng)過計算可以導出

式中:和分別表示因素A和組內元素間引起的均方離差。

給定顯著水平α并計算子樣的F值，若

則拒絕H0，即可以認為電離層對回波的混沌特性有顯著影響。否則

則接受H0，即可以認為電離層對回波的混沌特性無顯著影響。一元方差分析的結果見表3.由表3可知，在顯著水平α=0.05下，計算子樣的F值為134.63.而查表可得F0.05（9，∞）=1.88，又因為F?F0.05（9，∞），故而拒絕原假設H0，即可以認為電離層對回波的混沌特性有顯著影響。

表3 方差分析表

圖10 不同因素母體的子樣的箱須圖

與此同時，圖10給出了各因素母體子樣的箱須圖。從圖10可以清楚地看出，未附加額外電離層影響的母體與附加有電離層影響的母體（即對應穩(wěn)定的電離層）的最大Lyapunov指數(shù)的中位數(shù)具有明顯的差異，且附加有電離層影響的母體的最大Lyapunov指數(shù)的中位數(shù)均明顯小于未附加有電離層影響的母體。此外，從分布的集中程度來看，附加有電離層影響的母體，其最大Lyapunov指數(shù)的中位數(shù)比未附加有電離層影響的母體更加集中，但是，前者的極端異常值顯著地多于后者。綜上所述，附加有電離層影響的天波超視距雷達回波混沌特性與未附加電離層影響的回波混沌特性存在顯著的差異，即電離層將顯著地影響回波的混沌特性。

4.結 論

通過利用SDT方法對實測回波信號進行非線性檢驗，采用Cao方法進行相空間重構、Rosenstein小數(shù)據(jù)量法計算最大Lyapunov指數(shù)、GPA計算Kolmogorov熵以及可預測性檢驗驗證了高頻天波雷達海雜波具有混沌動態(tài)特性。仿真計算表明:實測高頻天波雷達海雜波確實是來自于非線性過程，并且其吸收子具有穩(wěn)定收斂的關聯(lián)維數(shù)、正的最大Lyapunov指數(shù)和正的Kolmogorov熵以及具有短期可預測而長期不可預測的特性，這就證明了高頻雷達海雜波確實來自于一個混沌系統(tǒng)。最后，利用方差分析初步討論了電離層對回波特性的影響，研究表明，電離層將對回波混沌特性產生顯著的影響。

由于數(shù)據(jù)有限，還沒有充分地挖掘出高頻海雜波所表現(xiàn)出非線性，所以在以后的研究中就應該考慮更加完善的數(shù)據(jù)庫。盡管存著這樣的限制，但是本文的研究不論是對于我們從另外一個視角來更加深刻地理解高頻海雜波的本性，還是對海雜波建模及其背景下的目標檢測都具有重要意義。

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