楊 挺

可列個(gè)無窮小積的極限的存在性分析

楊 挺

摘 要：文章辨析了“可列個(gè)無窮小的積一定是無窮小”這一結(jié)論中的疑義，應(yīng)用二重極限的概念分析了產(chǎn)生這一問題的原因，在構(gòu)造了兩個(gè)反例的基礎(chǔ)上，給出了這一命題成立的兩個(gè)充分條件。

關(guān)鍵詞：教學(xué)研究；高等數(shù)學(xué)；無窮?。豢闪蟹e；充分條件

楊挺/連云港體育運(yùn)動學(xué)校講師（江蘇連云港222000）。

無窮小是極限理論中的重要概念，通常在教材中把無窮小與無窮大兩個(gè)內(nèi)容合并列為一個(gè)小節(jié)，并把無窮小的階的比較進(jìn)行研究和討論，由此可見其重要性。在講述無窮小概念的時(shí)候，直接給出下面的定理。

定理1 無窮小與有限函數(shù)的乘積是無窮小。

定理2 有限個(gè)無窮小的和是無窮小。

定理3 有限個(gè)無窮小的積是無窮小。

前兩個(gè)定理都容易理解，對于定理3，無窮多個(gè)無窮小的乘積是什么呢？難道可能不是無窮小嗎？幾乎每年都有學(xué)生會提出這樣的問題，而且難以解釋清楚。實(shí)際上，在教師中也常常會存在著這樣的疑問。

一、錯(cuò)誤起因

理解的錯(cuò)誤產(chǎn)生于數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用。

例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：無窮多個(gè)無窮小的乘積是無窮小。

正是由于例1的證明，很多人錯(cuò)誤地認(rèn)為：可列個(gè)無窮小的乘積必是無窮小。不幸的是，此證明過程是錯(cuò)誤的，其根源在于忽略了無窮小結(jié)構(gòu)本身的特殊性和二重極限的復(fù)雜性。

二、錯(cuò)誤辨析

實(shí)際上，對此命題正確性的討論最好是在學(xué)生學(xué)習(xí)過二重極限之后，此時(shí)學(xué)生的認(rèn)知水平、知識儲備達(dá)到一定程度才能真正理解和掌握。

由定義1和定義2，類似可定義函數(shù)f（x,y）在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的二重極限，以及先對x再對y的二次極限。

對于二重極限與二次極限的關(guān)系，以下三個(gè)結(jié)論是共知的：

函數(shù)的二重極限存在，兩個(gè)二次極限不一定存在，即使二次極限都存在也不一定相等。

函數(shù)的兩個(gè)二次極限都存在且相等，二重極限不一定存在。

函數(shù)的兩個(gè)二次極限不一定都存在。

1.函數(shù)的情形。這里討論自變量x→∞時(shí)的函數(shù)無窮小序列的情形，其它自變量變化過程可類似分析。

是否為0。

2.數(shù)列的情形。

三、兩個(gè)實(shí)例

上述兩個(gè)例題說明了當(dāng)函數(shù)值（數(shù)列值）由兩個(gè)變量決定時(shí)，可列個(gè)無窮小的乘積可能不是無窮小，進(jìn)一步的，當(dāng)決定數(shù)值的變量更多時(shí)，其變化形式將更加復(fù)雜，可列個(gè)無窮小的乘積不是無窮小的實(shí)例將更多。

四、可列個(gè)無窮小的乘積是無窮小的充分條件

產(chǎn)生上述問題的主要根源在于，在變量變化過程中，函數(shù)值可能會受到多個(gè)變量的影響，任意一個(gè)變量都不可能決定函數(shù)的取值及變化趨勢。

仿此可定義x→x0時(shí)及其它自變量變化過程時(shí)的一致無窮小函數(shù)序列，也可以類似定義一致無窮小數(shù)列序列。

證明：對任意的 ε＞0，存在 M＞0（M與 n無關(guān)），使得當(dāng) |x|＞M時(shí)，恒有 |fn(x)|＜ε，因此不妨設(shè) ε＜1，則有

推論2數(shù)列{anm|n=1,2，Λ}是無窮小數(shù)列序列，且單調(diào)遞減，則其可列積

證明類似于定理1，略。

由定理1和定理2以及函數(shù)極限存在的充要條件，可得如下推論：

推論2的證明略。

中圖分類號：O171

A

1671-6531（2012）11-0033-02

：姚 旺