周玉民，談至明，劉伯瑩

（1.同濟(jì)大學(xué) 道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201804；2.中交路橋技術(shù)有限公司，北京 100029）

車輛在混凝土路面上行駛，由于路面本身不平整（起伏、錯(cuò)臺(tái)）、不連續(xù)（接縫、裂縫），一方面誘發(fā)車輛振動(dòng)，使車輛作用于路面的力波動(dòng)變化；另一方面，這種波動(dòng)變化的力使得路面板變形和振動(dòng)，進(jìn)一步影響車輛的振動(dòng)，兩者相互耦合、相互影響.車－路相互作用研究在國(guó)際、國(guó)內(nèi)均有開(kāi)展.國(guó)際上，Timoshenko S P解決了移動(dòng)常力和簡(jiǎn)諧力與梁的相互作用問(wèn)題［1］；Bonder N G，Kolousek V 和Fryba L的研究集中在鐵路車輛與橋梁的相互作用［2－5］；隨后，鐵路車輛－軌道相互作用研究發(fā)展起來(lái)［6］；Cebon D等結(jié)合實(shí)測(cè)和有限元方法，系統(tǒng)研究了車輛－路面結(jié)構(gòu)的相互作用［7］；Monismith C L等討論了現(xiàn)代路面設(shè)計(jì)的動(dòng)荷影響［8］；Kulakowski B T出版了車－路相互作用的專題論文集［9］；Liu C，Kim S等采用積分變換方法獲得了無(wú)限大板上移動(dòng)車輛荷載作用下的撓度解析解［10－12］；Shi X M 等采用三維車－路相互作用模型，模擬了路面的動(dòng)態(tài)響應(yīng)［13］.國(guó)內(nèi)，成祥生、黃曉明等研究了運(yùn)動(dòng)荷載作用下彈性地基板的動(dòng)力響應(yīng)［14－15］；鐘陽(yáng)討論了路面不平整引起的車輛隨機(jī)動(dòng)壓力［16］；許金余采用有限元法，分析了飛機(jī)荷載作用下半空間地基板的響應(yīng)［17］；孫璐研究了移動(dòng)隨機(jī)荷載激勵(lì)下路面結(jié)構(gòu)的響應(yīng)［18］；楊紹普等采用模態(tài)疊加方法，研究了重型車與路面的相互作用［19］.以上研究或?qū)⒙访娼Y(jié)構(gòu)視為無(wú)限長(zhǎng)梁、無(wú)限大板和半無(wú)限空間層狀體系，或采用移動(dòng)常力、簡(jiǎn)諧力及隨機(jī)荷載，獲得了車－路相互作用下路面動(dòng)態(tài)響應(yīng)的解析解或數(shù)值解，深化了人們對(duì)該問(wèn)題的認(rèn)識(shí).

然而，混凝土路面結(jié)構(gòu)是有限尺寸，接縫處有錯(cuò)臺(tái)且可部分傳荷，路面底下有脫空，要獲得路面動(dòng)態(tài)響應(yīng)解析解是十分困難的.迄今，對(duì)于復(fù)雜邊界條件混凝土路面結(jié)構(gòu)，研究車－路耦合作用強(qiáng)弱和路面結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的工作很少，認(rèn)識(shí)有限.

1 1／4車-路耦合動(dòng)力學(xué)模型

欲將車輛、路面、地基統(tǒng)一在一個(gè)相互作用大系統(tǒng)里研究，必須考慮車輛、路面、地基自身的力學(xué)特性，建立各個(gè)部分合理的力學(xué)模型，并通過(guò)一定方式將幾個(gè)部分有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，采用適當(dāng)?shù)那蠼夥椒?，以獲得滿足精度要求的解答.對(duì)于車輛部分而言，將其簡(jiǎn)化為1／4車模型就是一個(gè)很好的近似.對(duì)路面結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，將其視為梁或板是較為符合實(shí)際的.同時(shí)，梁（板）下地基應(yīng)盡量簡(jiǎn)單合理.路面結(jié)構(gòu)和地基采用如下假設(shè)：① 路面材料為各向同性、線彈性；②接縫具有部分傳遞剪力的能力；③ 接縫附近路面板下脫空（地基弱化）；④ 地基符合Kelvin假設(shè).

1／4車－路耦合動(dòng)力學(xué)模型如圖1，2所示.圖中，J1，J2分別為接縫1，2的錯(cuò)臺(tái)量；L為單塊混凝土路面梁（板）的長(zhǎng)度；B為單塊混凝土路面梁（板）的寬度；Lv為接縫附近路面梁（板）下脫空（地基弱化）的長(zhǎng)度；Lg為接縫縫寬；e，e1，e2分別為路面梁（板）上縱邊中部及橫縫附近的點(diǎn)位；z0為e1和e2到混凝土路面板縱邊邊緣的距離；x0為車輛的起點(diǎn)坐標(biāo)；ms，mt為車輛懸掛系上部及輪胎的質(zhì)量；Cs，Ct為車輛懸掛系及輪胎的阻尼系數(shù)；ks，kt為車輛懸掛系及輪胎的彈簧剛度；ys，yt和ycont為質(zhì)量塊ms，mt和輪胎接地點(diǎn)的垂向位移；v為車輛勻速行駛的速度.

1／4車垂向運(yùn)動(dòng)控制微分方程為

路面梁（板）垂向運(yùn)動(dòng)控制微分方程為

車－路耦合作用力P的計(jì)算式可寫為

接縫邊界左右兩側(cè)反力為

接縫下局部地基弱化采用模量和阻尼比表征

式中：h為混凝土路面梁（板）的厚度；EI為梁的抗彎剛度（E為彈性模量，I為截面慣性矩），EI＝Ebh3／12；D 為混凝土路面板的抗彎剛度，D＝Eh3／12（1－u2）；W 為混凝土路面梁（板）的垂向位移；k為地基反應(yīng)模量；ρ為混凝土路面梁（板）的質(zhì)量密度；F為車－路相互作用力；δ（）為荻拉克函數(shù)；R為梁（板）接縫處的反力；kw為接縫彈簧剪切剛度；WL，WR分別為梁（板）在接縫左右側(cè)的彎沉；λk為梁（板）下脫空區(qū)地基反應(yīng)模量kv與梁（板）中地基反應(yīng)模量ki之比；λC為梁（板）下脫空區(qū)地基阻尼系數(shù)Cfv與梁（板）中地基阻尼系數(shù)Cfi之比.

方程（1），（2）和（3）即為車 －路相互作用系統(tǒng)的控制微分方程，在已知邊界條件和初始條件的情況下，通過(guò)直接積分可獲得問(wèn)題的解答.

2 模型求解

事實(shí)上，方程（1），（2）是耦合的，聯(lián)系的紐帶就是方程（3），當(dāng)邊界條件和初始條件較為復(fù)雜時(shí)，要求得解析解幾乎是不可能的.一般通過(guò)直接積分，采用有限元方法，獲得問(wèn)題的數(shù)值解.

對(duì)混凝土路面結(jié)構(gòu)（梁、板）進(jìn)行離散，矩陣形式的控制微分方程如下：

1／4車 －路面結(jié)構(gòu)（梁、板）的初始條件為v（x，t）＝v，或v（x，z，t）＝v.

采用 Newmark－β法或修正的 Newmark－β法（HHT法）求解方程（6）.為了獲得具有實(shí)用意義的解答，積分時(shí)間步長(zhǎng)Δt應(yīng)滿足如下條件：

式中：Tn為混凝土梁（板）的最小周期，通常采用1／nf來(lái)估計(jì)積分時(shí)間步長(zhǎng)，步長(zhǎng)次數(shù)n＝20～30，f為車－路系統(tǒng)的高階頻率.

車－路系統(tǒng)的頻率變化范圍在0.1～400.0Hz.研究和測(cè)試表明，對(duì)車－路系統(tǒng)有較大影響的頻率在50Hz以下，因此，積分時(shí)間步長(zhǎng)可在0.0005～0.0020s之間選取.

對(duì)于混凝土路面梁（板），單元?jiǎng)澐值淖钚〕叽鐟?yīng)滿足一定條件才能達(dá)到所要求的精度.這可通過(guò)試算確定.通常情況下，單元尺寸劃分到0.1m即可.

3 耦合動(dòng)力學(xué)模型結(jié)果比較

考慮路面常見(jiàn)貨車及典型混凝土路面結(jié)構(gòu)，采用如下算例.貨車車輛參數(shù)為：ms＝2500kg，mt＝440kg，ks＝1MN·m－1，kt＝5MN·m－1，Cs＝12000（N·s）·m－1，Ct＝1500（N·s）·m－1.混凝土路面結(jié)構(gòu)參數(shù)為：L＝5m，B＝3.75m（梁為1m），h＝0.24m，Lg＝10mm，Lv＝0，k＝100MN·m－3，Cf＝5×104（N·s）·m－3，JF1＝JF2＝0，λk＝λC＝1，接縫剪切剛度kw＝100MN·m－3.x0＝0，z0＝0.097m，v＝0～50m·s－1.

3.1 非懸掛系質(zhì)點(diǎn)加速度比較

圖3所示為采用兩種模型（車－地基梁和車－地基板耦合動(dòng)力學(xué)模型）非懸掛系質(zhì)點(diǎn)處的垂向加速度at隨車輛移動(dòng)位置x變化的曲線.

從圖3可以看到，車輛移動(dòng)到不同位置x，兩種模型下的非懸掛系質(zhì)點(diǎn)處垂向加速度at具有較好的一致性.車輛速度v增大，路面板接縫處非懸掛系質(zhì)點(diǎn)垂向加速度峰值隨之增長(zhǎng)，即車輛對(duì)路面接縫處的動(dòng)態(tài)作用增強(qiáng).

通常，通過(guò)測(cè)試車輛非懸掛系質(zhì)點(diǎn)處的垂向加速度，經(jīng)對(duì)時(shí)間的兩次積分可獲得路面的平整度指標(biāo)，用于路面行駛質(zhì)量評(píng)價(jià).由于地基梁模型簡(jiǎn)單，計(jì)算速度快，因此，可采用車－地基梁耦合動(dòng)力學(xué)模型來(lái)分析水泥混凝土路面的非懸掛系質(zhì)點(diǎn)處垂向加速度，進(jìn)而獲得路面的平整度.

3.2 車－路耦合作用力比較

車輛以一定速度在水泥混凝土路面上行駛時(shí)，車－路耦合作用力P是時(shí)間和空間位置的函數(shù).圖4所示為采用兩種模型下，P隨x變化的曲線.

從圖4可以發(fā)現(xiàn)，車輛移動(dòng)到不同位置x，兩種模型下的P具有較好的一致性.車輛速度v增大，路面接縫附近的P峰值也隨之增加，波動(dòng)性增強(qiáng).也就是說(shuō)，車輛對(duì)接縫附近路面的動(dòng)態(tài)作用加劇.

3.3 路面梁（板）動(dòng)彎沉、動(dòng)應(yīng)變比較

路面梁（板）在給定點(diǎn)e1處的動(dòng)彎沉隨車輛移動(dòng)位置x變化的曲線如圖5所示.由圖5可知，車輛移動(dòng)到接縫附近，兩種模型下e1點(diǎn)的最大彎沉Wmax在數(shù)值上幾乎相同；遠(yuǎn)離接縫，兩種模型下彎沉均值基本一致，但梁模型的彎沉波動(dòng)性較板模型大.車輛速度v提高，彎沉的波動(dòng)幅度增大，反之，兩種模型結(jié)果趨近于靜態(tài)結(jié)果.

兩種模型下，路面梁（板）在給定點(diǎn)e處的動(dòng)應(yīng)變隨x變化的曲線如圖6所示.由圖6可見(jiàn)，兩種模型下梁、板邊中點(diǎn)的動(dòng)應(yīng)變?chǔ)舩隨x的變化曲線是相似的，不同之處是中點(diǎn)的動(dòng)應(yīng)變最大值εxmax有差異.原因在于梁是按單位寬度考慮的，其抗彎剛度要比板大，故其最大動(dòng)應(yīng)變比板小.車輛速度提高，應(yīng)變的波動(dòng)性增大.反之，應(yīng)變趨近于靜態(tài)結(jié)果.

3.4 接縫嵌縫料剪切應(yīng)變比較

車輛以一定速度駛經(jīng)接縫，車輛和路面板產(chǎn)生隨位置（時(shí)間）變化的耦合振動(dòng)，接縫嵌縫料剪切應(yīng)變必然是動(dòng)態(tài)變化的.考慮到嵌縫料自身的模量、質(zhì)量較小，分析時(shí)忽略其對(duì)車－地基梁的影響，接縫嵌縫料剪切應(yīng)變?chǔ)媒朴?jì)算式為

圖7所示為兩種模型下，γ隨x變化的曲線.

從圖7可以發(fā)現(xiàn)，車輛移動(dòng)到接縫附近，兩種模型下接縫嵌縫料剪切應(yīng)變?chǔ)迷跀?shù)值上略有差異.原因在于梁按單位寬度考慮，兩者的抗彎剛度有差異，影響接縫兩側(cè)彎沉的大小，進(jìn)而導(dǎo)致γ的差異.遠(yuǎn)離接縫，兩種模型的γ大體相當(dāng)，但梁模型的γ波動(dòng)性略大.車輛速度提高，γ波動(dòng)幅度增大，反之，兩種模型結(jié)果趨近于靜態(tài)結(jié)果.

3.5 接縫傳荷效率比較

以彎沉和應(yīng)變表征的接縫傳荷效率計(jì)算式為

式中：WU，WL為e1和e2點(diǎn)的動(dòng)彎沉；εU，εL為e1和e2點(diǎn)的動(dòng)應(yīng)變.

兩種模型的接縫傳荷效率見(jiàn)表1.從表1可以看到，雖然接縫剪切彈簧剛度kw（＝100MN·m－3）相同，但由于梁和板抗彎剛度上的差異，梁模型的接縫彎沉傳荷效率比板的高.對(duì)于接縫應(yīng)變傳荷效率，梁模型的不可用，板模型的在數(shù)值上較彎沉傳荷效率低很多.隨著車輛速度提高，梁、板模型的接縫傳荷效率數(shù)值上均略有波動(dòng).

表1 兩種模型下的接縫傳荷效率Tab.1 Joint load transfer efficiency for two models %

大量的計(jì)算分析表明，ms＝2500～7500kg，ks＝0.2～2.0MN·m－1，kt＝1.2～12MN·m－1，h＝0.18～0.30m，Lg＝5～20mm，kw＝1～10000 MN·m－3，k＝50～200MN·m－3，Cf＝5×103～5×106（N·s）·m－1，地基弱化指數(shù)λ在0～1變化.兩種模型結(jié)果變化規(guī)律與以上分析相同.

4 應(yīng)用

在已知車輛、路面結(jié)構(gòu)和路基參數(shù)的情況下，車－路耦合動(dòng)力學(xué)模型可用于以下幾個(gè)方面：① 車輛振動(dòng)特性分析及參數(shù)優(yōu)化；② 路面結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析及結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)；③ 路面平整度及路面性能評(píng)價(jià).

若已知車輛、路面結(jié)構(gòu)和路基中的任意兩部分的參數(shù)和車輛非懸掛系質(zhì)點(diǎn)加速度，或路面板給定點(diǎn)動(dòng)彎沉、動(dòng)應(yīng)變；模型可用于以下未知部分參數(shù)的識(shí)別和估計(jì)：① 車輛各組成部分參數(shù)識(shí)別；② 路面板厚度、板下脫空情況估計(jì)；③ 地基參數(shù)估計(jì).

顯然，前面三個(gè)方面的應(yīng)用是所謂的正問(wèn)題；而后面三個(gè)方面的應(yīng)用則屬于反問(wèn)題.近年來(lái)，對(duì)于反問(wèn)題的研究日益活躍，在路面性能評(píng)價(jià)及預(yù)防性養(yǎng)護(hù)中獲得廣泛應(yīng)用.

以前，由于車－路耦合作用研究上的困難（接縫不連續(xù)、路面底下脫空很難處理），要獲得接縫兩側(cè)的振動(dòng)特性參數(shù)往往只能依靠試驗(yàn)測(cè)試，而測(cè)試結(jié)果或者零零星星，或者不可靠，以致無(wú)法應(yīng)用.今后應(yīng)用本模型，可以開(kāi)展接縫振動(dòng)特性的研究工作，用于混凝土路面接縫病害的預(yù)防和控制.

5 結(jié)論

（1）當(dāng)車輛速度為0時(shí)，車－路耦合動(dòng)力學(xué)模型退化為靜力學(xué)模型，非懸掛系質(zhì)點(diǎn)加速度為0，車輛作用于路面的力為靜力，路面結(jié)構(gòu)的彎沉、應(yīng)變和接縫嵌縫料剪切應(yīng)變與靜力學(xué)模型的結(jié)果一致.

（2）車輛速度不為0，隨著車輛速度的提高，兩種模型在非懸掛系質(zhì)點(diǎn)加速度、車－路耦合作用力、動(dòng)彎沉和動(dòng)應(yīng)變、接縫嵌縫料剪切應(yīng)變上的波動(dòng)性明顯增強(qiáng).當(dāng)然這與地基阻尼系數(shù)大小有密切關(guān)系.

（3）由于梁和板本身的差異，兩種模型在非懸掛系質(zhì)點(diǎn)加速度、車－路耦合作用力、動(dòng)彎沉以及接縫嵌縫料剪切應(yīng)變上的結(jié)果大體一致，但在梁、板邊中點(diǎn)動(dòng)應(yīng)變、接縫傳荷效率上存在差異.

（4）由于1／4車－地基梁耦合動(dòng)力學(xué)模型相對(duì)簡(jiǎn)單、計(jì)算效率高，且結(jié)果與地基板模型結(jié)果具有較好的一致性，特別適用于路面接縫傳荷效率、接縫嵌縫料的振動(dòng)特性分析.

鑒于混凝土路面結(jié)構(gòu)的不連續(xù)性，采用本文的兩種1／4車－路耦合動(dòng)力學(xué)模型，可以模擬車輛駛過(guò)接縫處時(shí)車輛和路面結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，為車輛設(shè)計(jì)和參數(shù)優(yōu)化，路面結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和性能評(píng)價(jià)奠定基礎(chǔ).

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