何艷平，李邦榮

(1湖北理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，湖北黃石435003;2湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北黃石435002)

“數(shù)學(xué)分析”是信息與計算科學(xué)專業(yè)重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程之一，學(xué)生對數(shù)學(xué)分析知識的掌握及運用情況，直接影響到多門后續(xù)課程的學(xué)習(xí)。而數(shù)學(xué)分析課程與中學(xué)數(shù)學(xué)課程在思維特點、學(xué)習(xí)方式等方面有一個跨越，如何引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)跨越，讓學(xué)生盡快適應(yīng)大學(xué)學(xué)習(xí)，是該課程教師應(yīng)該思考的問題。

數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)，往往是學(xué)生比較犯怵的難題。數(shù)學(xué)分析課程內(nèi)容理論性強(qiáng)、抽象程度高，學(xué)生難以理解;數(shù)學(xué)分析知識所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法、處理問題的技巧和策略，學(xué)生不易掌握。而數(shù)學(xué)分析課程的基本理論、基本數(shù)學(xué)思想和方法是學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程的重要基礎(chǔ)，該課程也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力的重要課程［1］。在長期的數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)教學(xué)工作中，筆者積極探討教學(xué)方法，嘗試用“三位一體”的教學(xué)模式進(jìn)行數(shù)學(xué)分析的教學(xué)。

1 “三位一體”教學(xué)概述

“三位一體”是由知識與能力、過程與方法、素質(zhì)與創(chuàng)新三者構(gòu)成的有機(jī)統(tǒng)一體。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要將知識與能力、過程與方法、素質(zhì)與創(chuàng)新三者視為一個整體，各部分之間存在互相聯(lián)系、互相制約、互相滲透和相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系。三者之間的這種不可分割的聯(lián)系如圖1 塔形關(guān)系圖所示。

圖1 塔形關(guān)系圖

圖1 表明，知識與能力、過程與方法、素質(zhì)與創(chuàng)新三者具有層級關(guān)系，即由下而上層次越高;數(shù)量關(guān)系，即下寬上窄表明量的關(guān)系，也寓意厚積薄發(fā);滲透關(guān)系，圖1 中的鋸齒表示相鄰兩者之間密切聯(lián)系，相互交叉滲透的關(guān)系。圖1 中的波浪線充分說明了三者之間的相互滲透、密切聯(lián)系、不可分割的整體關(guān)系。圖1還揭示了各部分的地位和作用，即知識與能力是基礎(chǔ)，過程與方法是核心，素質(zhì)與創(chuàng)新是最終目標(biāo)。數(shù)學(xué)教學(xué)要拓寬知識基礎(chǔ)，抓好核心教育，實現(xiàn)教育目標(biāo)。

相關(guān)關(guān)系分為正相關(guān)、負(fù)相關(guān)和零相關(guān).正相關(guān)指兩個變量的變化方向相同；負(fù)相關(guān)指兩個變量的變化方向相反；零相關(guān)指兩個變量之間沒有相關(guān).

教師引導(dǎo)探索2:運用待定系數(shù)法，求出pn(x)?？稍O(shè)pn(x)= a0+a1(x－x0)+a2(x－x0)2+…+an(x－x0)n。

糖尿病是一種高發(fā)病率和死亡率的疾病[1]。我國糖尿病的發(fā)病率為9.7%～11.6%，患病人數(shù)居各國之首[2]。如果高糖狀態(tài)得不到有效控制會引發(fā)視網(wǎng)膜病變、腎病、酮癥酸中毒等慢性并發(fā)癥，嚴(yán)重威脅人類的生命安全。因此探尋有效的降糖方法是當(dāng)今醫(yī)學(xué)界研究的熱點。

2 數(shù)學(xué)分析課程“三位一體”教學(xué)模式的內(nèi)容

數(shù)學(xué)分析課程“三位一體”教學(xué)模式是指在現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)思想和教學(xué)理論指導(dǎo)下，構(gòu)建數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中知識與能力、過程與方法、素質(zhì)與創(chuàng)新三方面的教學(xué)活動程序，指導(dǎo)教師從宏觀上把握數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)的整體結(jié)構(gòu)和各要素之間的內(nèi)部關(guān)系和功能。

2014年11月10日晚，參加北京APEC會議的各國領(lǐng)導(dǎo)人攜配偶在歡迎晚宴前現(xiàn)身，身著特色中式服裝合影的他們，吸引了全世界的目光。國家主席習(xí)近平說：“看到各位都穿上中國式服裝，既充滿中國傳統(tǒng)元素，又體現(xiàn)了現(xiàn)代氣息，讓我們更感親近，中國老百姓看了以后也會感到親切，就像到鄰居家串門。尤其是女裝，女士穿上更顯秀美！”

2.1 “三位一體”的具體涵義

知識與能力是數(shù)學(xué)分析“三位一體”教學(xué)模式的基礎(chǔ)內(nèi)容，它要求數(shù)學(xué)教學(xué)在傳授知識的同時，注重數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)能力方面應(yīng)特別重視數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)交流、合作精神;進(jìn)而提高運用數(shù)學(xué)的思想和方法分析解決實際問題的能力。教師應(yīng)十分清楚知識與能力的相互關(guān)系，以知識學(xué)習(xí)促進(jìn)能力發(fā)展，以能力發(fā)展促進(jìn)知識的深入理解和鞏固。

知識與能力的教學(xué)，要重視知識的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用、再發(fā)展;揭示學(xué)習(xí)知識的基本方法與方法選擇的意義，授學(xué)生以“漁”;關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性、探究性與合作性，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)方法，尊重學(xué)生的獨特體驗和感悟，使學(xué)生增強(qiáng)學(xué)習(xí)自信心與自覺性。

過程與方法是數(shù)學(xué)分析課程“三位一體”教學(xué)模式的核心內(nèi)容。傳統(tǒng)教學(xué)重結(jié)果輕過程、重知識輕方法，形成結(jié)果的生動過程和方法被單純機(jī)械地追求結(jié)果的教學(xué)方式所取代。學(xué)生的學(xué)習(xí)只是認(rèn)真聽講和記憶，缺乏對數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、發(fā)展到應(yīng)用過程的深入理解，忽視體現(xiàn)在這些過程中的數(shù)學(xué)思想和方法，學(xué)生做數(shù)學(xué)題也只是要求和答案一致，缺少經(jīng)歷解題中探索和發(fā)現(xiàn)結(jié)論的過程，扼殺了學(xué)生的創(chuàng)新意識和發(fā)現(xiàn)精神。

過程與方法要求在數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)過程中，學(xué)生能進(jìn)行自主學(xué)習(xí)、主動探究、愿意與同伴交流合作、積極學(xué)習(xí)。更高的要求則是評價學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動的程度、自信心、合作交流的意識以及獨立思考的習(xí)慣、數(shù)學(xué)思考的發(fā)展水平等。數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)可以通過學(xué)生自主探究的過程、特有的解題方法、提出挑戰(zhàn)性的問題、與同伴交流合作的經(jīng)歷、數(shù)學(xué)建模的過程和方法等來評價學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和取得的進(jìn)步。

過程與方法中的過程不是單純的教學(xué)過程，學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)過程和思考問題的認(rèn)知構(gòu)建過程都是重要內(nèi)容;方法也應(yīng)該包含教的方法和學(xué)的方法，教師不僅要傳授學(xué)生問題的解決方法，更要講解知識的本源和歸宿。讓學(xué)生從知識的被動接受者變?yōu)橹鲃犹角笳?，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，引導(dǎo)學(xué)生思考、探索、發(fā)現(xiàn)，鼓勵學(xué)生大膽提出問題，探索解決問題的途徑，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。

體驗數(shù)學(xué)過程是指數(shù)學(xué)教學(xué)既要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的變化和發(fā)展［2］。讓學(xué)生在體驗數(shù)學(xué)的過程中正確認(rèn)識數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)的魅力。

素質(zhì)與創(chuàng)新是指數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新素質(zhì)，包含創(chuàng)新意識、創(chuàng)新思維、創(chuàng)新能力三方面。這里所說的創(chuàng)新，對學(xué)生而言是一種再創(chuàng)造，其實質(zhì)是數(shù)學(xué)過程的再現(xiàn)，不能理解為真正意義上的創(chuàng)造發(fā)明。學(xué)生提出的新見解、解題中的新方法、新的知識運用等都可以稱為再創(chuàng)造。教師應(yīng)該有正確的認(rèn)識，千萬不能因此而扼殺了學(xué)生的再創(chuàng)造意識，即創(chuàng)新意識。教師的職責(zé)就是引導(dǎo)和促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行再創(chuàng)造的學(xué)習(xí)。

2.2 數(shù)學(xué)分析課程“三位一體”教學(xué)模式的基本程序

1)探究準(zhǔn)備?；仡櫾谖⒎謱W(xué)中已知的近似公式:f (x)≈p (x)= f ＇(x0)+f ＇(x0)(x－x0)，這里p(x)是關(guān)于x 的一次多項式，f(x)在定義域上可微。

實驗組患者在此基礎(chǔ)上聯(lián)合吡貝地爾{LES LABORATOIRES SERVIER INDUSTRIE(法國)(施維雅(天津)制藥有限公司分裝);國藥準(zhǔn)字J20140064;50mg*30s}治療,具體方法為:口服。每日150毫克到250毫克,即每日3-5片,分3-5次服用。

由于數(shù)學(xué)分析課程的性質(zhì)和特點，數(shù)學(xué)分析作為數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課程特別適合運用“三位一體”教學(xué)模式。

作為活動程序，數(shù)學(xué)分析“三位一體”教學(xué)模式的基本程序為:主動獲取知識—形成數(shù)學(xué)能力—體驗數(shù)學(xué)過程—掌握數(shù)學(xué)思想和方法—提高素質(zhì)和創(chuàng)新水平。

主動獲取知識是指學(xué)習(xí)是主動的、積極的，認(rèn)知過程不是被動接受教師的傳授，而是主動建構(gòu)的過程。

形成數(shù)學(xué)能力是指在獲取知識的過程中，需要教師有意識地揭示隱藏在數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)展和應(yīng)用過程中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，有計劃地組織數(shù)學(xué)活動，加強(qiáng)練習(xí)，形成能力。

素質(zhì)與創(chuàng)新是數(shù)學(xué)分析課程“三位一體”教學(xué)模式的教育教學(xué)目標(biāo)。

掌握數(shù)學(xué)思想方法是指數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)追求數(shù)學(xué)的本質(zhì)、數(shù)學(xué)的精神，而數(shù)學(xué)本質(zhì)和精神就是數(shù)學(xué)的思想和方法。一堂數(shù)學(xué)課，能夠讓學(xué)生體會到其中的數(shù)學(xué)思想和方法，就屬于高品位的數(shù)學(xué)教學(xué)。

提高素質(zhì)和創(chuàng)新水平是數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的落腳點，也是教學(xué)設(shè)計、教學(xué)實施的著力點。數(shù)學(xué)分析的教學(xué)活動也應(yīng)該由此展開，教師對此一定要有高度的認(rèn)識。

2.3 數(shù)學(xué)分析課程“三位一體”教學(xué)模式的特點

數(shù)學(xué)分析課程“三位一體”教學(xué)模式具有整體性和動態(tài)性2 個特點。

整體性，是指三者在數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)設(shè)計、教學(xué)活動中要協(xié)調(diào)一致、整體發(fā)展，忽視任何一個方面都是錯誤的。教學(xué)評價也要重視突顯整體性。

觀察圖9～圖12中衰減值分別為20dB和30dB時測量數(shù)據(jù)可知，文獻(xiàn)[1]的方法只能夠?qū)崿F(xiàn)互調(diào)頻率為fc=|ft-fj|的準(zhǔn)確測量；文獻(xiàn)[2]的方法雖然可獲取頻率為fc=ft+fj的測量值，但難以判斷測量數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性；由于沒有采用線纜長度的調(diào)節(jié)方法，文獻(xiàn)[3]能否獲取準(zhǔn)確的測量值，完全取決于所選用的電纜長度.

動態(tài)性，模式的運用特別強(qiáng)調(diào)動態(tài)性，即不同的知識內(nèi)容，應(yīng)作不一樣的“三位一體”處理;相近的內(nèi)容提倡不同的、創(chuàng)造性的“三位一體”組合;用發(fā)展的眼光去組織教學(xué)內(nèi)容，體現(xiàn)“三位一體”的合理性、有效性。

整個環(huán)太湖地區(qū)1961—1970年間各站降水幅度不同,區(qū)域增減不一(表5)。春季,普遍出現(xiàn)減少趨勢,除宜興站略有增加趨勢;夏季,各站降水量普遍存在增加趨勢,增幅最大出現(xiàn)在宜興地區(qū),為19.71 mm/10 a,而增幅最小的是嘉興站,為0.58 mm/10 a;秋季,整體都出現(xiàn)減少趨勢,最明顯的是嘉興地區(qū),為-13.05 mm/(10 a),最不顯著的是太湖東部的蘇州和吳江地區(qū);冬季,環(huán)太湖地區(qū)的降水又出現(xiàn)明顯的增加趨勢,增加幅度最大的是宜興站,為18.28 mm/(10 a),最小的是常州站,為11.65 mm/(10 a)。此外可以發(fā)現(xiàn),整個區(qū)域的降水變化有一定的季節(jié)周期性。

以上全面概括了知識與能力、過程與方法、素質(zhì)與創(chuàng)新“三位一體”教學(xué)模式的內(nèi)涵與外延:知識與能力是模式的基礎(chǔ)，教學(xué)過程要重視知識的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用、再發(fā)展;過程與方法是模式的抓手，要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性、探究性與合作性，讓學(xué)生從知識的被動接受者變?yōu)橹鲃犹角笳?素質(zhì)與創(chuàng)新是模式的最高境界，是教育和人才培養(yǎng)的最高目標(biāo)，讓學(xué)生在知識積累的過程中，通過主動學(xué)習(xí)，消化吸收知識，對數(shù)學(xué)問題有獨到見解和處理方法。

當(dāng)今世界正在經(jīng)歷新一輪大發(fā)展大變革大調(diào)整。面對世界經(jīng)濟(jì)格局的深刻變化，各國應(yīng)該堅持開放融通，拓展互利合作空間；應(yīng)該堅持創(chuàng)新引領(lǐng)，加快新舊動能轉(zhuǎn)換；堅持包容普惠，推動共同發(fā)展。

3 數(shù)學(xué)分析課程“三位一體”教學(xué)模式的運用

3.1 研究意義

教師引導(dǎo)探索1:主要是揭示數(shù)學(xué)逼近的思想。那么f(x)在什么條件下可用n 次多項式pn(x)逼近，pn(x)應(yīng)滿足什么條件呢?雖然可猜想到，若f(x)在定義域上n 階可導(dǎo)，則可用pn(x)逼近，且pn(x)滿足:

3.2 運用例談

數(shù)學(xué)分析教學(xué)，重視運用“三位一體”教學(xué)模式的基本程序進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，努力實現(xiàn)課堂教學(xué)在學(xué)生理解知識、形成數(shù)學(xué)能力、培養(yǎng)數(shù)學(xué)研究興趣、掌握數(shù)學(xué)思想方法、提高數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力等方面的和諧發(fā)展。

(1)分別于插管后5 min(T1)、建立氣腹后5 min(T2)、體位建立后5 min(T3)、建立氣腹后30 min(T4)、解除氣腹后5 min(T5)時以旁流通氣監(jiān)測法檢測2組呼吸力學(xué)指標(biāo)，包括氣道壓(Paw)、氣道峰壓(PIP)，并計算肺泡動態(tài)順應(yīng)性(Cdyn);(2)于術(shù)前24 h及術(shù)后24 h時，采集2組患者清晨空腹靜脈血5 mL，3 500 r/min離心10 min分離血清，采用ELISA法測定血清白細(xì)胞介素-6、10(IL-6、IL-10)及C反應(yīng)蛋白(CRP)水平，免疫透射比濁法檢測2組患者血清C3、C4補(bǔ)體水平;比較2組患者HR、SpO2及平均動脈壓(MAP)。

數(shù)學(xué)分析教學(xué)將傳授知識與培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力、思維能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力相結(jié)合;改變傳統(tǒng)教學(xué)以教師為主的模式，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生積極參與到教學(xué)活動中;注重培養(yǎng)學(xué)生的素質(zhì)，使學(xué)生具有良好的創(chuàng)新精神。

2)引導(dǎo)思考?？梢娢⒎謱W(xué)中用一次多項式可近似逼近f(x)，誤差為o(x－x0)。

3)發(fā)現(xiàn)問題。原先用一次多項式可逼近f(x)，精度為o(x－x0)，精度不夠，如何提高精度?是否能將f(x)用n 次多項式逼近呢?逼近的誤差是否更精確?誤差是多少?

（4）預(yù)計算。在新一代的PoS共識機(jī)制中，挖礦公式可簡寫為H(H(Bprev),A,t)≤balance(A)m。由于新塊的挖礦只與時間、余額以及上一塊的哈希值有關(guān)，因此控制當(dāng)前塊的生成可以幫助攻擊者得到新塊的挖礦權(quán)。在某一節(jié)點擁有一定數(shù)量代幣以及算力足夠的情況下，該節(jié)點可以通過隨機(jī)試錯方式控制第N塊的哈希值使得攻擊者有能力對N+1塊進(jìn)行挖礦。

4)提出猜想。用n 次多項式逼近f(x)，精度可否提高為o((x－x0)n)，且通過觀察一次多項式應(yīng)滿足的條件，猜想n 次多項式應(yīng)滿足的條件。

以泰勒展開式推導(dǎo)過程［3－4］的教學(xué)設(shè)計為例。

5)學(xué)生獨立探索過程(含教師引導(dǎo)過程)。

若f(x)一階可導(dǎo)，則可用一次多項式p1(x)逼近，且滿足:

p1(x0)=f(x0)，p＇1(x0)=f＇(x0)。

一直以來，數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)，十分重視各個知識點的教學(xué)，重視各部分內(nèi)容的教學(xué)方式和方法的研究，但忽視數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系和相互關(guān)系，忽視作為教學(xué)整體性活動的程序和操作。數(shù)學(xué)分析課程“三位一體”教學(xué)模式的研究旨在指導(dǎo)教師能夠從整體上去綜合地探討數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)過程中知識與能力、過程與方法、素質(zhì)與創(chuàng)新各因素之間的相互作用和其多樣化的表現(xiàn)形態(tài)，以整體、動態(tài)的觀點去把握數(shù)學(xué)分析教學(xué)過程的本質(zhì)和規(guī)律，指導(dǎo)教師進(jìn)行數(shù)學(xué)分析課堂教學(xué)設(shè)計，加強(qiáng)課堂教學(xué)過程的優(yōu)化，不斷提高數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)質(zhì)量，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅實基礎(chǔ)。

因此可求n 次多項式pn(x)。

1°clYf(A)?clY{g(A)}。若x∈A,由A為X的可數(shù)既約閉集及clcsX{A}={B∈csX:B?A},則{x}-∈clcsX{A}。又f=gη及g連續(xù),f(x)=gη(x)=g({x}-)∈g(clcxX{A})?clY{g(A)},由x的任意性,f(A)?clY{g(A)},于是clYf(A)?clY{g(A)}。

表3為齒根彎曲強(qiáng)度校核時所需參數(shù)的取值，式(12)中的各參數(shù)取值如表3所示。代入數(shù)值后大小齒輪的齒根彎曲強(qiáng)度σF1=409.8 MPa、σF2=384.14 MPa，許用齒根彎曲強(qiáng)度[σF1]=437 MPa、[σF2]=426.8 MPa，[σF1]和[σF2]的最小值大于σF1和σF2的最大值，因此齒根彎曲強(qiáng)度校核合格。

數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)該充分體現(xiàn)知識與能力、過程與方法、素質(zhì)與創(chuàng)新三者的有機(jī)結(jié)合，忽視任何一個方面，都是片面的。正確認(rèn)識三者之間的這些關(guān)系，對培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的高素質(zhì)人才很有益。

即可得到如下方程組:

解得:

隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，民眾環(huán)保意識得到了顯著提升，在享受物質(zhì)生活的同時，也更加關(guān)注環(huán)境保護(hù)問題，我國科技人員對農(nóng)村生活污水處理系統(tǒng)加大研究力度，其中以人工濕地技術(shù)與一級生物處理相結(jié)合的方法為目前的主流技術(shù)。

這樣，猜測的pn(x)就計算出來了。

李曉明(1959-)，男，河北邢臺人,蘇州大學(xué)王健法學(xué)院教授,法學(xué)博士,博士生導(dǎo)師，刑事法研究中心主任,研究方向：刑法學(xué)；

教師引導(dǎo)探索3:體會數(shù)學(xué)猜想、論證的過程。

下面需要驗證pn(x)近似地逼近f(x)，且精度更準(zhǔn)確。

6)驗證猜想，完成探究。實際上，通過柯西中值定理可計算:

f(x)－pn(x)= o((x－x0)n)。這樣可推導(dǎo)出泰勒展式:

通過計算證實猜想。

探究過程設(shè)計意圖:組織自主探究教學(xué)，在幾個難點環(huán)節(jié)設(shè)計引導(dǎo)，體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)作用，這樣的設(shè)計能夠調(diào)動學(xué)生主動探究獲取知識、體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和研究的積極性。良好的教學(xué)素材、恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，能使學(xué)生在這一過程中，掌握數(shù)學(xué)逼近和數(shù)學(xué)猜想、論證的思想方法，數(shù)學(xué)能力得到了進(jìn)一步的提高，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新意識，提升了學(xué)生的創(chuàng)新素質(zhì)。

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