葉建平

摘 要： 數(shù)形結(jié)合在教學(xué)及生產(chǎn)生活實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用，通過(guò)這一重要的方法，諸多數(shù)學(xué)問(wèn)題成功地得到了解決。數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，它貫穿于教學(xué)的始終。

關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合 初中數(shù)學(xué)教學(xué) 培養(yǎng)能力

數(shù)形結(jié)合思想主要是指利用數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化來(lái)解決各類(lèi)實(shí)際問(wèn)題[1]。一是借助幾何圖形的性質(zhì)使得抽象的數(shù)式問(wèn)題變得形象和直觀，得到意想不到的解題思路和解題方法；二是把某些幾何圖形問(wèn)題通過(guò)聯(lián)想轉(zhuǎn)化成為數(shù)式問(wèn)題，得到較簡(jiǎn)便的解題方法。所以數(shù)形結(jié)合實(shí)際上是把直觀而具體的圖形與抽象而復(fù)雜的數(shù)式結(jié)合，使形象與抽象的兩種思維結(jié)合，通過(guò)數(shù)形轉(zhuǎn)化、圖形認(rèn)識(shí)培養(yǎng)學(xué)生形象、靈活的思維，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題形象化的過(guò)程。

一、由數(shù)式聯(lián)想到圖形，進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，通過(guò)圖形解決數(shù)式的問(wèn)題。

有機(jī)的數(shù)形結(jié)合，能夠把化抽象的問(wèn)題為具體，化復(fù)雜的問(wèn)題為簡(jiǎn)單。

1.利用數(shù)軸來(lái)闡述絕對(duì)值、相反數(shù)這類(lèi)有關(guān)概念，以及有理數(shù)的四則運(yùn)算等[2]。數(shù)軸是一種重要的工具，借助數(shù)軸能夠直觀體現(xiàn)許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，也能夠展示數(shù)形結(jié)合思想。因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中我們應(yīng)合理引入數(shù)軸幫助學(xué)生掌握相反意義概念，了解絕對(duì)值、相反數(shù)的內(nèi)涵，全面掌握比較有理數(shù)大小方式，深刻理解有理數(shù)運(yùn)算意義法則等，進(jìn)而圓滿完成教學(xué)任務(wù)。如圖①：已知有理數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的點(diǎn)如圖，借助數(shù)軸很容易找出表示-a和-b的點(diǎn)，從而順利地比較出a、b、-a、-b之間的大小關(guān)系。

圖①

2.通過(guò)幾何圖形推導(dǎo)出平方差，平方和，以及完全平方公式，表示出整式的乘法和因式分解等。

3.巧借函數(shù)的圖像求解函數(shù)題目的最值問(wèn)題。如點(diǎn)P點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)A（-2，3），B（3，1）在x軸的同一側(cè)，①求PA+PB的最小值；②求PA-PB的最大值。如圖②，先找到B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′交x軸于點(diǎn)P，則PA+PB最小，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，而AB′的長(zhǎng)度則是PA+PB的最小值；如圖③，根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，連接AB交x軸于點(diǎn)P，則PA-PB最小，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，而AB的長(zhǎng)度則是PA+PB的最小值。此外還可以探究當(dāng)點(diǎn)A、B在x軸的兩側(cè)的情況。

圖② 圖③

二、由圖形聯(lián)想到數(shù)式數(shù)形結(jié)合，用數(shù)式來(lái)解決圖形的問(wèn)題。

此類(lèi)問(wèn)題的解決關(guān)鍵就是利用數(shù)式的精確性來(lái)表明圖形的一些屬性；把圖形的信息轉(zhuǎn)化成代數(shù)的信息，通過(guò)數(shù)量特征將圖形問(wèn)題進(jìn)而轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決。這在初中數(shù)學(xué)中運(yùn)用較多，如：

1.用數(shù)量來(lái)表示角度大小和線段長(zhǎng)短，并進(jìn)行相應(yīng)大小長(zhǎng)短的比較。

2.用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的位置。

3.用數(shù)式來(lái)描述點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系[3]。

三、巧用數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)合情推理。

1.通過(guò)直觀的幾何圖形求解代數(shù)問(wèn)題能夠激發(fā)學(xué)生思維、誘發(fā)直覺(jué)判斷，從而引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生聯(lián)想，進(jìn)行大膽的假設(shè)推理，從而形成合情推理，進(jìn)而培養(yǎng)出合情推理的習(xí)慣。

如華東師大版義務(wù)教育教科書(shū)《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)第80頁(yè)第25題，我們從圖④中可看出第一層有1個(gè)小圓圈，第二層有3個(gè)圓圈，第三層有5個(gè)圓圈……（以此類(lèi)推）。①第一層的圓圈個(gè)數(shù)為1=1 ；②前兩層的圓圈個(gè)數(shù)總和為1+3=4=2 ；③前三層的圓圈個(gè)數(shù)總和為1+3+5=9=3 ；④前四層的圓圈個(gè)數(shù)總和為1+3+5+7=16=4 ……（以此類(lèi)推）由此可歸納出前n層圓圈個(gè)數(shù)和為1+3+5+（2n-1）=n.數(shù)形結(jié)合，直觀明了。

圖④

2.借助幾何圖形解決復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題。在一些情況中，許多表面上看起來(lái)復(fù)雜錯(cuò)綜的應(yīng)用題，其實(shí)我們只需要把其中所涵蓋的各項(xiàng)條件逐一拆分開(kāi)來(lái)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想把它們對(duì)應(yīng)的示意圖畫(huà)出，就能立即使復(fù)雜的應(yīng)用題變得淺顯易懂。如利用勾股定理求取代數(shù)式的最值問(wèn)題：請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式 的最小值。如圖⑤，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC，當(dāng)點(diǎn)C滿足在AE上時(shí)，AC+CE的值最小。若設(shè)CD=x，CB=12-x，AB=3，DE=2，則AE就是所求的代數(shù)式 的最小值。

圖⑤

四、在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題。

由于綜合運(yùn)用題并不是單純的由數(shù)式聯(lián)想圖形或者由圖形形聯(lián)想數(shù)式的問(wèn)題，因此利用數(shù)形結(jié)合解有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要注意以下幾個(gè)問(wèn)題。

1.數(shù)與形進(jìn)行轉(zhuǎn)化要求前后一致；

2.用數(shù)的精確性準(zhǔn)確的來(lái)表示圖形的一類(lèi)特征；

3.把數(shù)轉(zhuǎn)化成形時(shí)要注意考慮圖形的涉及各種情形。因?yàn)橛行?shù)學(xué)問(wèn)題相對(duì)的圖形如果不具有唯一性，就要求根據(jù)特定的情況作出相對(duì)應(yīng)的圖形，才能討論進(jìn)而求解。

總之，我們應(yīng)當(dāng)在教學(xué)實(shí)踐中科學(xué)地滲透數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)生綜合分析和解決問(wèn)題的能力，把數(shù)形結(jié)合思想作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)所必需的基礎(chǔ)工具，利用幾何圖形、數(shù)軸、坐標(biāo)系等，結(jié)合相關(guān)教材習(xí)題內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生，并使他們?cè)趯?shí)踐中養(yǎng)成反思的習(xí)慣，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，全面提升教學(xué)水平。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃家超. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)思想方法[J]. 教育教學(xué)論壇， 2011， 30： 035.

[2]楊華江. 活躍的 “數(shù)軸”[J]. 數(shù)理天地（初中版）， 2007， 6： 014.

[3]李明， 張銳. 構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究， 2012， 31（2）： 67-67.