劉秦

【摘要】高中階段提出了判別式法在判斷直線和二次曲線相切的方法，但是對于兩條二次曲線相切的判斷卻從未探討過，本文主要是以對2011年重慶高考理科數(shù)學試卷中的第15小題的解法提出疑惑作為開始，探討了判別式法在判斷圓和拋物線相切時的誤區(qū)，進而提出判斷二次曲線相切的充要條件。

【關鍵詞】圓；拋物線；相切；判別式；二次曲線

一、高考題目

在2011年重慶高考理科數(shù)學試卷中有如下題目：

15、設圓C位于拋物線 與直線 所圍成的封閉區(qū)域（包含邊界）內，則圓C的半徑能取到的最大值為__________

解析： 。為使圓 的半徑取到最大值，顯然圓心應該在x軸上且與直線 相切，設圓 的半徑為 ，則圓 的方程為 ，將其與 聯(lián)立得： ，令 ，并由 ，得：

二、疑惑

上面的解答過程我們感到既陌生又熟悉，那是因為在解決直線和圓錐曲線相切問題時我們經(jīng)常聯(lián)立直線和圓錐曲線方程消元，再令 ，最后得到解。但是對于兩條圓錐曲線相切的問題是否也可以用判別式來判定呢？答案是否定的，對于兩條二次曲線相切的問題如果用判別式來判定會遇到兩大難題，①聯(lián)立兩個圓錐曲線方程不一定能消元得到一個一元二次方程；②就算能夠聯(lián)立消元，判別式也不一定能判別他們相切。下面舉例說明：

例1：已知拋物線方程為 ，一動圓的方程為 ，若動圓和拋物線相切，求參數(shù) 的值。

我們用判別式來試一試：

聯(lián)立兩曲線方程：

消掉 得：

令 得：

由判別式法我們得到參數(shù)的值為9，那么當 時兩條二次曲線是否相切？兩條二次曲線相切時，是否參數(shù) 只能等于9呢？我利用幾何畫板將參數(shù) 進行變化，讓動圓從左往右移動變化，從相離到相切再到相離，發(fā)現(xiàn)有兩個時候它們相切，相應的圖像及其相應的參數(shù)值如下：

上例說明了，用判別式不一定能找完所有的參數(shù)值。

下面我們再看一個例題：

例2：已知拋物線方程為 ，一動圓的方程為 ，若動圓和拋物線相切，求參數(shù) 的值。

我們用判別式來試一試：

聯(lián)立兩曲線方程：

消掉 得：

令 得：

由判別式法我們得到參數(shù)的值為3，那么當 時兩條二次曲線是否相切？兩條二次曲線相切時，是否參數(shù) 只能等于3呢？我利用幾何畫板將參數(shù) 進行變化，讓動圓從左往右移動變化，發(fā)現(xiàn)它們根本就不會相切，當 時，兩圖的位置關系如下：

上例說明了，當判別式為零時兩曲線不一定相切。

從上面看出判別式等于零并不是二次曲線相切的充要條件，那么兩條二次曲線相切的充要條件是設么呢？那首先我們得弄明白兩條二次曲線相切的定義。

三、兩條二次曲線相切的定義

定義：如果點 為兩條曲線 和 的公共點，并且兩條曲線在點 處有相同的切線，則稱曲線 和 相切于點 處。

下面我們來推導上述定義的符號表達式。

（1） 點 為兩條曲線 和 的公共點，即

（2） 若切線斜率存在，那么在點 處有相同切線就等價于它們有相同的斜率，即 ，但考慮到斜率不存在的情況，所以兩條曲線在點 處有相同的切線等價于

綜上所述，曲線 和 相切于點 處

等價于方程組 有公共解。

四、相切定義的運用

有了兩條曲線相切的定義，下面我們再來解決上面例1中的問題。

例1：已知拋物線方程為 ，一動圓的方程為 ，若動圓和拋物線相切，求參數(shù) 的值。

解：設拋物線和圓相切于點 ，可得如下方程

聯(lián)立解得： （舍掉）， ， ，

綜上所述，當 時，圓和拋物線相切于點 ，當 時，相切于點 和

五、小結

從上面的討論我們發(fā)現(xiàn)，用判別式法來判別兩條二次曲線是否相切是有問題的，要解決二次曲線相切的問題，可以轉化為求方程組 公共解的問題。

參考文獻：

[1]《高等代數(shù)與解析幾何》 西南師范大學出版社2002年9月第1版

[2]《數(shù)學分析》 高等教育出版社 2001年6月第3版