葉喬平

初中數(shù)學(xué)課本中的例題具有示范性、典型性和探究性，是課本的精髓。瀏覽近幾年全國各地的中考數(shù)學(xué)試卷，很多試題來源于課本，“題在書外，根在書內(nèi)”。因此，在中考復(fù)習(xí)中若能充分發(fā)揮課本中例題的潛在功能，適當(dāng)加以拓展延伸，可以達(dá)到發(fā)展智力、培養(yǎng)能力的目的?，F(xiàn)以蘇教版九年級上冊課本上的一道例題為例，談?wù)劚救说囊恍┳龇?，以期達(dá)到拋磚引玉的目的。

原題（蘇教版九年級數(shù)學(xué)上冊）如圖1，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，直線OP交⊙O于點(diǎn)D、E，交AB于點(diǎn)C.（1）AD與BD是否相等？為什么？（2）OP與AB有怎樣的位置關(guān)系？為什么？

拓展1：根據(jù)題設(shè)條件，請你至少寫出四個(gè)不同類型的結(jié)論，并給予證明。

點(diǎn)評：將原題拓展為結(jié)論開放題，可寫的結(jié)論很多。除了原題的兩類結(jié)論外，還可以寫角相等、全等、相似等結(jié)論，給了學(xué)生很大的思維空間，培養(yǎng)了學(xué)生的思維發(fā)散能力和綜合分析能力。

拓展2：如圖，在原題條件不變的前提下， （1）若∠APO=30°，點(diǎn)Q為⊙O上不與點(diǎn)A、B重合的點(diǎn)，求∠AQB的度數(shù)。（2）若⊙O的半徑為5，在（1）的條件下，求PA、PB及劣弧AB所圍成的圖形的面積。（3）連接AD，求證：AD平分∠PAB.

分析：（1）先由切線長定理及題設(shè)可得∠APB=60°，進(jìn)而得出∠AOB=120°，然后將點(diǎn)Q的位置分成在優(yōu)弧AB上和劣弧AB上兩種情況進(jìn)行討論；（2）先由切線的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義求出切線長，然后根據(jù)直角三角形的面積公式和扇形的面積公式進(jìn)行計(jì)算；（3）由切線的性質(zhì)得∠PAD+∠OAD=90°，由AB⊥OP得∠CAD+∠ODA=90°.又OA=OD，所以∠OAD=∠ODA，繼而可得結(jié)論。再繼續(xù)延伸，可得BD平分∠PBA，進(jìn)一步可以得出點(diǎn)D是△PAB的內(nèi)心的結(jié)論。

點(diǎn)評：本題在原題題設(shè)不變的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)問題，以題組的形式訓(xùn)練了學(xué)生綜合運(yùn)用幾何知識的能力。

拓展3：略加演變，原題可成下面一道中考試題：

如圖，PB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，直線PO交⊙O于點(diǎn)E、F，過點(diǎn)B作PO的垂線BA，垂足為點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)A，延長AO與⊙O交于點(diǎn)C，連接BC，AF.（1）求證：直線PA為⊙O的切線；（2）試探究線段EF，OD，OP之間的等量關(guān)系，并加以證明；（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和線段PE的長。

分析：（1）連接OB.根據(jù)垂徑定理，可得∠POA=∠POB.又OA=OB，OP=OP，可證得△PAO≌△PBO，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)及切線的判定定理即可得出結(jié)論；（2）先證△OAD∽△OPA，利用相似三角形的性質(zhì)得出OA2=OD·OP，然后將EF=2OA代入關(guān)系式即得結(jié)論；（3）根據(jù)垂徑定理及中位線定理，得AD=BD，OD=BC=3，設(shè)AD=x，然后利用三角函數(shù)的知識表示出FD、OA的長，在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出x的值，進(jìn)而求出cos∠ACB，再由（2）中的OA2=OD·OP求出PE的長。

點(diǎn)評：本題將原題的條件結(jié)論進(jìn)一步拓展延伸，注重訓(xùn)練了切線的判定與性質(zhì)、垂徑定理、相似三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、方程等知識，綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生的能力培養(yǎng)很有益處。

從以上探究中不難看出，將一道簡單的課本例題進(jìn)行拓展延伸，不僅復(fù)習(xí)了圓中的大部分知識點(diǎn)，而且促進(jìn)了學(xué)生能力的提高。當(dāng)然，這樣的素材不僅僅限于課本中的例題，很多習(xí)題也值得教師們在復(fù)習(xí)中加以挖掘。

中考復(fù)習(xí)時(shí)間緊，任務(wù)重，通過對課本例、習(xí)題的延伸、變化、改造、深化，可以使得復(fù)習(xí)時(shí)既有熟悉感，又有新鮮感，讓學(xué)生在興趣盎然中加深對基礎(chǔ)知識的理解與鞏固。當(dāng)然，課本例題、習(xí)題較多，我們也要抓住重點(diǎn)，從各個(gè)方面精心挖掘其潛力。只有這樣，我們才能真正從題海戰(zhàn)術(shù)中脫身出來，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，提高復(fù)習(xí)效率。