閻家斌　宋叔尼　孫艷蕊

[摘 要]2009年1月我們參與了教育部高教司啟動(dòng)的“用MATLAB和建模實(shí)踐改造工科線性代數(shù)課程”的項(xiàng)目，主要負(fù)責(zé)制作一套線性代數(shù)機(jī)考試題，試題要求涉及線性代數(shù)課程的所有主要運(yùn)算方法，而由計(jì)算機(jī)隨機(jī)生成試題。由于試題生成的隨機(jī)性，使得很多問題變得比較復(fù)雜，難于用線性代數(shù)的知識(shí)解決。文章介紹了利用矩陣的三角分解方法解決線性代數(shù)中遇到的一些特殊問題，以及具體應(yīng)用的實(shí)例和線性代數(shù)課程改造的重要意義。

[關(guān)鍵詞]線性代數(shù)應(yīng)用 矩陣三角分解 教學(xué)改革 教學(xué)方法 機(jī)考試題

[中圖分類號(hào)] G642.0 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2013）08-0065-02

2009年1月教育部高教司啟動(dòng)了“利用信息技術(shù)工具改造課程”項(xiàng)目，包含理工、財(cái)經(jīng)、藝術(shù)等共18項(xiàng)，西安電子科技大學(xué)等院校的“用MATLAB和建模實(shí)踐改造工科線性代數(shù)課程”項(xiàng)目被列為第一項(xiàng)，西安電子科技大學(xué)課題組編寫的“線性代數(shù)實(shí)踐及MATLAB入門”及“工程線性代數(shù)（MATLAB版）”兩本教材，較好地體現(xiàn)了經(jīng)典理論與現(xiàn)代計(jì)算手段相結(jié)合，將抽象概念形象化，使一些復(fù)雜的計(jì)算問題得以實(shí)現(xiàn)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)了解決問題的能力，提高了教學(xué)質(zhì)量。由教育部數(shù)學(xué)教指委數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程分指委對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行了驗(yàn)收鑒定，對(duì)項(xiàng)目和教材作出了高度評(píng)價(jià)。

一、試題建立中遇到的問題

在建立試題的初期，我們遇到了一些看上去很簡單卻無從下手的問題。

例如：求n階矩陣A的逆矩陣問題，這是線性代數(shù)中最常見的問題，現(xiàn)在是我們?nèi)绾谓o出矩陣A？如何保證矩陣A是可逆的？n階矩陣A有n2個(gè)元素，而可逆矩陣對(duì)這n2個(gè)元素沒有什么太多的限制。矩陣A可逆只要求A非奇異，即detA≠0。但是，利用行列式定義計(jì)算一個(gè)n階行列式大約需要（n2-1）n次乘法運(yùn)算，這個(gè)計(jì)算量是驚人的。反之，用detA≠0這么一個(gè)條件去限制矩陣A的n2個(gè)元素的取值也是困難的。在線性代數(shù)的各類問題中，要求一個(gè)矩陣是可逆的是常見問題，比如用Cramer法則求線性方程組的唯一解，也要求方程組系數(shù)矩陣是可逆的。在線性空間中，給出兩組基之間的過渡矩陣，也要求過渡矩陣是可逆的。

再如：求一個(gè)n元齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系問題，如何保證n元齊次線性方程組Ax=0一定有基礎(chǔ)解系？進(jìn)一步基礎(chǔ)解系中包含幾個(gè)解向量？這些當(dāng)然應(yīng)該在生成線性方程組時(shí)得到解決。理論上就是要求矩陣A的秩R（A）=r

二、矩陣三角分解的推廣應(yīng)用

數(shù)值分析課程中，線性方程組的三角分解法有下面結(jié)論，只要矩陣A的各階順序主子式都不等于零，則存在唯一的單位下三角矩陣L，和上三角矩陣U，使得A=LU。但是，矩陣A可逆并不要求矩陣A的各階順序主子式都不等于零。雖然如此，矩陣的三角分解給了我們重要的啟示，容易得到下面的結(jié)論：

1. 三角形矩陣可逆的充分必要條件是對(duì)角線元素都不等于零。

2. 兩個(gè)可逆矩陣的乘積一定還是可逆矩陣。

這就給出了隨機(jī)生成可逆矩陣的方法，只要選取矩陣，

其中，lij，1≤j≤i≤n，uij，1≤i≤j≤n隨機(jī)取值，只要滿足lii，uii≠0，1≤i≤n。則兩個(gè)三角形矩陣L和U都是可逆的，再取矩陣

這樣生成的矩陣A就是可逆矩陣。這是因?yàn)閨A|=|L||U|=l11l22…lnnu11u22…unn≠0。

在具體應(yīng)用中，例如生成考試題時(shí)，為了使生成的可逆矩陣在求逆矩陣時(shí)計(jì)算不太復(fù)雜，而且不同試題的計(jì)算難度相差不大，生成不同矩陣時(shí)可以選取相同的階數(shù)n。而取矩陣的元素lij，uij絕對(duì)值比較小的整數(shù)，取lii=uii=1，1≤i≤n由于此時(shí)有|A|=1，利用逆矩陣的計(jì)算公式A-1=■A*，可知矩陣A的逆矩陣的所有元素都是整數(shù)，便于利用各種方法求矩陣A的逆矩陣，而且答案比較整齊。

對(duì)矩陣的三角分解進(jìn)行進(jìn)一步研究，我們又得到下面的重要結(jié)論：記矩陣，

其中，Lr和Ur分別是r階下三角形矩陣和r階上三角形矩陣，B是（m-r）×r階矩陣，C是r×（n-r）階矩陣，O1是r×（k-r）階零矩陣，O2是（m-r）×（k-r）階零矩陣，O3是（k-r）×r階零矩陣，O4是（k-r）×（n-r）階零矩陣。則有

是一個(gè)m×n矩陣。而且有如下結(jié)論：

如果Lr和Ur是可逆矩陣，則矩陣A的秩等于r。

證明 由于Lr和Ur是可逆矩陣，所以，LrUr可逆，于是有

R（L）=R（U）=R（LrUr）=r，R（A）≤R（L）=r

由于矩陣A中有一個(gè)r階子式|LrUr|≠0，所以，R（A）≥r。

于是，矩陣A的秩等于r。

由此可見，按上述方法可以隨機(jī)生成一個(gè)秩等于r的m×n矩陣A。

三、線性代數(shù)課程改造的重要意義

線性代數(shù)是高等學(xué)校理工科各專業(yè)和經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，它不但是學(xué)習(xí)數(shù)值分析、最優(yōu)化方法、離散數(shù)學(xué)和微分方程等數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)，也廣泛地應(yīng)用于工程學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、力學(xué)、信號(hào)與信號(hào)處理、系統(tǒng)控制、通信、航空等學(xué)科和領(lǐng)域。

工科學(xué)生之所以把線性代數(shù)課程作為一門基礎(chǔ)課程來學(xué)，就是因?yàn)楹罄m(xù)課程需要應(yīng)用它來快速、準(zhǔn)確地描述和解決問題。也是因?yàn)榫仃?、向量等線性代數(shù)知識(shí)是大量具體運(yùn)算的工具，各種工程問題都要應(yīng)用這些知識(shí)。在教學(xué)中，讓學(xué)生知道課程的用途，帶著問題學(xué)習(xí)知識(shí)，是提高學(xué)習(xí)自覺性和學(xué)習(xí)動(dòng)力的重要手段。

線性代數(shù)包含行列式、矩陣、向量、線性組合、線性相關(guān)、秩、線性方程組、線性空間、線性變換、基、維數(shù)、坐標(biāo)、向量正交、二次型、慣性指數(shù)等大量的抽象數(shù)學(xué)概念，也包含行列式計(jì)算、矩陣求逆、矩陣作初等變換、矩陣和向量組求秩、向量組求極大無關(guān)組、線性方程組求解、線性空間求基、維數(shù)和坐標(biāo)、將矩陣相似對(duì)角化、二次型化標(biāo)準(zhǔn)形[1]等大量的具體計(jì)算。由于線性代數(shù)中大量計(jì)算是復(fù)雜的，所以，以筆算為基礎(chǔ)的教材只能把大量內(nèi)容限制在三階以下的理論推演中，引入了科學(xué)計(jì)算軟件MATLAB，任何高階問題都可以在短時(shí)間內(nèi)解出，學(xué)生可以從大量繁瑣的計(jì)算中解放出來，把主要精力放在命題實(shí)質(zhì)的思考上。在線性代數(shù)課程中充分使用信息技術(shù)的最新成果，把工程的需求作為最大的目標(biāo)，才能讓學(xué)生同時(shí)學(xué)習(xí)理論和實(shí)踐，才是線性代數(shù)課程發(fā)展的最大動(dòng)力，才能更好地面向現(xiàn)代化，面向未來。

從線性代數(shù)課程的角度來看，學(xué)生的創(chuàng)新精神、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)主要通過應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決具體實(shí)例來體現(xiàn)。李大潛院士指出：“數(shù)學(xué)的教學(xué)不能和其它科學(xué)和外部世界隔離，只是一個(gè)勁地在數(shù)學(xué)內(nèi)部的概念、方法和理論中打圈子，這不利于了解數(shù)學(xué)的概念、方法和理論的來龍去脈，不利于啟發(fā)學(xué)生自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)工具來解決各種各樣的現(xiàn)實(shí)問題，不利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)”。在高等學(xué)校，線性代數(shù)教學(xué)涉及專業(yè)廣，涉及學(xué)生人數(shù)眾多，加強(qiáng)課程與計(jì)算機(jī)的結(jié)合，加強(qiáng)課程的實(shí)際應(yīng)用，讓學(xué)生通過具體實(shí)踐去認(rèn)識(shí)、掌握所學(xué)的知識(shí)，并運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)去解決實(shí)際問題，無疑是重要的。也需要我們?nèi)ミM(jìn)一步探索、實(shí)踐。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 陳懷琛，高淑萍，楊威.工程線性代數(shù)（MATLAB版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2007，（7）.

[2] 李洪潮.多媒體教學(xué)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的應(yīng)用研究[J].西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），2005，（4）.

[3] 張鐵，閻家斌.數(shù)值分析[M].北京：冶金工業(yè)出版社，2007，（3）.

[4] 邢偉，李建華，樊復(fù)生.線性代數(shù)與空間解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2005.

[5] 李大潛.素質(zhì)教育與數(shù)學(xué)教學(xué)改革[J].中國大學(xué)教學(xué)，2000，（3）：9-11.

[責(zé)任編輯：左 蕓]