原春麗

【摘要】在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)分析有著極其重要的指導(dǎo)效能。運(yùn)用數(shù)學(xué)分析法來解答問題可以把那些比較抽象和復(fù)雜的運(yùn)算公式給避開，對解題過程進(jìn)行了優(yōu)化，適當(dāng)降低了數(shù)學(xué)解題的難度，有利于幫助學(xué)生找到一條解題的捷徑。本文就從一些具體的實例出發(fā)，談一談數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用，以期能夠為廣大中學(xué)生帶來一些幫助。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析 中學(xué)數(shù)學(xué) 指導(dǎo)作用

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）07-0115-01

當(dāng)前，在中學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)中，受限于知識的局限性，許多中學(xué)生在解答一些抽象以及復(fù)雜的數(shù)學(xué)題時往往會陷入一個困境當(dāng)中，在理解一些基本概念時也會茫然失措，顧此失彼。而利用數(shù)學(xué)分析就可以把這些難題進(jìn)行完滿解決。數(shù)學(xué)分析是一門來源于實踐又在實踐中直接運(yùn)用的學(xué)科，在教材中有大量利用數(shù)學(xué)分析的知識范例，學(xué)生對這些范例進(jìn)行學(xué)習(xí)，就會增強(qiáng)自身的應(yīng)用意識，使自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提高。由此可見，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)分析有著很強(qiáng)的指導(dǎo)作用，在解題的過程中合理運(yùn)用數(shù)學(xué)分析就顯得非常重要。

一、數(shù)學(xué)分析和中學(xué)數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系

數(shù)學(xué)分析是在中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上形成起來的。數(shù)學(xué)分析的一些概念如數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)、數(shù)學(xué)積分以及無窮級數(shù)的收斂等都是在中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)中演變而來。一些中學(xué)代數(shù)和幾何無法解決的問題運(yùn)用數(shù)學(xué)分析就能夠有效解決出來，從這一點(diǎn)上來看，數(shù)學(xué)分析是為了解決中學(xué)數(shù)學(xué)中不能夠解決的問題而逐漸發(fā)展形成的。數(shù)學(xué)分析對函數(shù)性質(zhì)的研究是在實數(shù)范圍之內(nèi)進(jìn)行的，在數(shù)學(xué)分析中，實數(shù)理論是基礎(chǔ)。通常情況下，實數(shù)一般分為兩種，一種是有理數(shù)，一種是無理數(shù)。然而中學(xué)數(shù)學(xué)無法回答出無理數(shù)的一些問題，如無理數(shù)有沒有大量存在著？這些問題就可以通過數(shù)學(xué)分析來進(jìn)行完美的解答。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，函數(shù)也是比較重要的內(nèi)容，而數(shù)學(xué)分析是對函數(shù)進(jìn)行研究的。中學(xué)數(shù)學(xué)主要是對函數(shù)的一些簡單性質(zhì)以及概念圖像來進(jìn)行研究，在課文中討論的內(nèi)容也只是局限在函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域、坐標(biāo)軸的交點(diǎn)以及極值上，在研究方式上主要是依照把函數(shù)的定義給出來，運(yùn)用式子的恒等變形，經(jīng)過對方程式進(jìn)行解答來進(jìn)行探討的。這就有著非常大的限制性，在學(xué)習(xí)的時候還要求學(xué)生掌握一些技巧，這就在無形之中給函數(shù)的研究增添了許多困難。而如果運(yùn)用微積分去進(jìn)行研究，函數(shù)的解答就會有一個簡單易行的方法。同時，方程和不等式也是中學(xué)數(shù)學(xué)中比較重要的內(nèi)容。中學(xué)數(shù)學(xué)對方程和不等式進(jìn)行求解時有很多局限性，需要有一定的技巧才能進(jìn)行求解。用數(shù)學(xué)分析來解方程和不等式只要把函數(shù)的零點(diǎn)或者是兩條曲線的交點(diǎn)進(jìn)行解答就可以了。除此之外，數(shù)學(xué)分析也是和幾何問題有著緊密的聯(lián)系，幾何中任意曲線的切線以及漸近線運(yùn)用數(shù)學(xué)分析很容易求解出來。

二、數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用

數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)有著非常重要的指導(dǎo)作用，在這里，就以幾個數(shù)學(xué)實例是說明這種指導(dǎo)作用。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，討論函數(shù)的單調(diào)性只能依照其定義來進(jìn)行，如假設(shè)x10進(jìn)行證明，從而得出函數(shù)的基本單調(diào)性，這種方法沒有辦法把函數(shù)在定義域中的單調(diào)性全貌給展示出來，而且還比較機(jī)械和繁瑣。在數(shù)學(xué)分析當(dāng)中，只需要運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)關(guān)系，就可以把函數(shù)的單調(diào)區(qū)間合理的給求解出來。比如，假設(shè)f（x）=x3-x，現(xiàn)對函數(shù)f的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行討論。這道題運(yùn)用數(shù)學(xué)分析就可以這樣解：由于f（x）=3x2-1=（■+1）（■-1），因此當(dāng)x∈（﹣∞，-1/■）的時候，f（x）≧0，f則遞增；當(dāng)x∈[-1/■，1/■]時，f（x）≦0，則f遞減；當(dāng)x∈[1/■，+∞]時，f（x）≧0，則f遞增。那么，由此就可以得出函數(shù)的單調(diào)性；同樣，函數(shù)極值的應(yīng)用題在中學(xué)數(shù)學(xué)中也比較常見。其求解的時候一般運(yùn)用像平均值不等式這類的基本不等式來進(jìn)行，這就要求廣大學(xué)生要有著非常要的解題技巧才能夠解答出來，而在數(shù)學(xué)分析當(dāng)中，只要運(yùn)用簡單的導(dǎo)數(shù)就可以把答案很快解答出來。比如，現(xiàn)求f（x）=x2+432/x的極值。那么，這個題運(yùn)用數(shù)學(xué)分析就可以這樣求解：當(dāng)x≠0的時候，f（x）=2x-432/x2=2x2-432/x2，令f（x）=0，就可以得出一個穩(wěn)定點(diǎn)x=6。又因為f（6）=（2+864/x3）x=6>0。那么，依照函數(shù)極值的第二個充分條件，x=6是f的極小值，則極小值就是f（6）=108；此外，在證明恒等式上，中學(xué)數(shù)學(xué)方法通常運(yùn)用一些比較高的解題技巧，在數(shù)學(xué)分析中不必要這么麻煩，它只需要依照拉格朗日中值定理的一個推論就可以把恒等式給證明出來。比如：對arctanx+arccotx=π/2，x∈R進(jìn)行證明。此題就是利用數(shù)學(xué)分析中拉格朗日中值定理的有效推論就可以馬上得出答案。證明：因為x∈R，有（arctanx+arccotx）=1/1+x2-1/1+x2=0，因此，arctanx+arccotx=c，y=arctanx的定義域就是（-∞，+∞），值域則是（﹣π/2，π/2），那么y=arccotx的定義域就是（-∞，+∞），值域則是（0，π），同時，為了把c進(jìn)行確定，可以在定義域中任取x的值，令x=0的時候，有c=arctan0+arccot0=π/2，因此arctanx+arccotx=π/2，x∈R。

對中學(xué)數(shù)學(xué)的教師來說，要不斷的為自己充實數(shù)學(xué)知識，提高自身的教學(xué)素質(zhì)，只有這樣，才能在教學(xué)的過程中把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的游刃有余、得心應(yīng)手。要不斷與數(shù)學(xué)分析中的理論以及思想方法進(jìn)行一個接觸與了解，讓自身的知識能與現(xiàn)代社會相符合，能夠更加現(xiàn)代化。用一些新知識和理論去對中學(xué)數(shù)學(xué)中的內(nèi)容進(jìn)行理解，讓數(shù)學(xué)分析中能夠?qū)χ袑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐做一個有效指導(dǎo)，才能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的真正魅力。廣大教師要首先熟練掌握與理解數(shù)學(xué)分析中的理論和指導(dǎo)思想，要持續(xù)不斷的對相關(guān)資料進(jìn)行收集，不時做一些讀書筆記，善于把數(shù)學(xué)分析和中學(xué)數(shù)學(xué)融合在一起，并進(jìn)行比較。久而久之就會把數(shù)學(xué)分析運(yùn)用的瀟灑自如，也就會在貫徹數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用上自然而然地運(yùn)用了。

三、結(jié)語

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，教師和學(xué)生要善于通過數(shù)學(xué)分析來對數(shù)學(xué)教材進(jìn)行一個深刻理解，要注重把數(shù)學(xué)分析和中學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)合在一起，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中的思想方法和理論原理，高瞻遠(yuǎn)矚的去看問題，就一定能夠獲取更多的知識和收獲。同時，就數(shù)學(xué)本身具有著嚴(yán)密性來看，廣大教師要對數(shù)學(xué)內(nèi)容中的某一些理論論述深度進(jìn)行了深入了解，深化對知識實質(zhì)性的認(rèn)識，能夠?qū)δ切┻x配的不是很合理的數(shù)學(xué)問題能及時的充實和熟練掌握。只有這樣，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，我們才能更加對數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行一個深刻理解，也才能把中學(xué)數(shù)學(xué)推向一個全新的高度。

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