陳本慧

摘 要：一元一次方程解應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，尋找等量關(guān)系又是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵，從如何尋找等量關(guān)系、如何利用等量關(guān)系列方程、如何設(shè)未知數(shù)來探討列一元一次方程解應(yīng)用題的教學(xué)規(guī)律。

關(guān)鍵詞：一元一次方程；解應(yīng)用題；等量關(guān)系；列方程；解題規(guī)律

一元一次方程解應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，也是所有列方程解應(yīng)用題教學(xué)中最基礎(chǔ)的起始部分，因此，這一部分內(nèi)容的教學(xué)對(duì)后續(xù)包括二元一次方程組的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式（組）的應(yīng)用等教學(xué)有著至關(guān)重要的作用，也是初中數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實(shí)際的一個(gè)重要方面，通過列一元一次方程解應(yīng)用題的教學(xué)，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力、增強(qiáng)學(xué)生的邏輯思維能力，但由于初中一年級(jí)這一階段學(xué)生的機(jī)械記憶力較強(qiáng)，而分析能力卻相對(duì)較弱，因此，要提高初一年級(jí)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)效果，除了要逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力外，及時(shí)地給學(xué)生以解題方法論的指導(dǎo)，也是每一位數(shù)學(xué)教師必須考慮和認(rèn)真探索的問題。

一、尋找等量關(guān)系是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵

列方程解應(yīng)用題中最關(guān)鍵的是怎樣正確地找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的等量關(guān)系。要找到等量關(guān)系，首先，要分析每一道應(yīng)用題屬于哪種類型，量與量之間有什么基本關(guān)系式。如，在行程問題中的路程、速度、時(shí)間三者的關(guān)系；工程問題中的效率、時(shí)間、工作總量三者的關(guān)系；銷售問題中的進(jìn)價(jià)、定價(jià)、售價(jià)、利潤(rùn)和提價(jià)或降價(jià)的百分率的關(guān)系等。其次，要從多角度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)未知數(shù)與已知數(shù)，已知數(shù)與已知數(shù)的關(guān)系去尋找等量關(guān)系，當(dāng)?shù)攘筷P(guān)系比較隱蔽時(shí)，還可借助圖解形象直觀地反映數(shù)量關(guān)系，便于學(xué)生尋找等量關(guān)系。

例如，某校師生到離學(xué)校28千米的地方游覽，開始一段路步行，速度是4千米/小時(shí)，余下路程乘汽車，速度為36千米/小時(shí)，全程共用了1小時(shí)，求步行所用時(shí)間。

這道題相對(duì)較簡(jiǎn)單，可先找到表示等量關(guān)系的語(yǔ)句“全程共用了1個(gè)小時(shí)”即步行時(shí)間和乘車時(shí)間一共用了1個(gè)小時(shí)。以及由題意可知道的路程由步行路程和乘車路程組成，即步行的路程和乘車的路程之和等于28千米。如果設(shè)步行時(shí)間為x小時(shí)，那么有：

速度 時(shí)間 路程

步行 4千米/小時(shí) x小時(shí) 4x千米

乘車 36千米/小時(shí) （1-x）小時(shí) 36（1-x）千米

在這道題中時(shí)間表示已知量和未知量的關(guān)系，而路程表示方程的等量關(guān)系。

可列方程為：4x+36（1-x）=28

從而可解出這道題。

二、如何利用等量關(guān)系列方程

在一元一次方程的應(yīng)用題中，有時(shí)只能找到一個(gè)等量關(guān)系，這種題較容易解決，但有些應(yīng)用題往往可以找到兩個(gè)等量關(guān)系，這時(shí)怎么解呢？筆者通過多年的教學(xué)實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)許多有關(guān)一元一次方程的應(yīng)用題有以下規(guī)律：設(shè)用第一個(gè)相等關(guān)系，就以第二個(gè)相等關(guān)系來建立方程；設(shè)用第二個(gè)相等關(guān)系，就以第一個(gè)相等關(guān)系來建立方程。

例1.小新出生時(shí)父親28歲，現(xiàn)在父親的年齡是小新年齡的3倍，求現(xiàn)在小新的年齡。

本題有兩個(gè)相等關(guān)系：

（1）代差：父親年齡-小新年齡=28

（2）父親現(xiàn)在年齡=3×小新現(xiàn)在年齡

方法一：設(shè)用第一個(gè)相等關(guān)系，設(shè)小新現(xiàn)在年齡為x歲，則父親現(xiàn)在年齡就為x+28歲，就以第二個(gè)相等關(guān)系來建立方程：

x+28=3x

x=14

方法二：設(shè)用第二個(gè)相等關(guān)系，設(shè)小新現(xiàn)在年齡為y歲，則父親現(xiàn)在年齡就為3y歲，就以第一個(gè)相等關(guān)系來建立方程：

3y-y=28

y=14

下面以一元一次方程解應(yīng)用題中的行程問題為例，行程問題有三個(gè)量：路程、速度、時(shí)間，往往已知一個(gè)量，同時(shí)還有有關(guān)另外兩個(gè)量的相等關(guān)系，設(shè)用其中一個(gè)相等關(guān)系，就以另一個(gè)相等關(guān)系來建立方程。

例2.一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流而行，用了2小時(shí)；從乙碼頭返回甲碼頭逆流而行，用了2.5小時(shí)。已知水流的速度是3 km/h，求船在靜水中的平均速度。

本題是一個(gè)行程問題，時(shí)間是確定的，另外還有關(guān)于速度和路程的兩個(gè)相等關(guān)系，設(shè)速度就以路程的等量關(guān)系來建立方程；設(shè)路程就以速度的等量關(guān)系來建立方程。

（1）順流速度-逆流速度=6

（順流速度=靜水中的速度+水速，逆流速度=靜水中的速度-水速）

（2）順流路程=逆流路程

方法一：設(shè)用第一個(gè)相等關(guān)系，設(shè)船在靜水中的平均速度為x km/h，則船的順利速度為x+3 km/h，則船的逆水速度為（x-3）km/h，就以第二個(gè)相等關(guān)系來建立方程：

2（x+3）=2.5（x-3）

x=27

方法二：設(shè)用第二個(gè)相等關(guān)系，設(shè)甲、乙兩碼頭相距y千米，就以第一個(gè)相等關(guān)系來建立方程：

y/2-y/2.5=6

y=60

y/2-3=27

例3.小花的媽媽為爸爸買一件衣服和一條褲子，共用了306元，其中衣服按標(biāo)價(jià)打七折，褲子按標(biāo)價(jià)打八折。衣服的標(biāo)價(jià)為300元，褲子的標(biāo)價(jià)是多少？

本題有兩個(gè)相等關(guān)系：

（1）商品的售價(jià)=商品的標(biāo)價(jià)×折數(shù)

（2）衣服的售價(jià)+褲子的售價(jià)=總和

方法一：設(shè)用第一個(gè)相等關(guān)系，設(shè)褲子的標(biāo)價(jià)為x元，則褲子的售價(jià)就為0.8x元，就以第二個(gè)相等關(guān)系來建立方程：

300×0.7+0.8x=306

解得x=120

方法二：設(shè)用第二個(gè)相等關(guān)系，設(shè)褲子的售價(jià)為y元，則衣服的售價(jià)為306-y元，就以第一個(gè)相等關(guān)系來建立方程：

306-y=300×0.7

解得y=96

褲子的標(biāo)價(jià)=y÷0.8=96÷0.8=120

這樣反復(fù)訓(xùn)練幾道題，我相信學(xué)生一定能從中找出一元一次方程解應(yīng)用題的解題規(guī)律，從而能很好地培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

三、使學(xué)生掌握設(shè)未知數(shù)的技巧

設(shè)未知數(shù)是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵步驟之一，通過上面的訓(xùn)練，我們應(yīng)該知道并非都是只能問什么就設(shè)什么，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)往往能起到事半功倍的效果，初學(xué)者往往難以掌握，教師要教會(huì)學(xué)生設(shè)未知數(shù)的方法。設(shè)未知數(shù)常用兩種方法：

1.直接設(shè)元法

當(dāng)題中等量關(guān)系能明顯表示出所求未知量時(shí)，可以采用直接設(shè)未知數(shù)的方法，即在題目里問什么，就設(shè)什么做未知數(shù)。這樣設(shè)未知數(shù)后，只要求出所列方程的解，就可以直接得到題目所求，在多數(shù)情況下都可以用直接設(shè)元法來解方程。例如，小穎種了一株樹苗，開始時(shí)樹苗高約40 cm，栽種后每周樹苗長(zhǎng)高約5 cm，問大約幾周后樹苗長(zhǎng)高到1米？這個(gè)問題就宜采用直接設(shè)元法。

2.間接設(shè)元法

當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)列方程比較困難或列出的方程不易求解時(shí)，可以采用間接設(shè)元法，即設(shè)所求問題相關(guān)的間接未知數(shù)。這種方法特點(diǎn)是先將所設(shè)未知數(shù)求出來，然后通過題意再將題中所求未知量求出來。例如，一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位與十位上的數(shù)字之和為7，若把它們十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)換，所得到的兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)大27，求這個(gè)兩位數(shù)。直接設(shè)這個(gè)兩位數(shù)是做不出來的，此問題就應(yīng)采用間接設(shè)元法，可設(shè)個(gè)位上的數(shù)字或者設(shè)十位上的數(shù)字。然而，有些問題既可以采用間接設(shè)元法，又可采用直接設(shè)元法，從而形成一個(gè)問題的多種解法，對(duì)于這樣的問題，要求學(xué)生選一種簡(jiǎn)便的解法。

隨著新課程改革的深入，如何更好地培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力顯得越來越重要，所以應(yīng)用題的教學(xué)不容忽視。作為數(shù)學(xué)教師在思想上要高度重視，在行動(dòng)上要精心安排，認(rèn)真落實(shí)優(yōu)化應(yīng)用題教學(xué)，始終著眼于學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和能力的提高，應(yīng)用題將很好地促進(jìn)素質(zhì)教育的發(fā)展，學(xué)生素質(zhì)也將會(huì)在應(yīng)用題教學(xué)中得到顯著提高。

參考文獻(xiàn)：

朱慕菊.走進(jìn)新課程：與課程實(shí)施者對(duì)話.北京師范大學(xué)出版社，2002-06.

（作者單位 云南省曲靖市沾益縣第五中學(xué)）