張仁林

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1006-5962（2013）06-0274-01

我們知道，在解有關(guān)幾何圖形的題目的時候，有些輔助線的添法是至關(guān)重要的，而利用圖形變換來添加輔助線則是一個非常巧妙的方法。

1 利用平移變換添輔助線

例1. 正方形ABCD中，M是BC上任意一點(diǎn)，AM=10，

GH是AM的垂直平分線，求GH的長。

解：過點(diǎn)B作GH的平行線BE交DC于E（即平移GH），

則BE⊥AM，BE=GH

∴∠CBE+∠BMA=90°， 又∠BAM+∠BMA=90°

∴ ∠BMA=∠CBE

在△ABM 和△BCE中，

∠ABM=∠BCE=90°，∠BAM=∠CBE，AB=BC

∴

∴BE=AM=GH=10.

2 利用軸對稱變換添輔助線

當(dāng)問題中含有角平分線或高線等，若以角平分線或高線為對稱軸，

作軸對稱變換，構(gòu)造出全等三角形，常常有利于問題的解決。

例2. 如圖△ABC 中，AD是∠BAC 的平分線，∠B=2∠C

求證：AC=AB+BD

證明：以∠BAC 的平分線AD為對稱軸，則點(diǎn)B的對稱點(diǎn)B' 必在AC上，由軸對稱性質(zhì)定理知：

∴AB=AB'，BD=B'D，∠B=∠AB'D

又∠B=2∠C ，∠AB'D=∠C+∠B'DC

∴∠C=∠B'DC ∴B'D=B'C=BD

∴AC=AB'+B'C=AB+BD

例3. 如圖， △ABC 中，AD是BC邊上的高，∠B=2∠C

求證：DC=AB+BD

證明：以AD為對稱軸，則點(diǎn)B的對稱點(diǎn)B'必在BC上，

由軸對稱性質(zhì)定理知：

∴AB=AB'，BD=B'D，∠B=∠AB'D

又∠B=2∠C ，∠AB'D=∠C+∠B'AC

∴∠C=∠B'AC，∴AB'=B'C=AB

∴DC=B'D+B'C=BD+AB

3 利用旋轉(zhuǎn)變換添輔助線

當(dāng)問題中有正三角形或正方形時，抓住特殊角，把某個圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°或90°，構(gòu)造全等三角形圖形，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，常常是解題的關(guān)鍵所在。

例4. 已知如圖，正方形ABCD中，P、Q分別是BC、DC上的點(diǎn)，

若AQ平分 ∠DAP. 求證：PA=PB+DQ

證明：將△ADQ 繞A點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°到△ABE的位置，

由圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得

∴∠2=∠3，∠ABE=∠D=90°，∠E=∠4， BE=DQ.

∵ 四邊形ABCD為正方形， ∴∠ABE+∠ABC=180°，

∴ P、B、E三點(diǎn)共線。

∵ AB//DC， ∴∠5+∠1=∠4=∠E .

∵ ∠1=∠2， ∴∠5+∠3=∠5+∠2 =∠5+∠1=∠4=∠E

∴PA=PE=PB+BE=PB+DQ.

例5. 如圖，P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=3，PB=4， PC=5，

求 ∠APB的度數(shù)。

解：將△ABP繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△ACP' ，連接PP' ，

則

∴BP=CP'=4，AP=AP'=3，∠APB=∠AP'C

又 ∠PAP'=60°，

∴△APP' 是等邊三角形， ∴∠APP' =60°，PP'=AP=3

在△APP' 中，PP'=3 ，P'C=4，PC=5

∴PC2=P'P2+P'C2，

∴∠PP'C=90°，

∴ ∠APB=∠AP'C =∠AP'P+∠PP'C=60°+90°=150°.

例6. 如圖，點(diǎn)P是正方形內(nèi)一點(diǎn)，PA=1， PB=2， PC=3，

求∠APB 的度數(shù).

解：將△ABP 繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBP' ，連接PP' ，

則 ∠ABP=∠CP'B，∠PBP'=90°

∴AP=CP'=1，BP'=BP=2

∴PP'=BP'+BP2=22， ∠BPP'=∠BP'P=45°，

在 △PP'C 中，PP'= 22，P'C=1 ， PC=3

∴PC2=P'P2+P'C2 ，∴∠PP'C=90°

∴∠APB =∠CP'B=∠BP'P+∠PP'C=45°+90°=135°

正圖形的變換，通常是指對圖形進(jìn)行折疊、平移、旋轉(zhuǎn)等.在解題過程中，若能注意變換圖形，往往會收到"柳暗花明又一村"的效果一、折疊變換例1如圖1，ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分線交AC于D，過C作BD的垂線交BD的延長線于E.你能用所學(xué)的知識說明BD是CE的2倍。

解題筆記： 在解類似問題時，應(yīng)從實(shí)際出發(fā)，結(jié)合圖形的特點(diǎn)，通過圖形的旋轉(zhuǎn)、平移或軸對稱將幾個互不相關(guān)的量（及分散的條件和結(jié)論）聯(lián)系起來是解題之關(guān)鍵。