許少華
函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式是一個(gè)古老而始終煥發(fā)“青春”且極富“朝氣”的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容. 在過往的歷次高考中它給無數(shù)“前輩們”留下了永恒的興奮.當(dāng)然,也帶給了無數(shù)“前輩們”終生遺憾. 現(xiàn)在你要面對(duì)它了,它將留給你的是什么?無論結(jié)果如何,奮斗是必須的. 因?yàn)閵^斗,可能成功;不奮斗,一定不成功.那么,就讓我們一起來關(guān)注函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的命題特點(diǎn)吧!
1. 立足基本概念,圍繞某一知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)試題.
函數(shù)、導(dǎo)數(shù)涉及很多基本概念,立足基本概念,圍繞某一知識(shí)點(diǎn)或某幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)試題是常規(guī)命題方式之一,此類題綜合性不強(qiáng),但不一定是簡單題,往往求解有較大的靈活性.
例1 某學(xué)校要招開學(xué)生代表大會(huì),規(guī)定各班每10人推選一名代表,當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于時(shí)再增選一名代表.那么,各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為( )
A. y=[] B. y=[]
C. y=[] D. y=[]
解析一 設(shè)x=10m+a(0≤a≤9),
當(dāng)0≤a≤6時(shí),=m+=m=[];
當(dāng)6≤a≤9時(shí),=m+=m+1=[]+1,所以選B.
解析二 特殊取值法,若x=56,y=5,排除C、D,若x=57,y=6排除A,所以選B.
點(diǎn)評(píng) 本題考查考生處理問題的靈活性及思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,可以看出用特殊值法既方便快捷又準(zhǔn)確無誤.那么,這個(gè)特殊值是怎么想起來的呢?從“余數(shù)大于6”,顯然,“6”是分水嶺,抓住這個(gè)之后,不難看出:26與27,36與37等都可以. 當(dāng)然,設(shè)x=10m+a之后,對(duì)a的分類點(diǎn)也就自然誕生了.
例2 設(shè)函數(shù)f(x)=(a<0)的定義域?yàn)镈,若所有點(diǎn)(s,f(t))(s,t∈D) 構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域,則a的值為( )
A. -2 B. -4 C. -8 D.不能確定
解析:由|x1-x2|=fmax(x), =, |a| =2,a=-4,選B.
點(diǎn)評(píng) 本題的實(shí)質(zhì)是定義域?qū)?yīng)的區(qū)間長度與值域?qū)?yīng)的區(qū)間長度相等.認(rèn)識(shí)到此,求解也就變得易如反掌.
2. 立足基本圖形,圍繞基本性質(zhì)設(shè)計(jì)試題.
圖形是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)中的重要特征內(nèi)容之一,立足基本圖形,圍繞性質(zhì)設(shè)計(jì)試題也是十分常見的,這些題在求解時(shí),不一定都必須畫圖,但“腦屏”中一定要有圖形.借助這些畫出的或未畫出的圖形促使問題獲解.
例3 已知y=f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù),當(dāng)x≠0時(shí),f'(x)+>0,則關(guān)于x的函數(shù)g(x)=f(x)+的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A. 1 B. 2 C. 0 D. 0或 2
解析 由f′(x)+>0?圯>0?圯>0,
當(dāng)時(shí)x<0,[xf(x)]′<0, 即x∈(-∞,0)時(shí),函數(shù)xf(x)為減函數(shù);
當(dāng)x>0時(shí),[xf(x)]′>0,即x∈(0,+∞)時(shí),函數(shù)xf(x)為增函數(shù).
設(shè)h(x)=xf(x),得hmin(x)=h(0)=0,于是,當(dāng)x≠0時(shí),xf(x)>0.
由于g(x)=f(x)+=0?圯xf(x)=-2,由上述可知xf(x)>0,所以xf(x)=-2無解,故函數(shù)f(x)+=0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.
點(diǎn)評(píng) 本題立足函數(shù)的大致圖形,通過導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生函數(shù)的圖象性質(zhì),結(jié)合性質(zhì)促使問題獲解.由于本題兩個(gè)函數(shù)式都比較特別,對(duì)已知進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵.
例4 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù), 并滿足f(x-4)=-f(x)且在[0,2]上是增函數(shù),給出下列結(jié)論: (1)若0
A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3 個(gè)
解析 ∵ f(x-4)=-f(x), ∴ f(x-8)=-f(x-4)=f(x), ∴ f(x)的周期為8.
∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴ f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
∵ f(x-4)=-f(x),∴ f(x-4)=f(-x),∴ f(x) 關(guān)于x=-2對(duì)稱. 由f(x) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,f(x)又關(guān)于x=2對(duì)稱.
由f(x) 在[0,2]上是增函數(shù),且 f(0)= f(4)=0,所以可以畫出草圖為:
(1)若0
(2)0
(3)如圖所示,若m>0,則兩個(gè)根關(guān)于x=-6對(duì)稱,兩個(gè)根關(guān)于x=2對(duì)稱,所以有x1+x2+x3+x4=-8.若m<0,則兩個(gè)根關(guān)于x=-2對(duì)稱,兩個(gè)根關(guān)于x=6對(duì)稱,所以有x1+x2+x3+x4=8,故(3)也正確.本題答案為D.
點(diǎn)評(píng) 從f(x-4)=-f(x) 著手找其中的對(duì)稱性,周期性和單調(diào)性,并畫草圖分析. 在近幾年的高考試卷中,都能找到與本題類似的題型,這些類型題目需要我們通過一些代數(shù)恒等變換得到一些常用的結(jié)論,并加以靈活運(yùn)用,但是如果我們能在圖形的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析,那就會(huì)有事半功倍.
3. 立足導(dǎo)數(shù)概念、幾何意義,圍繞極值、最值設(shè)計(jì)試題.
設(shè)計(jì)含參數(shù)的函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的基本概念、幾何意義等產(chǎn)生參數(shù)的值,然后再結(jié)合具體函數(shù),求其極值、最值或是利用極值與最值產(chǎn)生另外的基本問題等是一類較為常見試題.此類題難度中等,正確的求出參數(shù)的值是關(guān)鍵.
例5 函數(shù)y=lnx關(guān)于直線x=1對(duì)稱的函數(shù)為f(x),又函數(shù)y=ax2+l(a>0)的導(dǎo)函數(shù)為 g(x),記h(x)=f(x)+g(x).
(1)設(shè)曲線y=h(x)在點(diǎn)(1,h(1))處的切線為l,若l與圓(x+1)2+y2=1相切,求a的值;
(2)求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求函數(shù)h(x)在[0,1]上的最大值.
解析 (1)由題意得 f(x)=ln(2-x),g(x)=ax,∴ h(x)=ln(2-x)+ax.
∴ h′(x)=a+,過(1,h(1))點(diǎn)的直線的斜率為a-1,
∴ 過(1,h(1))點(diǎn)的直線方程為y-a=(a-1)(x-1).
又已知圓心為(-1,0),半徑為1,由題意得=1?圯a=1.
(2)由 h′(x)==a[x-(2-)]·,函數(shù)定義域?yàn)椋?∞,2). ∵ a>0,∴ 2-<2.
令 h′(x)>0,解得x<2-;令 h′(x)<0,解得2- 所以,(-∞,2-)是h(x)的增區(qū)間,(2-,2)是h(x)的減區(qū)間. (3)①當(dāng)2-≤0,即0 ②當(dāng)0 ∴ 當(dāng)a=2-時(shí),h(x)的最大值h(2-)=2a-1-lna. ③當(dāng)2-≥1,即a≥1時(shí),h(x)在[0,1]是增函數(shù), ∴ h(x)的最大值h(1)=a. 綜上,hmax(x)=ln2, (0 點(diǎn)評(píng) 本題是導(dǎo)數(shù)、函數(shù)結(jié)合的基本試題,難度較小,考查的知識(shí)點(diǎn)較為全面,從導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線與圓的位置關(guān)系、單調(diào)區(qū)間及最值等應(yīng)有盡有.只要考生擁有常規(guī)技能與熟練的基礎(chǔ)知識(shí)都能順利完成求解. 4. 立足導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用,圍繞范圍、恒成立等設(shè)計(jì)試題. 立足導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用,圍繞范圍、恒成立等設(shè)計(jì)試題.此類題往往既具有函數(shù)的抽象性,又具有不等式的靈活性,還具有最值的應(yīng)用性.一般來說難度都比較大,突破此類題的常規(guī)作法是,首先借助導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)性質(zhì);然后利用函數(shù)性質(zhì)及不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題;最后完成求解,其中轉(zhuǎn)化問題是關(guān)鍵. 例6 已知函數(shù) f(x)=x++b(x≠0),其中a,b∈R. 若對(duì)于任意的a∈,2,不等式f(x)≤10在x∈,1時(shí)恒成立,求b的取值范圍. 解析 由 f′(x)=1-=,易得f(x)在[,+∞]內(nèi)是增函數(shù),在(0,)內(nèi)是減函數(shù). (1)若a≥1,則f(x)在,1上是減函數(shù),此時(shí),fmax(x)=f()=+4a+b,由f(x)≤10在x∈,1時(shí)恒成立,得+4a+b≤10?圯b≤-4a恒成立,由于a∈,2,得b≤. (2)若≤a<1,則f(x)在(,)上是減函數(shù),在(,1)內(nèi)是增函數(shù),于是,f(x)在,1上的最大值為f與f(1)中的較大者,不等式f(x)≤10在,1上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)f≤10,f(1)≤10, 即b≤-4a,b≤9-a恒成立,對(duì)于任意的a∈,2,得b≤,b≤7,從而得b≤. 由(1) (2)得滿足條件的b的取值范圍是(-∞,]. 點(diǎn)評(píng) 本題求解時(shí),牢牢的抓住“f(x)≤10在x∈,1時(shí)恒成立”,就是f(x)在x∈,1時(shí)的最小值不大于10.從這個(gè)角度出發(fā)討論函數(shù)的單調(diào)性、分析最值點(diǎn),最終首先結(jié)論. 5. 立足導(dǎo)數(shù)及函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,圍繞不等關(guān)系設(shè)計(jì)試題. 不等,是社會(huì)的特點(diǎn),更是數(shù)學(xué)的特點(diǎn).看看一套數(shù)學(xué)試卷,用不等號(hào)連結(jié)的內(nèi)容所占的比例你什么都清楚了.立足導(dǎo)數(shù)及函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,設(shè)計(jì)不等關(guān)系的問題十分普遍,此類題的求解,既要注重導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì),還必須注重基本不等式. 例7 設(shè)x1、x2(x1≠x2)是函數(shù) f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0)的兩個(gè)極值點(diǎn). (1)若|x1|+|x2|=2,求b的最大值. (2)若x1 解析 (1)由 f′(x)=3ax2+2bx-a2, ∵ x1,x2是函數(shù) f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn), ∴ x1,x2是方程3ax2+2bx-a2=0的兩根.于是x1+x2=-, x1·x2=-. ∵a>0, ∴ x1·x2<0. ∴|x1|+|x2|=|x1-x2|===2?圯b2=3a2(6-a). ∵b2≥0, ∴3a2(6-a)≥0, ∴ 00, ∴ h(a)在(0,4)內(nèi)是增函數(shù);當(dāng)4 (2)∵x1,x2是方程f′(x)=0的兩根,∴f′(x)=3a(x-x1)(x-x2), ∴|g(x)|=3a|x-x1|·|x-x2-|≤3a()2. ∵ x1 ∴ |g(x)|≤[(x-x1)-(x-x2-)]2=(x2-x1+)2. ∵x1·x2=-, x2=a, ∴ x1=-. ∴ |g(x)|≤(a++)2=a(3a+2)2. 點(diǎn)評(píng) 本題的第一問將函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)、最值等融為一體,難度不大,但也有一定的靈活性;第二問利用基本不等式,再結(jié)合條件產(chǎn)生結(jié)論.兩問完美結(jié)合,奏出了基礎(chǔ)知識(shí)科學(xué)而合理交匯的美麗的樂章.
6. 立足實(shí)際應(yīng)用,圍繞社會(huì)熱點(diǎn)設(shè)計(jì)試題.
學(xué)習(xí)知識(shí)的目的在于應(yīng)用,在于創(chuàng)造價(jià)值.立足實(shí)際應(yīng)用,圍繞社會(huì)熱點(diǎn)設(shè)計(jì)試題是近年高考命題的一大特點(diǎn).函數(shù)、不等式的應(yīng)用性是其它章節(jié)知識(shí)難以比擬,因此,與工業(yè)的產(chǎn)銷、房地產(chǎn)等有關(guān)的熱點(diǎn)問題值得我們關(guān)注.
例8 某廠生產(chǎn)一種儀器,由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制,會(huì)產(chǎn)生一些次品.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道,該廠生產(chǎn)這種儀器,次品率P與日產(chǎn)量x(件)之間大體滿足關(guān)系:
P=,(1≤x≤c, x∈N). (x>c, x∈N) (其中c為小于96的正常數(shù))
注:次品率P=,如P=0.1表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品,約有1件為次品.其余為合格品.
已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可以盈利A元,但每生產(chǎn)一件次品將虧損元,故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量.
(1)試將生產(chǎn)這種儀器每天的盈利額T(元)表示為日產(chǎn)量x(件)的函數(shù);
(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí),可獲得最大利潤?
解析 (1)當(dāng)x>c時(shí),P=,所以每天的盈利額T=xA-x·=0;
當(dāng)1≤x≤c時(shí),每日生產(chǎn)的合格儀器約有(1-)x件,次品約有()x件,故每天的盈利額T=(1-)xA-x·=[x-]A.
綜上,T與x的函數(shù)關(guān)系為:
T=[x-]A, 1≤x≤c0. x>c
(2)由(1)知,當(dāng)x>c時(shí),每天的盈利額為0.
當(dāng)1≤x≤c時(shí),T=[x-]A. 令96-x=t,則0<96-c≤t≤95,
那么T=[96-t-]A=(97-t-)A≤ (97-2)A=A.
當(dāng)且僅當(dāng)t=,即t=12(x=88)時(shí), 等號(hào)成立.
所以(i)當(dāng)c≥88時(shí),Tmax=A(等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=88時(shí)成立).
(ii)當(dāng)1≤c<88時(shí),由1≤x≤c得12<96-c≤t≤95,
因?yàn)間′(t)=1-當(dāng)t∈(12,+∞)時(shí),有g(shù)′(t)>0,所以函數(shù)g(t)=t+在t∈(12,+∞) 上單調(diào)遞增. 得g(t)>g(96-c).
于是T=(97-t-)A≤[97-(96-c)-]A=()A,
即Tmax=()A,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=c時(shí)取得.
綜上,若88≤c<96,則當(dāng)日產(chǎn)量為88件時(shí),可獲得最大利潤;若1≤c<88,則當(dāng)日產(chǎn)量為c時(shí),可獲得最大利潤.
點(diǎn)評(píng) 分段函數(shù)是歷年高考的熱門話題,??汲P率瞧涿}特點(diǎn).本題的第二問是很多考生都會(huì)出錯(cuò)的.也許產(chǎn)生了x=88后就萬事大吉了,其實(shí)不然.
7. 立足函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式,圍繞綜合應(yīng)用設(shè)計(jì)試題.
近年高考?jí)狠S題以導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、不等式的綜合試題為主導(dǎo),這些試題的共性是基礎(chǔ)性與技能性兼?zhèn)?,既考查考生基礎(chǔ)知識(shí)的全面與熟練程度,又考查考生綜合應(yīng)用知識(shí)與技能的能力.試題難度較大,也許很多考生可以得分,但百分之九十以上的都無法得滿分.
例9 設(shè)f(x)=(x>0),
(Ⅰ)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于x的不等式ln (1+x) (Ⅲ): 求證(1+)n 解析 (1)∵ f(x)=(x>0), ∴ f′(x)=. 設(shè) g(x)=-ln(1+x) (x≥0),∴ g′(x)=-=≤0, ∴ y=g(x)在[0,+∞)上為減函數(shù). 那么g(x)=-ln(1+x)≤g(0)=0, 得f′(x)=<0, ∴函數(shù) f(x)=在(0,+∞)上為減函數(shù). (2)ln(1+x) 若a≥1,則x∈[0,+∞)時(shí),h′(x)=-a≤0恒成立,∴ h(x)=ln(1+x)-ax在[0,+∞)上為減函數(shù),∴ ln(1+x)-ax 若a≤0顯然不滿足條件.
(1)如果函數(shù)f(x)在x=1處有極值-,試確定b,c的值;
(2)求曲線y=f(x)上斜率為c的切線與該曲線的公共點(diǎn);
(3)記g(x)=|f′(x)|(-1≤x≤1)的最大值為M. 若M≥k對(duì)任意的b,c恒成立,試求k的最大值.
解析 由 f(x)= f(x1)?塥 f(x2)=-(x2-3c)(x-3b)+4bc=-x3+bx2+cx+bc,得 f′(x)=-x2+2bx+c.
(1)由題意得f′(1)=-1+2b+c=0,f(1)=-+b+c+bc=-?圯b=1,c=-1或b=-1,c=3.
當(dāng)b=1,c=-1時(shí),f′(x)=-x2+2x-1≤0,此時(shí) f(x)沒有極值.
當(dāng)b=-1,c=3時(shí), f′(x)=-x2-2x+3=-(x-1)(x+3),顯然, x∈(-3,1)時(shí), f′(x)>0,此時(shí)函數(shù)遞增;x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)<0,此時(shí)函數(shù)遞減;那么當(dāng)x=1時(shí),有極大值,其值為f(1)=-,于是b=-1, c=3為所求.
(2)設(shè)曲線y=f(x)在x=t處的切線斜率為c,由-t2+2bt-c=c?圯t=0或t=2b.
若t=0,則切線方程為y=cx+bc;若t=2b,則切線方程為y=cx+bc+b2.
由-x3+bx2+cx+bc=cx+bc?圯x=0或x=3b,此時(shí),公共點(diǎn)為(0,bc),(3b,4bc).
由-x3+bx2+cx+bc=cx+bc+b2?圯x=2b或x=-b,此時(shí),公共點(diǎn)為(2b,b2+3bc)和(-b,b2).
綜上:b=0時(shí),斜率為c的切線與該曲線的公共點(diǎn)僅為(0,0);否則,公共點(diǎn)為(0,bc),(3b,4bc)或(2b,b2+3bc)和(-b,b2).
(3)由g(x)=|f′(x)|=|-(x-b)2+b2+c|,
①當(dāng)|b|>1時(shí),函數(shù)y=f′(x)的對(duì)稱軸x=b位于區(qū)間[-1,1]之外,因此,y=f′(x)的最值在兩端點(diǎn)處取得,故M應(yīng)是g(-1)與g(1)中較大的一個(gè).
所以2M≥g(-1)+g(1)=|-1+2b+c|+|1+2b+c|≥4|b|>4?圯M>2.
②若-1≤b≤0,則f′(1)≤f′(-1)≤f′(b)?圯g(-1)≤max{g(1),g(b)},那么M=max{|f′(1)|,|f′(b)|}≥[|f′(1)|+|f′(b)|]≥[|f′(1)+f′(b)|]=(b-1)2≥.
③若0≤b≤1,則f′(-1)≤f′(1)≤f′(b)?圯g(1)≤max{g(-1),g(b)},那么M=max{|f′(-1)|,|f′(b)|}≥[|f′(-1)+f′(b)|]≥[|f′(-1)+f′(b)|]=(b+1)2≥
綜上,對(duì)任意的b,c都有M≥.
而當(dāng)b=0,c=時(shí),g(x)=-x2+在區(qū)間[-1,1]上的最大值M=,
故M≥K對(duì)任意的b,c恒成立的k的最大值為.
點(diǎn)評(píng) 本題建立在創(chuàng)新定義的展開,從第一問確定b,c的值,到第二問求公共點(diǎn)的坐標(biāo),再到第三問恒成立時(shí)參數(shù)的最值.無論哪個(gè)環(huán)節(jié)、哪個(gè)步驟想產(chǎn)生結(jié)論都并非易事.特別是第三問,應(yīng)用不等式的放縮技巧十分到位,堪稱經(jīng)典.
函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式的命題特點(diǎn),我們暫時(shí)就談到這里,雖然在此也列舉了多種類型的多個(gè)例題,但并未囊括所有. 這一塊畢竟是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、高考命題的熱點(diǎn),擁有這些,一樣不能說這一塊沒問題了.
(作者單位:中山市第一中學(xué))
責(zé)任編校 徐國堅(jiān)