馮德芳

【摘要】導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)新增加的內(nèi)容，它是研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值，討論函數(shù)圖象變化趨勢(shì)的重要工具。本文通過(guò)例題說(shuō)明導(dǎo)數(shù)的一些應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；函數(shù)的切線；單調(diào)性；最值；恒成立問(wèn)題。

中學(xué)階段所涉及的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要而有力的工具，特別是對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性，以“導(dǎo)數(shù)”為工具，能對(duì)其進(jìn)行全面的分析，為我們解決求函數(shù)的極值、最值提供了一種簡(jiǎn)明易行的方法，進(jìn)而與不等式的證明，討論方程解的情況等問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，極大地豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法。而考試大綱對(duì)這部分內(nèi)容做出如下要求：

考試內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幾種常見(jiàn)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?；緦?dǎo)數(shù)的公式。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值。函數(shù)的最大值和最小值?？荚囈螅孩倭私鈱?dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念。②熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（ ， 為有理數(shù) 的導(dǎo)數(shù)）；掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。③理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)）；會(huì)求一些實(shí)際問(wèn)題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值。而此復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)高度重視以下問(wèn)題：

1. 求切線方程； 2. 求函數(shù)的值域； 3.解決單調(diào)性問(wèn)題； 4.求函數(shù)的極值（最值）；5.構(gòu)造函數(shù)證明不等式；6.分析恒成立問(wèn)題。

考點(diǎn)1 導(dǎo)數(shù)的概念

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，研究曲線的切線的斜率。函數(shù) 處的導(dǎo)數(shù)，表示曲線在點(diǎn) 處的切線斜率。如：

（2011全國(guó)Ⅱ）（8）曲線y= +1在點(diǎn)（0，2）處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為

（A） （B） （C） （D）1

【思路點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)求出點(diǎn)（0，2）切線方程 切線方程是： ，然后分別求出與直線y=0與y=x的交點(diǎn)問(wèn)題即可解決。在直角坐標(biāo)系中作出示意圖，即得 。此題在考查學(xué)生導(dǎo)數(shù)概念的同時(shí)也考查學(xué)生的數(shù)學(xué)作圖能力。

考點(diǎn)2 求函數(shù)的單調(diào)性

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：①求出函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù) ；②在函數(shù)定義域?yàn)榻獠坏仁?得函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間；解不等式 得函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間。

（具體見(jiàn)例1（1））

考點(diǎn)3 求函數(shù)值域

設(shè)函數(shù) 求 在 上的最大值與最小值的步驟如下：

⑴求 ；

⑵將 比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。（具體步驟見(jiàn)例1（2），例1（2）不是直接求值域的問(wèn)題，但是是相似的。需要分析清楚函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性，最值情況，并采用數(shù)型結(jié)合的方法，確定出參數(shù)的范圍）

考點(diǎn)4 構(gòu)造函數(shù)證明不等式

⑴直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增（減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大（?。瑏?lái)證明不等成立。

如：

證明：設(shè)

⑵把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，達(dá)到證明不等式的目的（具體步驟見(jiàn)例1（3））

例1. 設(shè)函數(shù)

（1） 求 的單調(diào)區(qū)間；

（2） 當(dāng) 時(shí)，若方程 在 上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；

（3） 證明：當(dāng) 時(shí)， 。

解：（1）

① 當(dāng) 上為增函數(shù)；

② 當(dāng) ，令 ， 在 上單調(diào)遞增，令 ，解得 ，在 上單調(diào)遞減。

（此問(wèn)是導(dǎo)數(shù)常規(guī)題型，需要要注意分類討論）

（2）由（1）和 可知， 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，又 ， ，

， ， 時(shí)， 上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解。

（數(shù)學(xué)解題方法中應(yīng)注意前后問(wèn)題的聯(lián)系及數(shù)型結(jié)合的應(yīng)用）

（3） ，

設(shè) ，

則 ，由（1）（2）可知 單調(diào)遞減，且 ， ，即 上是遞減函數(shù)。而 .原不等式成立。

（此問(wèn)中一開(kāi)始會(huì)是無(wú)從入手來(lái)證明，但是數(shù)學(xué)解題中化歸方法的應(yīng)用就顯得重要，就是如何把想要的證明的東西與該題的條件相結(jié)合，實(shí)際是構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，進(jìn)而能比較大小的問(wèn)題）

構(gòu)造函數(shù)證明不等式，其實(shí)不光是在函數(shù)相關(guān)的題型中可以使用。數(shù)學(xué)是非常靈活的，導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)掌握好了，能很好的用于其它題目中。在教學(xué)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)有學(xué)生也能用導(dǎo)數(shù)完成不等式的證明中。如

例2. 已知數(shù)列 ，數(shù)列 ，點(diǎn) .

（1） 求數(shù)列 ；

（2） 若

解：（1）（過(guò)程略）

（2）（實(shí)際證明： ，此問(wèn)在數(shù)列題目中，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，過(guò)程比較繁。但是因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù)，也可以用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明，但是在寫法上就需要注意一些。不能構(gòu)造 ，想用導(dǎo)數(shù)來(lái)分析單調(diào)性，該函數(shù)要在定義域內(nèi)連續(xù)的。因此，可適當(dāng)靈活變通，采用導(dǎo)數(shù)法求解較為容易。）

令 ， ，

當(dāng) ，則 上也為增函數(shù)，有 ，故 。

故

考點(diǎn)5 用導(dǎo)數(shù)探究含有參數(shù)的恒成立不等式

不等式恒成立問(wèn)題，一般都會(huì)涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后，可轉(zhuǎn)化為“ 恒成立”“ 恒成立”。解決的方法是求f（x）的最小值m或最大值M，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“a≤m”” ”。從而把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問(wèn)題。因此，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值是解決不等式恒成立問(wèn)題的一種重要方法。

例3.函數(shù) ，若對(duì)所有 ，都有 成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。

【思路一】：此方法解題思路是分離變量，利用解決恒成立問(wèn)題的思路，求某個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題。但是在這里有一個(gè)大學(xué)才學(xué)的知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用：洛比達(dá)法則——在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法。其實(shí)在中學(xué)教材中是沒(méi)有相關(guān)介紹的，但是因?yàn)樵诖髮W(xué)知識(shí)中屬于比較淺的內(nèi)容，高中學(xué)生也比較容易接受。在學(xué)生能力能接受的情況下，可以介紹重在應(yīng)用。

解： 任意

， ，設(shè) ， ，（若令 ，解不出）

令 ， ， ，

， ， .

【思路二】：直接構(gòu)造函數(shù)，分析單調(diào)性入手來(lái)研究。這種方法就要注意在解題過(guò)程中，含有參數(shù)，應(yīng)以什么進(jìn)行分類討論。這里是以零點(diǎn)所處的位置進(jìn)行分類的。

解： ，令 解得

① 當(dāng) ， 上是增函數(shù)， ， 。

② 當(dāng) ，在 ，

當(dāng)

綜上，

在例3思路一的解法中，分離變量，轉(zhuǎn)化成就某一函數(shù)的最值問(wèn)題。想求函數(shù)的最值，有時(shí)候只需要求導(dǎo)一次即可，有時(shí)候需要進(jìn)行二次求導(dǎo)來(lái)分析函數(shù)的單調(diào)性，如例2（2），想知道函數(shù)的單調(diào)性，求導(dǎo)一次時(shí)，還沒(méi)有辦法確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)問(wèn)題，因此再考慮再次求導(dǎo)，以確定原函數(shù)的單調(diào)性。但有些題目，是不管求幾次導(dǎo)都不能確定上一級(jí)函數(shù)的單調(diào)性的。如

例4.已知函數(shù) ，若對(duì)于任意的

求 的取值范圍。

解： ，令 ， ，（此時(shí)，當(dāng) 再對(duì)分子求導(dǎo)無(wú)法確定單調(diào)性）設(shè) ， ， ， ， ，

遇上這種情況，就需要多動(dòng)腦筋，注意觀察。

導(dǎo)數(shù)的引入，給傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)注入了生機(jī)與活力，為中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題（如函數(shù)問(wèn)題、不等式問(wèn)題等）的研究提供了新視角、新方法新途徑，開(kāi)拓寬了高考的命題空間。如2011全國(guó)Ⅱ的導(dǎo)數(shù)題目就做為壓軸題，在第（I）問(wèn)中其實(shí)考查還是很常規(guī)的利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性最值的常規(guī)題，不難證明。第（II）問(wèn)證明如何利用第（I）問(wèn)結(jié)論是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵也是解題能力高低的體現(xiàn)。

（2011全國(guó)Ⅱ）（22）（Ⅰ）設(shè)函數(shù) ，證明：當(dāng) 時(shí)， ，

（Ⅱ）從編號(hào)1到100的100張卡片中每次隨即抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為 .證明：

解：（I）

所以 在 上單增。

當(dāng) 時(shí)， 。

（II）

由（I），當(dāng)x<0時(shí)， ，即有

故

于是 ，即 .

利用推廣的均值不等式：

另解： ，

所以 是上凸函數(shù)，于是

因此

，

該題的知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)、靈活性大，其中引進(jìn)適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)是解題的關(guān)鍵。

中學(xué)階段所涉及的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要而有力的工具，特別是對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性，以“導(dǎo)數(shù)”為工具，能對(duì)其進(jìn)行全面的分析，為我們解決求函數(shù)的極值、最值提供了一種簡(jiǎn)明易行的方法，進(jìn)而與不等式的證明，討論方程解的情況等問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，極大地豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法。因此，在教學(xué)中，要突出導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，方法提升。

總之，導(dǎo)數(shù)作為一種工具，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)使用非常方便，在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用過(guò)程中，要加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，達(dá)到優(yōu)化解題思維，簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的，更在于使學(xué)生掌握一種科學(xué)的語(yǔ)言和工具，進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)的深刻理解和直觀認(rèn)識(shí)。