陳浮

[摘 要] 復習是知識的再學習，它是學生鞏固所學知識、構建科學的知識網絡、提高問題解決能力的重要手段。通過認真研究和反復實踐構建出復習課的新模式，即知識結構-知識要點-方法意識-樣例分析-檢測評鑒-總結反思。在實施過程中節(jié)約了學習時間成本，提高了學生學習的主動性和熱情，培養(yǎng)了學生的思考力和解題能力，從而提高了課堂教學效率。

[關鍵詞] 復習課模式；建構；反思

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1005-4634（2013）05-0113-04

1 問題提出

美國數(shù)學家斯蒂恩認為，“數(shù)學是模式的科學，數(shù)學家們尋求存在于數(shù)量、空間、科學、計算機乃至想象之中的模式”。數(shù)學是通過建構相對獨立的量化模式并以此為直接對象從事客觀世界量性規(guī)律研究的，而且現(xiàn)代數(shù)學的研究對象也已經從具有明顯直觀意義的量化模式擴展到了可能的量化模式[1]。數(shù)學是模式的科學，數(shù)學教學也應具有模式化。數(shù)學教學模式是在一定教學思想指導下，圍繞教學活動中的某一主題所形成的相對穩(wěn)定的、系統(tǒng)化和理論化的教學范型[2]。它既體現(xiàn)一定的理論背景，同時也反映可操作性，是理論與實踐結合的產物[3]。目前，數(shù)學教學模式異彩紛呈。涂榮豹、楊騫、王光明通過系統(tǒng)地研究，總結出20多種數(shù)學教學模式[4]。

如何構建有效的復習課新模式呢？張奠宙、趙小平先生指出，現(xiàn)在的公開課中難見好的復習課，大多是大容量、快節(jié)奏、高密度的解題訓練課，目的是熟練，讓學生做到“一看就會，一做就對”。然而復習課的首要目的是提煉數(shù)學思想方法，啟示如何熟能生巧，上升到新的境界[5]。張奠宙一針見血地指出了當前復習課存在的弊端：大容量、快節(jié)奏、高密度的解題訓練，“做題、講題、再做題”的題海怪圈，不注重提煉數(shù)學思想方法，認識達不到新的境界。那么怎樣才能既提高解題能力又提高思想認識，從而達到復習課應有的目標呢？

2 模式建構

根據(jù)教學系統(tǒng)設計論原理，教學設計主要是運用系統(tǒng)方法，將學習理論與教學理論的原理轉換成對教學目標、教學內容、教學方法和教學策略、教學評價等環(huán)節(jié)進行具體計劃、創(chuàng)設教與學的系統(tǒng)“過程”或“程序”，而創(chuàng)設教與學系統(tǒng)的根本目的是促進學習者的學習[6]。皮連生先生設計的“六步三階段教學”模型認為，學習有自身的獨立過程。教本無獨立過程，它是學習的外部條件，為學服務。離開了學，就沒有教[7]。因此，復習課模式的建構也要體現(xiàn)“以學為中心”，有利于形成一個相對完善的知識和方法系統(tǒng)。在此基礎上，筆者多年深入研究、實踐，不斷修正、實驗，得出復習課教學模式，見圖1。

1）知識結構——人的脊梁。知識結構是指知識點之間的關系與聯(lián)系的一種形式。豐富的知識并加以優(yōu)化的結構能為題意的本質理解與思路的迅速尋找創(chuàng)造成功的條件[8]。學完每章（節(jié)）后，把知識點串起來，形成一個相互關聯(lián)、層次分明的網絡結構，像人體的脊梁，從“主干”上去整體把握。結構化的知識更容易理解和記憶，從而能夠使學生掌握知識的來龍去脈，更好地促進運用和遷移。這是因為結構具備的根本性功能是利用關系、層次的形式，合理地將要素分清主次、明確地位、按層次入座，便于人的思維在有限的短時記憶中同時加工處理，一攬子把握，確切地組織它，建構概念意義[9]。

2）要點提煉——人的臟腑。知識點分散于各小節(jié)當中，它們如同人體的臟腑器官，擔負著“發(fā)動機”作用。因此，在學完每部分（階段）時，都必須及時地進行梳理、歸類和提煉。用簡潔明快的數(shù)字或字母及順口溜、諺語、詩詞等來提煉、概括。

3）方法意識——人的脈絡。數(shù)學方法是數(shù)學的靈魂，是人們對數(shù)學知識本質的認識，是對數(shù)學知識熟練掌握和應用的基礎上更高層次的抽象與概括。它像人的脈絡一樣貫穿于數(shù)學的每一部分內容之中。數(shù)學方法就是數(shù)學思想的具體化，是數(shù)學思想的外殼和物質形式[10]。意識是有目的、自覺的、能為意識主體所感知的心理活動[11]。而意識的形成關鍵在于經驗的積累、思想方法的悟透，它屬于更高層次的思維形態(tài)。看到什么條件，就能意識到相應的解決方法。

4）樣例分析——人的血肉。羅增儒教授指出：分析典型例題的解題過程是學好數(shù)學、學會解題的一條有效途徑[12]。典型的例題就像人的血肉，它把各個部分內容、知識點組織在一起，形成一個較為完整的知識鏈。已有大量的實驗證明，樣例學習法能促進圖示知識的形成，并能節(jié)約教學時間[13]。通過對樣例的分析，使學生懂得如何解讀條件，找到條件之間的關系，轉化為數(shù)學關系式，確立解題的突破口和思路，從而提高學生的解題能力。

5）檢測評鑒——人的四肢。檢測實際上就是一種測量工具或技術，運用量化行為或分數(shù)，幫助教師理解或預測學生的行為[14]。通過對學生的檢測結果或過程進行形成性評價和鑒賞，發(fā)現(xiàn)他們的不足之處，欣賞他們的獨到魅力，激勵他們勇于創(chuàng)新、張揚個性。這一環(huán)節(jié)就像人的四肢，沒有它，將無所事事，寸步難行。

6）總結反思——人的大腦?？偨Y是對重要知識點進行貫穿、提煉，重組學生已形成的知識結構并內化為學生頭腦中的認知結構，因為結構化了的知識更有利于儲存、轉換、自我調節(jié)和提取[15]。反思即元認知，是人們以自己的認識活動過程及結果為認識對象的認識活動。作為對認識的認識，反思較一般思維活動層次更高。通過反思，人們獲得不同于感覺所得來的內部經驗，使自己的認識得以升華，使自己的實踐行為趨于合理，同時在反思過程中自我得到發(fā)展，特別是形成一種反思的能力[16]。

3 模式運用

如果說理念是叢書的靈魂，那么課例就是承載理念的載體，是理念的外化形式[17]。李士锜說過，三個好的案例就是一篇很好的論文。鄭毓信指出：案例研究應當被看成教學研究的一個基本形式。再好的教學設計如果不能在教學實際中運用，那只是一種設想。下面為北京師范大學版必修4《平面向量》一章復習課案例的教學設計。

1）知識結構。

師：學完平面向量，你能根據(jù)知識呈現(xiàn)的順序用圖或表的形式把本章的知識內容羅列出來嗎？

生1：可以。（生1畫出了知識結構框圖）

師：很好。如何概括本章的知識要點呢？

2）要點提煉。

生2：一個概念：向量；兩個定理：向量共線定理和平面向量基本定理；三個區(qū)別：零與零向量，與，相等向量與相反向量；四種運算：向量的加、減、數(shù)乘及數(shù)量積運算；數(shù)量積的五條性質：（1）==cos<，>（為單位向量）；（2）==；（3）=0；（4）cos<，>=；（5）。

師：生2的概括是否全面準確？說出理由。

生3：我認為生2說的一個概念不準確，應該是與向量有關的一組概念：向量、向量的模、零向量、相等向量、相反向量、共線向量、向量的夾角。只說一個向量概念，不全面。

師：生2同學把本章的知識點概括得非常好，生3的補充也很恰當。請大家再全面推敲一下，把你認為不精準的地方說出來。

生4： 我認為三個區(qū)別中后兩個不妥當，因為我們很容易區(qū)分。應該是向量共線與點共線和向量的夾角與內積取值的范圍。

師：為什么？

生4：因為向量的共線包括向量的平行，而點共線必須要求所有的點都在一條直線上。由于向量的夾角可以是銳角、直角和鈍角，相應的內積必須是正數(shù)、零和負數(shù)，但反過來，除直角外，另外兩種未必成立，還需要注意到共線的情況。這一點最容易忽視。

師：同學們都聽清楚了嗎？生4同學的回答真是太精彩了！掌聲在哪里？（于是，全班響起熱烈的掌聲。正當大家都非常高興的時候，生5舉手。）

評注：布魯納認為，在教學過程中，學生是一個積極的探究者。教師的作用是要形成一種學生能獨立探究的情境，而不是提供現(xiàn)成的知識[18]。要培養(yǎng)學生自主探究、意義結構和歸類、概括的能力，而不是“越俎代庖”、“全盤授予”。

生5：老師，前面幾個同學把本章的知識點概括得非常全面，我很贊同！不過，我想再增加一些書外的內容，就是老師常說的一些“高級規(guī)則”。

師：很好！說說看。

生5：為了保持順序一致，就叫“六個高級規(guī)則”：（1）已知、是不共線向量，且=+，若A、B、C三點共線，則+=1。反之也成立。（2）O為內一點，若++=，則∶∶=c∶a∶b。（3）若G是的重心，則++=，反之亦然。（4） 若O是的垂心，則==。（5）若O是的內心，則++=。（6）若O、H分別是的外心和垂心，則=++。

師：同學們，聽明白了嗎？生5同學給了我們太多的意外，其實也是意料之中。這與生5同學在課堂上認真聽講、課外深入鉆研分不開?。∠Ｍ€有疑問的同學課下認真鉆研，弄個水落石出。向量兼具“數(shù)”、“形”兩個特征，本章應該掌握哪些數(shù)學思想方法，形成哪些數(shù)學意識呢？試舉例說明。

評注：教師的教不等于包辦代替，教學要留下適當?shù)摹翱瞻住?，由學生在課下自主探究、相互交流，在“恍然大悟”或“慢慢醒悟”中建構完成。 3）方法意識。

生6：應該是數(shù)形結合思想，它包含兩種意識：建系意識（坐標意識）和幾何意識。例如：若等邊的邊長為，平面內一點M滿足=+，則通過建系很容易得出結果。這樣的例子有很多，我發(fā)現(xiàn)如果是特殊圖形，建系非常有效；如果條件特殊或條件的幾何意義明顯，則構造出的相應幾何圖形也很容易找到答案。

（過了幾秒鐘，課堂上響起了雷鳴般的掌聲。等到掌聲漸漸平息，生7舉起了手）

生7：我認為是分類與整合的思想，如在直角中，，，求k的值，這里就要分為直角、為直角、為直角三種情況討論解決。

師：說得好！當我們面臨的問題比較復雜，用傳統(tǒng)的方法無法進行下去時，就要考慮對象包含了哪些情況，然后分而治之。但要注意兩點：一是標準統(tǒng)一，不重不漏；二是整合解題的結果。還有什么需要補充的嗎？

生8：我認為還應該掌握“算兩次”的方法，本章的核心是向量運算，對于向量的加、減、數(shù)乘、內積運算都有“規(guī)定運算”與“坐標運算”兩種方式，這兩種方式是針對同一種運算而言的。如求證 ，要注意到從 聯(lián)想到向量的內積，從 聯(lián)想到向量的模，可以構造向量利用“算兩次”的方法進行證明（生8同學展示了自己的證明過程）。

師：生8同學的展示很簡練，推理很嚴謹，用事實說明了“算兩次”方法的應用價值，應該引起大家的重視。我們要從思想方法的高度培養(yǎng)自己“算兩次”的解題意識。還有什么需要補充的嗎？

生7：根據(jù)內積的幾何意義，數(shù)量積等于的長度與 在 的方向上的投影的乘積。因此，題目中只要含有“垂直”這個信息，就要聯(lián)想到用內積的幾何意義解題，這就是投影意識。例如在平行四邊形中，，垂足為，且，求的值，見圖2。

分析：過C作交的延長線于，則，（注意到在方向上的投影為）。除此之外，我認為還應該有對應意識，因為向量的坐標運算都要求“對應”。還有結構意識（見模必平方）、細節(jié)意識（三種區(qū)分）都需要關注。

師：以上三個同學提出了數(shù)形結合、分類整合、算兩次的數(shù)學思想方法，還強調了要形成建系意識（坐標意識）、幾何意識、投影意識、結構意識、細節(jié)意識。將本章的特點概括得非常準確、完整。讓我們以熱烈的掌聲再一次表示祝賀！

評注：教學中一直關注數(shù)學思想方法，而對數(shù)學意識及潛意識（直覺）的認識往往不足，常常被忽略。研究發(fā)現(xiàn)，全球具有偉大成就的成功人士，直覺準確率平均高達95%以上，普通人的直覺有60%都是錯的。通過直覺，不僅可以應對未知的變化，辨識機遇與陷阱，從而做出正確的選擇，還可以認識自身的各個維度，修煉強大的自我[19]。因此，在每一節(jié)課中，要求學生不僅能說出本章應該掌握哪些數(shù)學思想方法、形成哪些數(shù)學意識，還要求他們舉出具體的例子，這是因為恰當?shù)呐e例事實上也可被看成各人對于相關理論是否達到了真正理解的直接標志[20]。

4）樣例分析（例題略）。