尹小恰 任順清 陶子英

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱150001）

用水平儀測(cè)量豎直軸線鉛垂度的誤差分析

尹小恰 任順清 陶子英

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱150001）

針對(duì)用水平儀測(cè)量豎直軸線對(duì)水平面的垂直度的方法，建立一系列坐標(biāo)系，用方向余弦陣進(jìn)行傳遞推導(dǎo)了與水平儀固聯(lián)坐標(biāo)系相對(duì)于地理坐標(biāo)系的姿態(tài)關(guān)系，從而得出水平儀讀數(shù)與垂直度誤差、傾角回轉(zhuǎn)誤差和角位置等的關(guān)系，由此采用最小二乘法計(jì)算了非整周回轉(zhuǎn)軸系的回轉(zhuǎn)軸線的鉛直度誤差。然后，對(duì)于不同的誤差源，包括回轉(zhuǎn)誤差、水平儀誤差、角位置誤差，以及測(cè)試數(shù)據(jù)量、軸系回轉(zhuǎn)范圍等因素進(jìn)行了相應(yīng)的誤差分析。

垂直度；水平儀；最小二乘法；誤差分析

0 引言

利用水平儀測(cè)量整周回轉(zhuǎn)豎直軸系的傾角回轉(zhuǎn)誤差，調(diào)整其豎直軸線的鉛垂度是一種非常成熟的方法［1］，但有的設(shè)備，比如六自由度的交會(huì)對(duì)接仿真測(cè)試設(shè)備，它上面的三軸轉(zhuǎn)臺(tái)都是非整周360°的回轉(zhuǎn)，有的回轉(zhuǎn)范圍僅有±25°，而且要求其豎直的外環(huán)軸軸線與豎直移動(dòng)導(dǎo)軌平行。文獻(xiàn)［2］論述了用經(jīng)緯儀測(cè)量豎直導(dǎo)軌對(duì)水平面的垂直度方法，如果用水平儀測(cè)量三軸轉(zhuǎn)臺(tái)的外環(huán)軸軸線對(duì)水平面的垂直度，則可以測(cè)量它們之間的平行度誤差。本文對(duì)如何測(cè)量旋轉(zhuǎn)軸的垂直度提出了一種新的非整周測(cè)量方法，使水平儀可以測(cè)量非整周回轉(zhuǎn)軸系的軸線鉛垂度，并對(duì)非整周測(cè)量方法的誤差源和測(cè)量精度進(jìn)行了研究。

1 測(cè)試原理與數(shù)據(jù)處理方法

1.1 測(cè)試原理

以立式單軸轉(zhuǎn)臺(tái)為例，闡述水平儀測(cè)試豎直軸線鉛垂度的基本原理，建立如下坐標(biāo)系：

地理坐標(biāo)系 o0x0y0z0是固聯(lián)在地基上的坐標(biāo)系，如圖1所示，o0x0在水平面內(nèi)，o0z0向上與重力加速度矢量平行，o0y0水平并由右手定則確定。

軸套坐標(biāo)系 o1x1y1z1是固聯(lián)在軸套上的坐標(biāo)系，如圖1所示，o1z1與主軸的回轉(zhuǎn)軸線一致。主軸回轉(zhuǎn)軸線對(duì)水平面的垂直度為Δθ0，它可認(rèn)為是在地理坐標(biāo)系o0x0y0z0的基礎(chǔ)上繞o0x0軸旋轉(zhuǎn)Δθx0，再繞o0y0軸旋轉(zhuǎn)Δθy0形成。軸套坐標(biāo)系相對(duì)地理坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣為

圖1 基準(zhǔn)坐標(biāo)系與軸套坐標(biāo)系

注：Rot（i，θ）表示繞i軸旋轉(zhuǎn)θ角形成的新的坐標(biāo)系相對(duì)于原坐標(biāo)系的方向余弦陣。

主軸坐標(biāo)系 o2x2y2z2是固聯(lián)在主軸上的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，如圖2所示，它的o2z2軸與主軸軸線一致，它的初始位置與o1x1y1z1一致，該坐標(biāo)系是在考慮主軸的傾角回轉(zhuǎn)誤差Δθx1（γ）、Δθy1（γ）的基礎(chǔ)上繞o1z1軸旋轉(zhuǎn)γ角形成的。主軸坐標(biāo)系相對(duì)軸套坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣為

安裝基面坐標(biāo)系 o3x3y3z3也是固聯(lián)在主軸上的坐標(biāo)系，如圖3所示，它是考慮水平儀安裝基面相對(duì)于軸系軸線的垂直度Δαx2、Δαy2形成的。安裝基面坐標(biāo)系相對(duì)主軸坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣為

圖2 主軸坐標(biāo)系

圖3 安裝基面坐標(biāo)系

利用坐標(biāo)系之間姿態(tài)的傳遞關(guān)系和式（1）～（3），安裝基面坐標(biāo)系相對(duì)于地理坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣為

目前的機(jī)械加工水平，其回轉(zhuǎn)誤差小于1″或者更低，可以忽略回轉(zhuǎn)誤差項(xiàng)Δθx1（γ）、Δθy1（γ），式（5）、（6）可以簡(jiǎn)化為

根據(jù)式（7）或（8），可以只用一個(gè)水平儀使其置于x或y方向便可測(cè)試出二維鉛垂度Δθx0、Δθy0。Δαx2、Δαy2包含了臺(tái)面對(duì)回轉(zhuǎn)軸線的垂直度以及水平儀本身的零位誤差，表現(xiàn)為均值項(xiàng)，在鉛垂度調(diào)整時(shí)，調(diào)整地腳使水平儀讀數(shù)在任何位置都接近這個(gè)常數(shù)項(xiàng)，則鉛垂度Δθx0、Δθy0將逐漸接近于零。

1.2 數(shù)據(jù)處理方法

在用水平儀測(cè)試垂直度時(shí)，以o3x3上水平儀測(cè)量為例（o3y3上同理），如圖4所示，將水平儀置于x方向。設(shè)回轉(zhuǎn)范圍等間隔取n點(diǎn)讀取水平儀數(shù)據(jù)，如果豎直軸系處于不同角位置γi，i＝0，1，2，…，n－1，n為測(cè)試點(diǎn)數(shù)，水平儀的量測(cè)數(shù)據(jù)為fx（γi），由式（7），可以辨識(shí)出水平儀讀數(shù)的常數(shù)項(xiàng)Δαy2（包括水平儀零位誤差及臺(tái)面對(duì)軸線的垂直度誤差）、二維鉛垂度Δθx0、Δθy0：

圖4 水平儀位置

在對(duì)垂直度誤差做精度分析時(shí)，殘差向量記為ξ。由式（7）可寫出矩陣形式

根據(jù)最小二乘法原理得

由此可處理出豎直軸線鉛垂度大小為

或同理可將水平儀置于如圖4中y方向，根據(jù)式（8）處理出豎直軸線鉛垂度大小。

2 誤差分析

2.1 辨識(shí)系數(shù)的誤差分析

對(duì)于式（10）中，令B＝（AΤA）－1AΤ

水平儀的測(cè)試不確定度是σ0，則Δαy2、Δθy0、Δθx0的不確定度分別為

2.2 測(cè)試實(shí)例

實(shí)際測(cè)量的水平儀測(cè)試不確定度σ0＝0.2″。當(dāng)測(cè)試區(qū)間為整周360°、180°、90°、45°時(shí)，分別測(cè)量并計(jì)算鉛垂度及測(cè)量不確定度；當(dāng)測(cè)試區(qū)間一定，改變角度間隔，分別測(cè)量并計(jì)算鉛垂度及測(cè)量精度。測(cè)量計(jì)算結(jié)果如表1所示。為測(cè)試的常數(shù)項(xiàng)，它的來(lái)源包括兩部分，水平儀的底面與軸線的垂直度，還有水平儀的零位誤差，如果鉛垂度較大并需要調(diào)整時(shí)，可以調(diào)整轉(zhuǎn)臺(tái)地腳或相應(yīng)的調(diào)整機(jī)構(gòu)，使水平儀在轉(zhuǎn)動(dòng)范圍內(nèi)均接近這個(gè)常數(shù)項(xiàng)，所以這個(gè)常數(shù)項(xiàng)的辨識(shí)精度決定了軸線鉛垂度的調(diào)整精度。則水平儀測(cè)數(shù)值軸系鉛垂度的測(cè)試精度可表示為

表1 實(shí)際測(cè)量的計(jì)算結(jié)果一覽表

可見對(duì)于非整周回轉(zhuǎn)軸系，用水平儀同樣可以測(cè)量其鉛垂度的大小。但隨著軸系回轉(zhuǎn)范圍的減小，測(cè)量精度將越來(lái)越低。

3 測(cè)試誤差源分析

影響鉛垂度測(cè)試精度的因素有：數(shù)據(jù)處理方法的精度、水平儀的測(cè)量不確定度、軸系回轉(zhuǎn)誤差、角位置誤差、測(cè)量點(diǎn)數(shù)和測(cè)角范圍等。

3.1 水平儀測(cè)量不確定度

由式（12）可知，水平儀的測(cè)試不確定度直接影響測(cè)試精度，水平儀測(cè)量精度越高，測(cè)試結(jié)果精度就越高。

由于2.2測(cè)試實(shí)例中整周與非整周測(cè)量時(shí)水平儀測(cè)試精度都是σ0＝0.2″，故此實(shí)例中可以認(rèn)為水平儀測(cè)量不確定度不是影響非整周測(cè)試鉛垂度的原因。

3.2 軸系回轉(zhuǎn)誤差

在第1.1節(jié)中，由式（5）、（6）得出式（7）、（8）時(shí)，忽略了回轉(zhuǎn)誤差項(xiàng)，一定會(huì)對(duì)測(cè)試精度造成影響［3］，假設(shè)回轉(zhuǎn)誤差Δα的范圍為－1″～＋1″，式（7）、（8）轉(zhuǎn)換為

根據(jù)回轉(zhuǎn)誤差的理論，回轉(zhuǎn)誤差的主要諧波成分為二次及二次以上諧波，這里僅考慮其二、三、四次諧波成分。

由于測(cè)量鉛垂度時(shí)，往往忽略回轉(zhuǎn)誤差，假設(shè)回轉(zhuǎn)誤差的幅值一般小于1″，當(dāng)測(cè)量鉛垂度時(shí)往往隨機(jī)從某個(gè)角度開始測(cè)試，所以使式（15）中的Δθ2＝0.8″，Δθ3＝0.3″，Δθ4＝0.2″，γc采用在［0，2π）的100個(gè)隨機(jī)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，用Matlab編程仿真，得出常數(shù)項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)差和鉛垂度誤差測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)差見表2。

從表2中可以看出，軸系的回轉(zhuǎn)范圍越小，傾角回轉(zhuǎn)誤差的存在對(duì)鉛垂度測(cè)試誤差的影響越大。

3.3 角位置誤差

為了分析角位置誤差對(duì)測(cè)試精度的影響，假設(shè)角位置誤差為Δγ，目前角位置誤差調(diào)試在±5″已經(jīng)非常容易做到，式（7）、（8）轉(zhuǎn)換為

表2 傾角回轉(zhuǎn)誤差對(duì)于常數(shù)項(xiàng)Δαy2與鉛垂度Δθ測(cè)試的影響的標(biāo)準(zhǔn)差

如果Δθx0、Δθy0調(diào)整到小于60″，則Δγ對(duì)水平儀讀數(shù)的影響為60″sinΔγ＝0.0015″，遠(yuǎn)小于水平儀的分辨力。測(cè)試鉛垂度，采用電控轉(zhuǎn)臺(tái)時(shí)，角位置誤差對(duì)鉛垂度測(cè)試的影響可以忽略不計(jì)。

假設(shè)測(cè)角系統(tǒng)沒有調(diào)整完畢，用刻度盤的刻線進(jìn)行定位，定位誤差很大，分別假設(shè)γ有0.1°和0.5°的隨機(jī)誤差。同樣采用計(jì)算機(jī)仿真計(jì)算，統(tǒng)計(jì)100次所產(chǎn)生的標(biāo)準(zhǔn)差見表3。根據(jù)角位置誤差的理論，角位置誤差的主要諧波成分為一、二次諧波。

表3 角位置誤差對(duì)于常數(shù)項(xiàng)Δαy2與鉛垂度Δθ測(cè)試的影響的標(biāo)準(zhǔn)差

從表3中可以看出，軸系的回轉(zhuǎn)范圍越小，角位置誤差的存在對(duì)鉛垂度測(cè)試誤差的影響越大。在50°的回轉(zhuǎn)范圍內(nèi)，測(cè)量點(diǎn)數(shù)為26點(diǎn)，角位置的隨機(jī)誤差為0.5°時(shí)，鉛垂度測(cè)量誤差小于1″，故實(shí)際中角位置誤差對(duì)鉛垂度測(cè)試誤差的影響是極其微小的，尤其在采用電控時(shí)完全可以忽略不計(jì)。

3.4 測(cè)量點(diǎn)數(shù)

2.2 節(jié)非整周測(cè)試中，當(dāng)測(cè)角范圍180°不變，測(cè)量點(diǎn)數(shù)變化時(shí)，測(cè)試精度也會(huì)發(fā)生變化。如圖5所示。

圖5 測(cè)量點(diǎn)數(shù)對(duì)精度的影響

由圖5可知，隨著測(cè)量點(diǎn)數(shù)越來(lái)越多，即角度間隔越來(lái)越小，測(cè)試精度越來(lái)越高。在測(cè)角范圍180°時(shí)，當(dāng)測(cè)量點(diǎn)數(shù)為8時(shí)，測(cè)試精度已可達(dá)到0.2″。

3.5 測(cè)角范圍

由2.2節(jié)整周測(cè)試與非整周測(cè)試的差異可知，測(cè)量區(qū)間的不同會(huì)影響測(cè)試精度。步長(zhǎng)取5°，當(dāng)測(cè)角范圍為45°、46°、…、360°時(shí)，根據(jù)式（7）、（8），測(cè)試精度的變化如圖6所示。

圖6 測(cè)角區(qū)間對(duì)精度的影響

由圖6可知，當(dāng)測(cè)角范圍150°時(shí)，測(cè)試精度已趨近于整周測(cè)試精度，當(dāng)測(cè)角范圍65°時(shí)，測(cè)試精度約達(dá)到1″。

3.6 數(shù)據(jù)處理精度

由1.2中數(shù)據(jù)處理采用最小二乘法，而最小二乘法本身的誤差定會(huì)影響鉛垂度測(cè)試精度，最小二乘法的測(cè)量誤差一般達(dá)10－2數(shù)量級(jí)［4－5］。

由式（4）～（6）知，在數(shù)據(jù)處理過(guò)程中忽略了二階小量，這也會(huì)對(duì)測(cè)試結(jié)果造成影響，然而由上面對(duì)角位置誤差影響的分析可知，一階小量角位置誤差的影響尚可忽略不計(jì)，二階小量對(duì)測(cè)試結(jié)果的影響更是微乎其微，可忽略不計(jì)。

4 結(jié)論

本文分析了用水平儀測(cè)試豎直軸線鉛垂度的基本原理，給出了非整周回轉(zhuǎn)軸系鉛垂度的測(cè)試方法與數(shù)據(jù)處理方法。針對(duì)水平儀的誤差、回轉(zhuǎn)軸系誤差中的各次諧波、角位置誤差、測(cè)量點(diǎn)數(shù)的多少和測(cè)角范圍的大小等誤差源對(duì)鉛垂度測(cè)試誤差的影響，采用仿真計(jì)算和實(shí)測(cè)驗(yàn)證的方法進(jìn)行了分析，結(jié)果表明回轉(zhuǎn)誤差對(duì)測(cè)試精度影響較大；當(dāng)測(cè)量范圍一定時(shí)，若所得測(cè)試精度較低，可通過(guò)減小角度間隔增加測(cè)量點(diǎn)數(shù)的方法提高測(cè)試精度。本文的分析為正確估計(jì)鉛垂度，調(diào)整多自由度系統(tǒng)中的豎直軸系的初始對(duì)準(zhǔn)方法、對(duì)準(zhǔn)精度提供了一定的依據(jù)。

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10.3969／j.issn.1000－0771.2013.4.03