許克城

數(shù)學(xué)思考是學(xué)生進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考的過程，是喚起學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心，激發(fā)并維持學(xué)生主動和自主學(xué)習(xí)的根本保證，是提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題能力的有力措施，是培育學(xué)生實踐能力和創(chuàng)新意識的有效途徑。數(shù)學(xué)思考作為一種“過程性目標”，實際上是讓學(xué)生經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”的過程，也就是讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程。真正有效地讓學(xué)生進行數(shù)學(xué)思考。那么，如何抓住“問題”這把金鑰匙，將“數(shù)學(xué)思考”目標作為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計與實施的一個基本出發(fā)點，筆者試從“發(fā)現(xiàn)問題”、“提煉問題”、“探究問題”、“貫通問題”、“深化問題”、“提升問題”這幾個層面進行探索，以促進學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，幫助學(xué)生運用數(shù)學(xué)的思維方式進行思考。

一、強化自主意識，引導(dǎo)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題

1.在讀書中發(fā)現(xiàn)問題

蘇霍姆林斯基說過：“學(xué)會學(xué)習(xí)，首先要學(xué)會閱讀?！睌?shù)學(xué)課本是依據(jù)《數(shù)學(xué)課程標準》，并考慮不同年齡學(xué)生認識的特點按數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，由淺入深、循序漸進，精心編寫出來的。學(xué)生不僅要利用課本來理解教師講授的內(nèi)容，還要利用數(shù)學(xué)課本來進行預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)和作業(yè)等。我們的學(xué)生認為閱讀只是學(xué)習(xí)語文、英語的事，只是把數(shù)學(xué)教材當成習(xí)題集，閱讀教材成為教師的專利，學(xué)生只要聽懂就滿足了，即使教師布置預(yù)習(xí)，學(xué)生也只是蜻蜓點水，浮光掠影讀不出要點，讀不出字里行間所蘊藏的精髓，長此以往，學(xué)生的閱讀數(shù)學(xué)課本的能力和習(xí)慣就得不到提高，閱讀正在成為阻礙數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量提高的絆腳石。因此，筆者在教學(xué)中充分發(fā)揮數(shù)學(xué)課本的作用，不斷創(chuàng)設(shè)機會，培養(yǎng)學(xué)生認真閱讀數(shù)學(xué)課本的能力和習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力。

例如，在學(xué)習(xí)“百分數(shù)”這一單元組時，學(xué)生通過閱讀課本，就可以發(fā)現(xiàn)很多的問題：百分數(shù)的含義和作用是什么？生活中百分數(shù)運用在哪些地方？百分數(shù)和分數(shù)的不同之處在哪里？教育儲蓄存款和國債是怎么回事？它們的利率是多少？等等。又如，學(xué)習(xí)“小數(shù)的認識”，學(xué)生可以從課題中發(fā)現(xiàn)為什么會產(chǎn)生小數(shù)？什么叫小數(shù)？小數(shù)的計數(shù)單位是什么？小數(shù)是怎樣組成的？在生活中哪些地方會用到小數(shù)？等一些具有探究性的問題。學(xué)生的習(xí)慣是從小培養(yǎng)的，只有老師經(jīng)常這樣訓(xùn)練，學(xué)生才能慢慢地形成“在讀的過程中去發(fā)現(xiàn)問題”的良好習(xí)慣，進而帶著問題走進思維的殿堂，在課堂中去思考。同時教師要不斷地引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑，質(zhì)疑能使學(xué)生觀察得更仔細，發(fā)現(xiàn)問題的能力更快捷，思考問題更縝密深刻，步步為營，步步提升。久而久之，學(xué)生在閱讀時，也學(xué)會抓住關(guān)鍵，多問些為什么，思維的深刻性、敏捷性隨之培養(yǎng)。

2.在討論中提煉問題

學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中，相互討論是必不可少的環(huán)節(jié)，而相互討論是以提煉問題為前提的。教師給出一個問題，學(xué)生經(jīng)過討論能夠?qū)栴}了解得更加深入，更臻于完整。

在學(xué)生學(xué)習(xí)了長方體的體積之后，出示一塊不規(guī)則的彩泥，讓學(xué)生討論怎樣計算它的體積。在學(xué)生的討論中，提出了“把彩泥變成長方體”或“把彩泥放在水中”等想法，這時教師同時將學(xué)生的想法演示出來，讓學(xué)生觀察彩泥是怎樣變形的；接著出示一杯水，再讓學(xué)生討論怎樣計算這杯水的容量。最后教師提問：“為什么要把彩泥轉(zhuǎn)化成長方體或放置水中？彩泥“變形”了（這是外觀性），它的體積“變化”了沒有（這是核心性）？讓學(xué)生在討論中得出彩泥“變形”，只是外在的變化，并沒有改變它所占的空間，因此它的體積沒有改變，這是內(nèi)在的，在這種“形”變“體”不變的思維中，滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生的思維達到上位性的思維。

再如，“媽媽今年43歲，女兒今年15歲，幾年前媽媽的年齡正好是女兒的5倍？”這個問題對學(xué)生來說看似有點復(fù)雜，其實其中蘊含的卻是非常簡單的數(shù)學(xué)原理。教師可以讓學(xué)生自己討論，將問題精簡化，把上述問題通過數(shù)學(xué)建模用式子表示出來：由于問的是幾年前，我們就假設(shè)成a年前，這樣可得出5×（15-a）=43-a，進而求得a=8，就是8年前媽媽的年齡正好是女兒的5倍。這樣，通過討論，學(xué)生能利用已有的“用字母表示數(shù)或等式”的數(shù)學(xué)經(jīng)驗把應(yīng)用問題提煉成數(shù)學(xué)等式，求解未知數(shù)a，簡單明了，有利于培養(yǎng)學(xué)生提煉生活化數(shù)學(xué)問題的能力。

二、創(chuàng)設(shè)思考環(huán)境，促進學(xué)生探究數(shù)學(xué)規(guī)律

1.在練習(xí)中探究問題

所謂實踐是檢驗真理的唯一標準，在教學(xué)中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)條件，留出教學(xué)空間和時間，引導(dǎo)學(xué)生主動參與、實踐，練習(xí)，提供讓學(xué)生獨立思考的機會。對學(xué)生在數(shù)學(xué)練習(xí)的探究過程中的點滴成績，要給予及時的表揚鼓勵，正視學(xué)生之間的差異，實施分層評價，使每個學(xué)生都能體驗到探究成功的喜悅，從而獲得更強烈主動的探究知識欲望。在練習(xí)中，教師應(yīng)著重對解題思路、解題方法進行指導(dǎo)，這種指導(dǎo)要求教師及時捕捉學(xué)生思維的火花，運用自身的知識積累、經(jīng)驗和智慧，給學(xué)生以點撥和啟發(fā)，即所謂的“點到為止”，將思考和更多想象的空間留給學(xué)生，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、探究、解決。

例如，筆者在教學(xué)中有過這樣一道思考題：“一只蝸牛從5米深的井底向井口爬，它白天向上爬3米，晚上滑下2米，那么要幾天爬到井口呢？”大多數(shù)學(xué)生是這樣想的：蝸牛白天向上爬3米，晚上滑下2米，就等于一天爬1米，井深5米，那不就是要5天了嗎？通過引導(dǎo)學(xué)生自主探究，畫圖操作，拓展了思路，幫助他們找到了問題解決的關(guān)鍵：第一天向上爬3米滑下2米等于只向上爬1米，同理第二天也只向上爬了1米，這樣兩天共向上爬了2米，這時的蝸牛距井口只剩下3米，那么第三天再爬3米就直接到了井口不會再滑下去了，所以只需3天就可爬到井口了。用畫圖的方法把抽象的問題具體化、直觀化，在練習(xí)實踐中實現(xiàn)探究，從而能幫助學(xué)生迅速地搜尋到問題解決的途徑。

2.在思考中貫通問題

發(fā)現(xiàn)問題是關(guān)鍵，善于思考是重點，讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心內(nèi)容。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動在突出讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，讓學(xué)生從自己的數(shù)學(xué)經(jīng)驗出發(fā)，經(jīng)過自己的思考、實踐，在思考中貫通問題，才是數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標。

例如：教學(xué)“有余數(shù)的除法”時，教師給每個小組的學(xué)生準備了一些小棒，讓他們擺出自己喜歡的圖形，并且要重復(fù)擺這個圖形，直到小棒不夠擺一個完整的圖形為止……小組活動后，引導(dǎo)學(xué)生思考：“這個擺小棒活動能用簡潔的數(shù)學(xué)式子表示出來嗎？”學(xué)生們寫出了“17÷3=5……2”、“17÷4=4……1”等不同的數(shù)學(xué)式子。“那最后面這個數(shù)叫什么數(shù)呀？”“叫余數(shù)！”，通過擺小棒，學(xué)生主動建構(gòu)了“余數(shù)”這一概念，這就是思維的前后貫通，但這只是第一層面。接著，教師讓學(xué)生猜一猜“任意一個數(shù)除以5可能會余幾？”有了之前擺小棒的活動經(jīng)驗，學(xué)生們很快就發(fā)現(xiàn)余數(shù)可能會是0、1、2、3、4，教師追問：“為什么不可能余其它的數(shù)呢？余數(shù)和除數(shù)有什么關(guān)系呢？”學(xué)生們通過觀察、思考、檢驗，自己總結(jié)出“余數(shù)一定比除數(shù)小。”這才是第二層面的，也是深化性的貫通，比第一層面僅停留在概念上的更重要。這樣的教學(xué)，注重問題的設(shè)計，但更注重思維的前后貫通性，學(xué)生人人體驗到了思考的價值，解決問題的快樂。

三、拓寬思維廣度，引領(lǐng)學(xué)生揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)

1.在交流中深化問題

交流是學(xué)生進行有效學(xué)習(xí)的一種手段，面對困難，學(xué)生在小組交流過程中，能夠表達和交流自己的想法，讓思維進行碰撞，相互啟發(fā)，相互認可，使得每個人都在迷惘中找到了方向，讓模糊的認識變得漸漸清晰，深化對數(shù)學(xué)知識的理解，最終解決問題，獲得了巨大的成功體驗。其次，交流應(yīng)是雙向的，實現(xiàn)有效的互動與教師創(chuàng)設(shè)的問題情境密切相關(guān)，教師在課堂教學(xué)中只有創(chuàng)設(shè)一些具有一定思考性、探究性、思想性、趣味性和能引起學(xué)生認知沖突的問題與討論性練習(xí)，才能夠?qū)崿F(xiàn)師生、生生之間有效的互動。

例如，學(xué)習(xí)了“長方體的表面積”一課后，教師從茶葉的包裝入手，啟發(fā)學(xué)生參與交流思考問題，并主動動手實踐：裝6小盒茶葉，包裝成一個禮盒，你能設(shè)計出幾種不同的包裝方案？可用茶盒代替，為了便于表達，大面用A表示，中面用B表示，小面用C表示，有的學(xué)生按接觸面來思考，有的則以兩個或三個茶盒為一組作為一個整體進行設(shè)計，通過有序思考，得出一共有9種不同的包裝方法。之后，教師接著追問：商場里茶葉禮盒又是怎樣包裝的，為什么要這樣包裝？將大面設(shè)為6，中面設(shè)為3，小面設(shè)為2，學(xué)生通過計算得出有的表面積較小，有的表面積較大，并感受到這是因為重疊部分面積大小所決定的，至于不同的包裝樣式，有的是考慮到經(jīng)濟實用，有的是考慮到美觀大方，有的則考慮到方便。這樣的問題呈現(xiàn)，這樣的交流平臺，學(xué)生有思考、有實踐、有交流，師生互動、生生互動，且策略多樣，既培養(yǎng)了學(xué)生解決問題的能力，又讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值。

又如，在進行“十幾減9、8”的教學(xué)時，一位學(xué)生問：“老師，15-9，5-9不夠減，我就用9-5=4，再用10-4還是等于6，這樣做對不對？”這種思考方法，是老師沒想到的，結(jié)果老師也沒多想就武斷地說了一句：不對，減法是不能顛倒做的。其實，這個學(xué)生的說法是正確的，只是他現(xiàn)在還不明白這個算理而已[15-9=l0+5-9=10-9+5=10-（9-5）]。這時教師應(yīng)該組織學(xué)生進行有效交流、有效互動，讓學(xué)生在互動中去感悟，讓思維更加深刻。

因此，我們要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中相互交流，還應(yīng)關(guān)注學(xué)生個體積極主動的求知、充分的言語實踐活動，這樣“互動”才能落實，問題的探究才能更加深入。

2.在總結(jié)中提升問題

現(xiàn)代的課堂教學(xué)重心已從勤奮的操練和練習(xí)轉(zhuǎn)向?qū)W生的理解和對知識的運用上，課堂上的具體操作就是凸顯學(xué)生自主對知識點的歸納和總結(jié)。筆者認為，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)可以結(jié)合知識樹、圖表等運用，以提高效率，知識樹、圖表的應(yīng)用要以整體建構(gòu)思想為依據(jù)，用不同形式來體現(xiàn)整個知識的結(jié)構(gòu)和知識點的內(nèi)在聯(lián)系，依據(jù)其從屬關(guān)系，反映出整個知識系統(tǒng)，把整個單元看作是一個整體，把整冊教材看作是一個整體，把整個學(xué)段看作是一個整體。

例如，教師在執(zhí)教“同分母分數(shù)加減法”一課，老師在和學(xué)生一起學(xué)完了同分母分數(shù)加減法的法則和注意點之后，師生合作構(gòu)建了一棵知識樹體系：在樹根上寫著4+3=7，最上面則寫著4個蘋果+3個蘋果=7個蘋果。

知識樹呈現(xiàn)之后，提出一個問題：觀察每道一題，想想“什么變了，什么沒變？”讓學(xué)生逐步感悟出：第一題中蘋果的個數(shù)變了，但是蘋果沒變；第二、三題中單位的個數(shù)變了，但是單位沒有變；第四題4×75+3×75，老師追問：“這道題里的蘋果是什么？”最后一題，老師又問：“現(xiàn)在你能解釋為什么同分母分數(shù)相加減，分母不變，只把分子相加減嗎？”學(xué)生的回答十分精彩，直指本質(zhì)：“因為單位沒變，只是單位的個數(shù)變了！”言下之意就是分數(shù)單位不用相加減，而只把代表分數(shù)單位個數(shù)的分子想加減。老師從生活中最簡單的4個蘋果和3個蘋果加起來一共是幾個蘋果入手，到整百數(shù)相加，再到小數(shù)加法、乘法分配律、同分母分數(shù)加法，透過簡單的內(nèi)容看到背后的本質(zhì)，把這個知識跟更為普遍的一般規(guī)律聯(lián)系起來。

又如，在學(xué)習(xí)了除法、分數(shù)、比的知識后，可以引導(dǎo)學(xué)生對三者進行比較，師生共同完成知識圖表，準確地掌握除法、分數(shù)、比三者之間的區(qū)別與聯(lián)系，使學(xué)生對這三部分知識有一個更加明確的認識，如它們之間可以相互改寫成：a÷b=a：b；除法（商不變性質(zhì)）、分數(shù)和比的基本性質(zhì)也有密切聯(lián)系，明確數(shù)學(xué)的各部分知識之間是有緊密聯(lián)系的，不是相互孤立的，而是一個整體。

總之，學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力是教師培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展的重要內(nèi)容之一，教師在教學(xué)中一定要抓住學(xué)生這一主體，利用“問題”這一載體，創(chuàng)新教學(xué)方法，活化教學(xué)方式，將數(shù)學(xué)思考力培養(yǎng)和發(fā)展貫穿整個教學(xué)活動始終，實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的有效提升。

（責(zé)任編輯：陳志華）