李立剛， 張召昕 ， 戴永壽， 張亞南， 昂 揚(yáng)

（1.北京科技大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京 100083；2.中國石油大學(xué)（華東）信息與控制工程學(xué)院，山東 東營 257061）

在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型?？刂葡到y(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是定量描述系統(tǒng)或過程內(nèi)部的物理量或變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式[1]。對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)時(shí)，輸入、輸出信號(hào)需要經(jīng)過采樣處理，采樣間隔T的合理選擇，關(guān)系到能否全面反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性以及辨識(shí)的精度。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，輸入輸出信號(hào)采樣間隔的選取大多靠經(jīng)驗(yàn)，國內(nèi)外對(duì)這個(gè)問題的研究也比較少，因此，有必要對(duì)連續(xù)系統(tǒng)辨識(shí)中輸入、輸出信號(hào)采樣間隔的選取方法作一定的研究。

1 采樣間隔T的選擇方法

采樣間隔T的合理選擇，原則上，要考慮以下幾個(gè)方面的問題[2]：

1）頻譜混疊問題：由Shannon采樣定理知，若采樣間隔T選得過大，即采樣點(diǎn)離得太遠(yuǎn)，會(huì)引起低頻分量與高頻分量產(chǎn)生“混疊”現(xiàn)象，從而使辨識(shí)誤差增大。此外，當(dāng)T選得過大時(shí)，會(huì)導(dǎo)致采樣信號(hào)中包含的被辨識(shí)系統(tǒng)的高頻信息過少，無法準(zhǔn)確反映系統(tǒng)的高頻特性。

2）辨識(shí)的效率和工作量：若采樣間隔T選得過小，即采樣點(diǎn)離得太近，會(huì)導(dǎo)致差分方程近于線性相關(guān)，容易形成病態(tài)方程組。另外，當(dāng)噪聲干擾較大時(shí)，若T取得很小，還可能把噪聲的特性反映到被辨識(shí)模型中。同時(shí)，若T取得過小，還會(huì)產(chǎn)生大量的多余數(shù)據(jù)，從而不必要地增加存儲(chǔ)量和計(jì)算量。

3）信號(hào)的采樣間隔T要與其他環(huán)節(jié)的時(shí)間間隔一致：例如，若辨識(shí)的目的是設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字控制系統(tǒng)，則采樣周期T須按照數(shù)字控制系統(tǒng)的性能及要求來選擇。

現(xiàn)有的采樣間隔選擇方法主要有：根據(jù)被辨識(shí)系統(tǒng)的最高工作頻率結(jié)合采樣定理的選取方法，根據(jù)系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)以及過渡過程時(shí)間的選取方法等。它們都屬于經(jīng)驗(yàn)估計(jì)法，在精確程度上有所欠缺。

對(duì)于這個(gè)問題，加拿大學(xué)者SIMON S.UYKIN提出了關(guān)于采樣間隔T的一種選取準(zhǔn)則[3]：

式中λm為被辨識(shí)系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間模型絕對(duì)值最大的特征值，T為被辨識(shí)系統(tǒng)輸入輸出信號(hào)的采樣間隔。但是在實(shí)際應(yīng)用中，待辨識(shí)系統(tǒng)的特征值的值通常是未知的，這樣就在一定程度上限制了該準(zhǔn)則的直接應(yīng)用。

針對(duì)這個(gè)問題，N.K.Sinha教授提出了一種解決的方法[4]。該方法的基本思想為：對(duì)于在某個(gè)采樣間隔T0下辨識(shí)得到的離散系統(tǒng)模型，首先計(jì)算它在z域中的特征值，并用雙線性變換法[5]將其中模最小的特征值從z域變換到w域，然后根據(jù)w平面中該特征值到原點(diǎn)的距離d的大小判斷采樣間隔T0的合理性。根據(jù)式（1）給出的準(zhǔn)則，Sinha在文獻(xiàn)[4]經(jīng)推導(dǎo)得，當(dāng)d的值大約為5時(shí)，可認(rèn)為相應(yīng)的采樣間隔T的取值是最優(yōu)的。

這里使用雙線性變換法將模型的特征值從z平面變換到w平面：

上式中，z=eα[cos β± jsin β]，相應(yīng)的平面中的點(diǎn)由下式計(jì)算得到：

式中，

理論分析[4]表明，d的值隨采樣間隔T的增大而減小。本文利用d的值與采樣間隔T的這種關(guān)系，結(jié)合折半查找法[6]的思想提出了一種尋找采樣間隔最優(yōu)值的方法。該方法首先設(shè)定采樣間隔的初始選取范圍，取中間值作為系統(tǒng)輸入輸出信號(hào)的采樣間隔進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，根據(jù)每一步計(jì)算中d值的大小不斷地對(duì)采樣間隔的取值范圍“折半”，最終得到采樣間隔的理論最優(yōu)值。該方法的具體步驟如下：

Step0設(shè)置采樣間隔取值范圍的上限Tmax和下限Tmin，以及允許的誤差限E；

Step1 若 Tmax－Tmin＜E，則跳轉(zhuǎn)到 Step4，否則轉(zhuǎn)到 Step2；

Step2 取采樣間隔 T=（Tmax+Tmin）/2；

Step2.1以采樣間隔T對(duì)原系統(tǒng)的輸入輸出信號(hào)進(jìn)行采樣，并用采樣得到的輸入和輸出對(duì)系統(tǒng)離散模型的參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)；

Step2.2計(jì)算在當(dāng)前的采樣間隔下所得系統(tǒng)模型的特征值，使用雙線性變換法將其最小的特征值轉(zhuǎn)換到平面；

Step3計(jì)算平面中該特征值到原點(diǎn)的距離，記為d；

Step3.1如果d的值約為5，則跳轉(zhuǎn)到Step4，否則轉(zhuǎn)到Step 3.2；

Step3.2 若 d＜5，則令 Tmax=T，跳轉(zhuǎn)到 Step1，否則轉(zhuǎn)到Step3.3；

Step3.3令Tmax=T，跳轉(zhuǎn)到 Step1；

Step4取當(dāng)前的T為最優(yōu)的采樣間隔，結(jié)束。

其中，平面中極點(diǎn)到原點(diǎn)的距離d通過下式計(jì)算得出：

計(jì)算流程圖如圖1所示。

圖1 采樣間隔的選取步驟Fig.1 Method of sample interval selection

2 仿真實(shí)例

下面，文中通過一個(gè)實(shí)例對(duì)上述方法的應(yīng)用作具體的介紹。

2.1 辨識(shí)對(duì)象

待辨識(shí)連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為：

對(duì)上述系統(tǒng)施加如下的輸入信號(hào)：

得到相應(yīng)的輸出為：

對(duì)式（7）和（8）表示的輸入輸出信號(hào)以 0.01 s的采樣間隔進(jìn)行采樣，共采集300 s，得到30 000組輸入輸出信號(hào)的采樣值。為了獲得有色噪聲，將隨機(jī)數(shù)（近似的高斯零均值序列）通過如下形式的滑動(dòng)平均濾波器:

將通過上述過程產(chǎn)生的噪聲添加到輸入輸出信號(hào)的采樣數(shù)據(jù)中，用添加噪聲后的樣本數(shù)據(jù)對(duì)原系統(tǒng)的離散時(shí)間模型在不同的采樣間隔下進(jìn)行辨識(shí)。在每10組采樣值中取一組用于辨識(shí)即等價(jià)于采樣間隔為0.1 s，每15組取一組即等價(jià)于采樣間隔為0.15 s，以此類推。這樣，在不同采樣間隔情況下的數(shù)據(jù)時(shí)間長(zhǎng)度是一致的，即皆為300 s，這樣保證了不同采樣間隔下辨識(shí)結(jié)果的對(duì)比分析的合理性。

這里采用如下形式的離散時(shí)間模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)：

式中e（k）為白噪聲，這里采用的參數(shù)辨識(shí)方法是遞推增廣最小二乘估計(jì)（RELS）法。

對(duì)于式（6）描述的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)模型可以通過階躍響應(yīng)不變法離散化為采樣間隔T下的z域模型：

式中

其中，T 為采樣間隔，a1、a2和 b0、b1即為采樣間隔為 T時(shí)，所得離散模型的真實(shí)參數(shù)。

2.2 計(jì)算過程

Tmin可以取系統(tǒng)所允許的采樣間隔最小值，這里取Tmin=0.01 s；Tmax可以取較大一點(diǎn)的值，這里取Tmax=2s。經(jīng)過7步計(jì)算，d的值為4.95，已經(jīng)非常接近5了，因此我們這里最終選取的采樣間隔T為0.14 s。具體每步的遞推計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 遞推計(jì)算過程Tab.1 Process of recursive calculation

式中θ與θ1分別為模型的真實(shí)參數(shù)向量與辨識(shí)所得的參數(shù)向量。

2.3 結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證由該方法計(jì)算得到的采樣間隔的是否為最優(yōu)的，這里以 T1=0.01 s為初始值，T2=0.4 s為終止值，在[T1，T2]范圍內(nèi)每0.01 s取一個(gè)值作為對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)的采樣間隔，在對(duì)應(yīng)的采樣間隔下分別對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)并分別根據(jù)式（12）計(jì)算模型的參數(shù)辨識(shí)誤差，在MATLAB下得到的仿真計(jì)算結(jié)果如圖2所示。

表中Pe為模型的參數(shù)辨識(shí)誤差，按（12）式計(jì)算

圖2 不同采樣間隔下參數(shù)辨識(shí)誤差曲線Fig.2 Parameter identification error at different sample interval

將辨識(shí)中對(duì)原系統(tǒng)施加的信號(hào)分別輸入到不同采樣間隔下辨識(shí)得到的模型中，在MATLAB中計(jì)算得到模型的輸出與原系統(tǒng)實(shí)際輸出的均方誤差曲線如圖3所示。

圖3 不同采樣間隔下模型輸出誤差曲線Fig.3 Model output error at different sample interval

這里的輸出誤差是模型輸出誤差平方和的均值。

由此仿真結(jié)果可知，當(dāng)采樣間隔T取0.14 s時(shí)，辨識(shí)所得模型的參數(shù)辨識(shí)誤差和輸出誤差均為最小，即T=0.14 s為對(duì)本例中的連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)的最優(yōu)采樣間隔。

從仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)采樣間隔取值過小時(shí)，參數(shù)辨識(shí)誤差及辨識(shí)所得模型的輸出誤差均較大。這是因?yàn)椴蓸娱g隔T選得過小，采樣點(diǎn)離得太近，導(dǎo)致參數(shù)辨識(shí)過程中的差分方程近于線性相關(guān)，形成了病態(tài)方程組所致。

當(dāng)采樣間隔的值大于最優(yōu)采樣間隔時(shí)，辨識(shí)所得模型的輸出誤差及參數(shù)辨識(shí)誤差隨著采樣間隔的增大而增大，但是輸出誤差的增大相對(duì)并不十分明顯。這意味著在實(shí)際應(yīng)用中，可以在滿足輸出誤差的前提下適當(dāng)?shù)卦龃蟛蓸娱g隔T，以減少計(jì)算量。

3 結(jié)束語

在連續(xù)系統(tǒng)模型辨識(shí)中，對(duì)于如何選取輸入輸出信號(hào)的采樣間隔，目前的研究比較少，實(shí)際應(yīng)用中大多也只是依靠經(jīng)驗(yàn)。本文根據(jù)一種判斷辨識(shí)中所用采樣間隔的準(zhǔn)確性的方法，提出了利用折半查的思想法尋找連續(xù)系統(tǒng)辨識(shí)中最優(yōu)采樣間隔的方法，與原有方法相比，該方法的使用不需要已知被辨識(shí)系統(tǒng)的特征值，具有一定的實(shí)際應(yīng)用意義。

在該方法中，如何根據(jù)辨識(shí)對(duì)象的特性對(duì)初始Tmin與Tmax加以選擇以減少計(jì)算的步數(shù)，以及如何將該方法從單輸入單輸出系統(tǒng)擴(kuò)展到多輸入多輸出系統(tǒng)，還需要在以后的工作中繼續(xù)研究。

[1]龐中華，崔紅.系統(tǒng)辨識(shí)與自適應(yīng)控制MATLAB仿真[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社，2009.

[2]王志賢.最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)與系統(tǒng)辨識(shí)[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社，2004.

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