吳振東，王 青，董朝陽，李 瑋

(1.北京航空航天大學(xué)自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，100191北京;2.北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，100191北京)

由于高超聲速飛行器的飛行包線跨度大，在工作包線內(nèi)呈現(xiàn)出復(fù)雜的時(shí)變非線性特點(diǎn)，給其控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)帶來很大的挑戰(zhàn).針對飛行器的大包線控制問題，工程上常采用增益調(diào)度方法設(shè)計(jì)控制器［1］，設(shè)計(jì)過程簡單，簡化了控制器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)，在高超聲速飛行器X-43A的試飛過程中采用了此方法［2］.但是該設(shè)計(jì)方法控制器參數(shù)按開環(huán)方式改變，閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性難以從理論上獲得保證.

為了彌補(bǔ)增益調(diào)度設(shè)計(jì)方法的不足，近年來學(xué)者將切換系統(tǒng)理論應(yīng)用于高超聲速飛行器大包線飛行的控制器設(shè)計(jì)中［3-5］.文獻(xiàn)［3］設(shè)計(jì)了大包線自適應(yīng)切換控制器，分析了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，解決了高超聲速飛行器巡航段大包線飛行控制問題;文獻(xiàn)［4］給出了基于間隙度量的大包線切換LPV控制方法，設(shè)計(jì)了各子區(qū)域的LPV控制器，分析了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.以上文獻(xiàn)均保證了大包線飛行控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，且優(yōu)化了控制器切換的過渡過程，一定程度實(shí)現(xiàn)平滑切換，卻難以從根本上消除控制切換帶來的輸出跳躍.Hou以切換多胞系統(tǒng)描述大包線飛行動態(tài)，給出了確保飛行包線范圍漸近穩(wěn)定的控制器插值方法，從根本上克服了傳統(tǒng)切換控制的跳躍問題［5］.此外，現(xiàn)有的切換多胞系統(tǒng)大多依賴于公共Lyapunov函數(shù)方法實(shí)現(xiàn)對控制系統(tǒng)的分析與綜合［4-5］，要求多胞的每個(gè)頂點(diǎn)和整個(gè)多胞區(qū)域內(nèi)都存在一個(gè)公共的Lyapunov矩陣函數(shù)，具有較大的保守性.本文針對上述問題，將高超聲速飛行器包線范圍內(nèi)的飛行動態(tài)建模為切換多胞系統(tǒng)，采用基于參數(shù)依賴Lyapunov函數(shù)與平均駐留時(shí)間方法給出包線范圍漸近穩(wěn)定的條件，設(shè)計(jì)了確保多胞系統(tǒng)在參數(shù)任意快變下穩(wěn)定的反饋控制器，所得控制器能夠在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，克服切換控制器的輸出跳躍現(xiàn)象，并降低了系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)的保守性.

1 高超聲速飛行器切換多胞系統(tǒng)建模

以高超聲速飛行器［6］的縱向飛行動態(tài)為例，不失一般性，僅考慮飛行器的縱向短周期運(yùn)動，假定每一個(gè)工作點(diǎn)處的縱向短周期線性模型可以表征工作點(diǎn)附近的飛行動態(tài).設(shè)飛行包線內(nèi)N個(gè)工作點(diǎn)所對應(yīng)的動力學(xué)系統(tǒng)描述為

其中:x(t)=［αq］T為系統(tǒng)狀態(tài)，α，q分別為迎角和俯仰角速率，u(t)=[ξeη]T為控制輸入，ξe為升降舵偏轉(zhuǎn)角，η為節(jié)流閥調(diào)定指令，Ai、Bi分別為飛行包線內(nèi)第i個(gè)工作點(diǎn)的系統(tǒng)矩陣和控制輸入矩陣，i為工作點(diǎn)標(biāo)號.

采用切換多胞系統(tǒng)建立高超聲速飛行器包線內(nèi)的飛行動力學(xué)模型過程是將整個(gè)包線內(nèi)的工作點(diǎn)根據(jù)調(diào)度變量(如馬赫數(shù)和高度等)劃分為不同的組，每組對應(yīng)包線內(nèi)的一個(gè)區(qū)域，以每一區(qū)域建模為一個(gè)多胞系統(tǒng)，系統(tǒng)的頂點(diǎn)即為該區(qū)域內(nèi)的工作點(diǎn)，頂點(diǎn)的動態(tài)特性由工作點(diǎn)處的線性小擾動方程表征，多胞系統(tǒng)內(nèi)部的飛行動態(tài)通過頂點(diǎn)系統(tǒng)動態(tài)的線性加權(quán)獲得，則該區(qū)域內(nèi)的飛行動力學(xué)特性由該多胞系統(tǒng)近似描述;然后將各飛行區(qū)域視為一個(gè)獨(dú)立的多胞子系統(tǒng)，將飛行軌跡在相鄰多胞子系統(tǒng)間的穿越視為子系統(tǒng)間的切換，則整個(gè)飛行包線內(nèi)的飛行動力學(xué)可用一個(gè)切換多胞系統(tǒng)描述.其中，每個(gè)多胞子系統(tǒng)的工作點(diǎn)選取原則是使多胞系統(tǒng)的工作點(diǎn)狀態(tài)空間模型相差盡量小，這樣有利于性能品質(zhì)的提高，因?yàn)槿魧⒍鄠€(gè)模型相差較大的工作點(diǎn)劃分在同一區(qū)域，設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)會因?yàn)轸敯粜缘囊蠖鵂奚笜?biāo)性能，常用的工作點(diǎn)選取方法可采用奇異值判定方法和間隙度量方法［4］.

需要注意的是，為保證得到的多胞子系統(tǒng)可完整地覆蓋整個(gè)飛行包線，相鄰的多胞子系統(tǒng)需要滿足局部重疊的特性［7］，即相鄰的多胞子系統(tǒng)需包含公共的工作點(diǎn).

基于切換多胞系統(tǒng)建立飛行器包線內(nèi)的飛行動力學(xué)模型過程可以圖1為例簡單說明.考慮高超聲速飛行器的再入高度變化從25 km到40 km，馬赫數(shù)變化從16到14，此包線飛行動態(tài)可以由18個(gè)工作點(diǎn)處的模型包絡(luò)，根據(jù)馬赫數(shù)的變化劃分成3組，得到3個(gè)飛行區(qū)域，建立相應(yīng)3個(gè)多胞子系統(tǒng);工作點(diǎn)5～8為多胞子系統(tǒng)1和2包含的公共工作點(diǎn)，工作點(diǎn)12～14為多胞子系統(tǒng)2和3包含的公共工作點(diǎn)，保證此3個(gè)多胞子系統(tǒng)可覆蓋整個(gè)飛行包線，且當(dāng)飛行軌跡穿越相鄰多胞子系統(tǒng)間的邊界時(shí)，將其視作飛行動力學(xué)多胞系統(tǒng)模型的切換，則整個(gè)飛行包線的飛行動力學(xué)可采用切換多胞系統(tǒng)描述.

圖1 高超聲速飛行器的切換多胞系統(tǒng)建模示意圖

根據(jù)上述的切換多胞系統(tǒng)建模方法，將整個(gè)工作點(diǎn)模型集劃分為k個(gè)子集，相應(yīng)地，工作點(diǎn)標(biāo)號全集Ω被劃分為子集Ω1，Ω2，…，Ωk.飛行包線內(nèi)的高超聲速飛行器的飛行動態(tài)采用不確定性切換多胞系統(tǒng)描述為

式中:σ(t)∈［0，+∞)→Ω={1，2，…，k}為切換律，表征飛行器工作區(qū)域隨時(shí)間變化規(guī)律;j∈S，S={1，2，…，k}為切換律的索引集;k為飛行包線內(nèi)多胞子系統(tǒng)的個(gè)數(shù);j為工作點(diǎn)所在工作區(qū)域的標(biāo)號，子系統(tǒng)Ωj要滿足多胞系統(tǒng)模型對飛行器所有工作點(diǎn)完全覆蓋的條件Ωj=Ω，且要保證相鄰的多胞子系統(tǒng)間的公共子系統(tǒng)滿足=Ωj∩Ωj+1≠?.

由于鄰近的兩個(gè)多胞子系統(tǒng)公共邊界上的飛行動力學(xué)僅由多胞子系統(tǒng)公共設(shè)計(jì)點(diǎn)的飛行動力學(xué)得到，因此，切換多胞系統(tǒng)的切換不會引起系統(tǒng)矩陣參數(shù)不連續(xù)的變化，即對于整個(gè)飛行包線來說，F(xiàn)σ(t)和Gσ(t)是連續(xù)變化的.

飛行器控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)任務(wù)是實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定和對給定指令信號的跟蹤控制，針對高超聲速飛行器的切換多胞系統(tǒng)(2)，設(shè)計(jì)控制器為

式中:Kj(t)、Kri(t)分別為控制器中的反饋控制律和前饋控制律，r(t)為給定的指令信號.

2 控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析

定義1 對切換多胞系統(tǒng)(2)的切換信號σ(t)，令 ΔT＞0為公共子系統(tǒng)工作總時(shí)間，Nσ(ΔT)為ΔT內(nèi)的切換次數(shù).若存在N0≥0，τa＞0，使得成立，則稱 τa為平均駐留時(shí)間，下文中以 T［τa，N0］表示滿足平均駐留時(shí)間的切換律集合.

針對切換多胞系統(tǒng)(2)中的單個(gè)多胞子系統(tǒng)，給出如下穩(wěn)定性引理.

引理1［8］多胞線性系統(tǒng)(2)的自治多胞子系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充分條件為存在正定矩陣Pi(i∈Ωj)及適維矩陣Yi滿足矩陣不等式

引理1通過引入松弛變量Yi，使得矩陣不等式中不再出現(xiàn)正定矩陣與系統(tǒng)矩陣的乘積項(xiàng)，降低了反饋控制綜合問題的求解難度［9］.式(5)矩陣不等式中的*表示矩陣中元素所在位置對稱塊的轉(zhuǎn)置，下文中與此表示的意義一致.

定理1 對于切換多胞系統(tǒng)(2)，若多胞子系統(tǒng)的頂點(diǎn)，存在矩陣Pi(i∈Ωj)，適維矩陣Ui及Vi滿足

且切換多胞系統(tǒng)切換律σ(t)∈T［τa，N0］滿足平均駐留時(shí)間τa約束

式中:ρmax(·)，ρmin(·)分別為矩陣的最大奇異值和最小奇異值，λmin(·)為最小特征根，Qij由公共子系統(tǒng)工作點(diǎn)求取.則控制器(4)中鎮(zhèn)定反饋控制器Kj(t)的參數(shù)選取為

可保證對任意切換律σ'(t)∈T［τa，N0］，閉環(huán)切換多胞系統(tǒng)在零輸入情況下漸近穩(wěn)定.其中，(t)是(t)的M-P偽逆.

證明 設(shè)存在正定矩陣(i∈Ωj)，適維矩陣Ui及Vi滿足線性矩陣不等式組(6)，下面首先證明式(9)給出的控制器增益矩陣使得切換多胞系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定.

由式Ui+UTi＞0，可知Ui可逆，則式(9)中矩陣Ki的存在性顯然.用diag{Ui-1，Ui-1，Ui-1}對式(6)進(jìn)行全等變換可得

假設(shè)第p和q個(gè)多胞子系統(tǒng)間的公共子系統(tǒng)工作時(shí)長為t*，則有

其中:

將式(14)代入式(13)，有

結(jié)合式(15)和式(16)，可得

以t1，t2，…，tNσ(ΔT)分別表示各公共子系統(tǒng)相繼激活時(shí)刻，且各子系統(tǒng)工作時(shí)間分別為Δt1，Δt2，…，ΔtNσ(ΔT)，顯然，ΔT=Δt1+Δt2+…+ΔtNσ(ΔT).將多胞公共子系統(tǒng)從1到Nσ(ΔT)重復(fù)，如式(13)的推導(dǎo)方式，并結(jié)合式(17)，有

由式(7)可知

也即當(dāng)ΔT→+∞時(shí)，必然存在ΔT*＞0使得下式成立.

由上式可知多胞子系統(tǒng)之間切換時(shí)Lyapunov函數(shù)值單調(diào)遞減，同時(shí)，考慮到任意多胞系統(tǒng)在子切換律作用下Lyapunov函數(shù)值遞減，因此，切換多胞系統(tǒng)(2)在切換律σ(t)∈T［τa，N0］作用下全局漸近穩(wěn)定.

文獻(xiàn)［5］中對P作了較為苛刻的限制，要求多胞子系統(tǒng)的每個(gè)頂點(diǎn)(即整個(gè)多胞系統(tǒng))都存在一個(gè)共同的Lyapunov函數(shù)矩陣P，因而具有較大的保守性，而定理1要求對于切換多胞子系統(tǒng)的頂點(diǎn)i，可以存在不同的正定矩陣Pi滿足式(6)，即相對而言，定理1具備更低的保守性.

定理1中式(8)所示控制器Kj(t)的形式可視為對區(qū)域內(nèi)邊界工作點(diǎn)的狀態(tài)反饋增益陣插值，需要實(shí)時(shí)獲得σ(t)和α(t).這在實(shí)際飛行中很容易實(shí)現(xiàn)，將所有工作點(diǎn)處的高度和馬赫數(shù)以數(shù)據(jù)表的形式裝訂至控制器，傳感器實(shí)時(shí)測量高度和馬赫數(shù)，控制器通過查表和插值方式獲得權(quán)值向量σ(t)和α(t)，由于飛行器動態(tài)在飛行區(qū)域內(nèi)部及飛行區(qū)域間變化的連續(xù)性，即α(t)的連續(xù)性，保證了控制器插值的連續(xù)性，進(jìn)而確保了控制器輸出不會發(fā)生跳變.

為了使系統(tǒng)的輸出y(t)跟蹤有界分段連續(xù)的參考指令信號r(t)，控制器(4)中前饋控制律Krj(t)參數(shù)選取為

式中:C為系統(tǒng)輸出矩陣.在系統(tǒng)鎮(zhèn)定的情況下，按式(21)設(shè)計(jì)的前饋控制律Krj(t)可以實(shí)現(xiàn)對給定指令信號r(t)的無差跟蹤［10］.

3 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文方法的有效性，采用文獻(xiàn)［6］的高超聲速飛行器模型，大包線內(nèi)控制器的綜合以包線內(nèi)18個(gè)工作點(diǎn)為基礎(chǔ)，如圖1所示，所選擇的工作點(diǎn)以馬赫數(shù)和高度為調(diào)度變量，各工作點(diǎn)的平衡條件見表1.

表1 高超聲速飛行器飛行包線范圍內(nèi)的工作點(diǎn)

根據(jù)前述的切換多胞系統(tǒng)建模方法，飛行包線內(nèi)所選擇的18個(gè)工作點(diǎn)可根據(jù)馬赫數(shù)分成3組，即建模為3個(gè)多胞子系統(tǒng)，各多胞子系統(tǒng)包含的工作點(diǎn)為

由定理1獲得切換多胞系統(tǒng)的各工作點(diǎn)控制器增益Ki如表2所示，對于每一個(gè)多胞子系統(tǒng)，子狀態(tài)反饋控制器Kj(t)采用式(8)進(jìn)行插值，前饋控制律Krj(t)依據(jù)式(21)進(jìn)行計(jì)算，給定C為單位陣.以包線內(nèi)Ma∈［14.5，15)，H∈［29，36.5)的飛行區(qū)域說明狀態(tài)反饋控制器Kj(t)的插值過程:在此飛行區(qū)域內(nèi)，子控制器的鎮(zhèn)定反饋控制增益通過設(shè)計(jì)點(diǎn)5、8、9和11上的4個(gè)反饋控制增益K5，K8，K9，K11進(jìn)行插值得到，對于該飛行域內(nèi)的某一特定的高度hx和馬赫數(shù)Max，插值得到的鎮(zhèn)定反饋控制增益K為

表2 工作點(diǎn)處的控制器增益

不失一般性，考慮高超聲速飛行器的工作點(diǎn)變化軌跡17—14—10—6—2，可見在工作點(diǎn)14、6處發(fā)生多胞切換，仿真結(jié)果如圖2、3所示.

由仿真結(jié)果可知，本文方法可以很好跟蹤參考信號，升降舵偏角處于安全工作范圍，體現(xiàn)了控制器良好的性能，與未考慮平滑切換相比，在工作點(diǎn)切換時(shí)刻無控制器輸出跳躍現(xiàn)象.在控制器設(shè)計(jì)保守性方面，采用文獻(xiàn)［5］的模型，在飛行器工作點(diǎn)區(qū)域劃分等初始條件相同的情況下，依定理1計(jì)算可得切換多胞系統(tǒng)平均駐留時(shí)間下限為2.332 7 s，低于文獻(xiàn)［5］的6.937 8 s，該結(jié)果表明定理1具有較低的設(shè)計(jì)保守性.

4 結(jié)論

1)提出一種基于切換多胞系統(tǒng)的高超聲速飛行器魯棒鎮(zhèn)定控制方法.針對飛行器大包線飛行參數(shù)時(shí)變的鎮(zhèn)定與穩(wěn)定性分析問題，將高超聲速飛行器包線范圍內(nèi)的飛行動態(tài)建模為切換多胞系統(tǒng)，采用基于參數(shù)依賴Lyapunov函數(shù)與平均駐留時(shí)間方法給出包線范圍漸近穩(wěn)定的條件，設(shè)計(jì)了確保多胞系統(tǒng)在參數(shù)任意快變下穩(wěn)定的控制器.

2)仿真結(jié)果表明，提出的控制器既能夠保證系統(tǒng)穩(wěn)定，又克服了切換控制器的控制量跳躍現(xiàn)象，并降低了系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)的保守性.

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