王 慧，黃宏偉

（同濟大學a.地下建筑與工程系；b.巖土及地下工程教育部重點實驗室 上海 200092）

軟土盾構(gòu)隧道在投入運營后發(fā)生縱向不均勻沉降。其發(fā)展到一定程度后，環(huán)縫張開，進而容易引起滲水和誘發(fā)進一步的不均勻沉降。故環(huán)縫張開量是隧道安全運營的關(guān)鍵指標。通過分析盾構(gòu)隧道環(huán)縫張開可靠度可為運營隧道的適時合理維護以及優(yōu)化結(jié)構(gòu)和防水設(shè)計提供技術(shù)支撐。

實際工程中由于襯砌的設(shè)計受地質(zhì)勘查資料準確程度以及相關(guān)規(guī)范和理論的制約，包含一定的不確定性；盾構(gòu)隧道在運營期間其上覆地層也會發(fā)生一定的變遷；施工中管片的制作精度和螺栓連接等方面同樣帶有不確定性。故多種因素影響環(huán)縫張開量的變化。確定性分析則忽略或低估了各種不確定因素對地下結(jié)構(gòu)物的影響。可靠度分析則是一種清楚反映各種不確定影響的計算方法。

目前，對管片襯砌的可靠度分析通常使用一次二階矩法（FOSM），在此基礎(chǔ)上胡志平等［1］基于JC法可靠度指標的幾何意義，建立了管片襯砌結(jié)構(gòu)可靠度計算的優(yōu)化模型。對于復(fù)雜的非線性功能函數(shù)則有 Monte Carlo模擬法［2，20］、隨機有限元法［3］以及響應(yīng)面法［4，20］。然而對于隨機變量分布參數(shù)（均值、方差等）的估計通常是帶有認識不確定性的，且在小樣本統(tǒng)計時尤為明顯［5］，一般方法使用點估計并沒有體現(xiàn)。忽視認識不確定性可能會導致低估隧道環(huán)縫分析中的不確定性水平，從而導致不安全的決策。貝葉斯估計作為一種較好的方法可以給出參數(shù)的分布，但需要不斷地增加后驗信息。區(qū)間估計則可以在一定置信水平下考慮分布參數(shù)的認識不確定性。因此，在樣本數(shù)量較少時，可以將其與Monte Carlo模擬結(jié)合使用。從而在樣本信息不完整情況下客觀反映可靠度本身的不確定性。

在分析環(huán)縫張開可靠度時，首先通過隨機變量分布參數(shù)的區(qū)間估計，結(jié)合隨機變量的分布函數(shù)產(chǎn)生概率分布邊界。采用Monte Carlo抽樣產(chǎn)生隨機變量區(qū)間，從而計算出環(huán)縫失效概率的上界和下界。以上海地鐵盾構(gòu)隧道為例，結(jié)合縱向曲率半徑和縱向彎曲剛度比進行了進一步的討論，定量化的得到兩者在一定失效概率區(qū)間下的控制范圍，最后與驗算點法對比討論，闡述區(qū)間Monte Carlo法較驗算點法的優(yōu)勢。

1 盾構(gòu)隧道環(huán)縫張開量

軟土盾構(gòu)隧道襯砌結(jié)構(gòu)先由管片拼裝成襯砌環(huán)再沿縱向連接而成。根據(jù)盾構(gòu)隧道結(jié)構(gòu)現(xiàn)有縱向分析方法［6－15］，當環(huán)縫接頭受壓時，主要由傳力襯墊及混凝土管片承受壓應(yīng)力；當環(huán)縫接頭受拉時，由螺栓承受拉應(yīng)力，襯墊或管片不參與受拉。因此環(huán)縫接頭的抗壓剛度和抗拉剛度具有較大差異，抗壓剛度大于抗拉剛度。樊振宇等［16］通過抗壓剛度與抗拉剛度的比值確定出環(huán)縫張開量與壓縮量的比值，進而算出環(huán)縫張開量。該方法由于概念清晰，使用方便，本文采用將以這一方法為基礎(chǔ)進行盾構(gòu)隧道環(huán)縫張開量的可靠度分析。這一方法有5點假設(shè)：

1）平截面假定，即隧道橫斷面上每一處的張開或壓縮量與該位置距中性軸的長度成正比；

2）螺栓抗拉剛度沿環(huán)縫面積均勻分布；

3）接頭位置法向應(yīng)力沿厚度方向均勻分布；

4）縱向彎矩作用下，管片環(huán)以中性軸為界，一側(cè)受壓，另一側(cè)受拉。受拉側(cè)的拉應(yīng)力由螺栓承擔，受壓側(cè)的壓應(yīng)力由管片或襯墊承擔；

5）襯砌環(huán)剛度遠大于環(huán)縫接頭，視為剛體。

襯砌環(huán)計算半徑定義為R；管片厚度為d；環(huán)縫接頭抗壓剛度為kp（Pa／m）；抗拉剛度為kt（Pa／m）；抗壓、抗拉剛度比值（以下簡稱“剛度比”）為n，n＝kp／kt。

當環(huán)縫接頭承受縱向彎矩的時候，其轉(zhuǎn)動軸位置并不在襯砌環(huán)的幾何中心，而是由O點移動到O′點（圖1），沿弧長取角度微分dθ，則微分段的弧長為Rdθ，考慮到襯砌厚度為d，則微分段的面積為（Rd）dθ。轉(zhuǎn)動軸位置對應(yīng)角度為α。通過積分分別求出轉(zhuǎn)動軸上方和下方的法向應(yīng)力，在不考慮襯砌縱向軸力的條件下，由轉(zhuǎn)動軸上方與下方合力的絕對值相等，得式（1）。

圖1 襯砌環(huán)轉(zhuǎn)動示意圖

通過求解式（1）可得到轉(zhuǎn)動軸位置對應(yīng)角度α，進一步得到環(huán)縫張開量與壓縮量比值m：

通過對不同剛度比n的取值進行計算，環(huán)縫張開及壓縮量比值m與剛度比n的關(guān)系如下表所示。通常剛度比n都由估算進行確定。表1給出部分m與n的計算結(jié)果。

表1 環(huán)縫張開及壓縮量比值m與剛度比n關(guān)系

圖2為縱向曲率半徑與環(huán)縫張開量關(guān)系圖，圖中aa’bb’分別為環(huán)縫張開量的一半和環(huán)縫壓縮量的一半，aa’／bb’＝m，D為襯砌環(huán)外直徑，B為環(huán)寬。根據(jù)幾何關(guān)系推導出環(huán)縫的張開量為：

從式（3）可以看出，最大環(huán)縫張開量由B、D、m、ρ4個變量確定。

2 環(huán)縫張開失效的概率模型

由式（3）構(gòu)造環(huán)縫張開失效功能函數(shù)：

圖2 環(huán)縫張開幾何關(guān)系示意

其中ρ代表隧道的縱向曲率半徑。環(huán)寬B、襯砌環(huán)直徑D由于制作精度，具有一定的誤差。剛度比通常通過估算得到。Δcr則表示環(huán)縫臨界張開量。記X ＝［xB，xD，xm，xΔcr］表示由隨機變量組成的4維向量，其分別代表功能函數(shù)中B，D，m，Δcr4個參數(shù)。通過沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)使用不同擬合方法計算出隧道的縱向曲率半徑略有差別，且其變異系數(shù)很小，對環(huán)縫張開可靠度的影響可忽略，本文不將縱向曲率半徑視為隨機變量。式（4）中隨機變量的概率分布參數(shù)由樣本統(tǒng)計進行估計，這里采用區(qū)間估計確定分布參數(shù)的置信區(qū)間，從而表征統(tǒng)計估計的認識不確定性。本文做探討性假設(shè)xB，xD，xΔcr，xm服從正態(tài)總體。各隨機變量分布函數(shù)的確定有待進一步的研究。各隨機變量待估參數(shù)為μ，令Θ表示待估參數(shù)μ 的置信區(qū)間。對于 X ＝ ［xB，xD，xm，xΔcr］中每個元素，當均值μ在區(qū)間Θ中變化時，產(chǎn)生一族概率密度函數(shù)，通過Monte Carlo抽樣在一族密度函數(shù)中模擬得到不同的Pf，其也在一定的區(qū)間內(nèi)變化，我們感興趣的是尋找這個區(qū)間的上界和下界。

令F（X）表示X ＝ ［xB，xD，xm，xΔcr］中各隨機變量的正態(tài)分布函數(shù)，對應(yīng)于μ∈Θ，能夠找到一對分布函數(shù)，使得F（x）∈。則這一對分布函數(shù)組成一組概率分布邊界，所有可能的分布函數(shù)介于其中。圖3所示為一組概率分布邊界，表示一族均值μ∈［2，3］標準差σ＝1的正態(tài)分布概率分布函數(shù)。概率分布邊界不僅包含的參數(shù)的不確定性，某種程度上也蘊含了隨機變量相關(guān)性的不確定性。

3 一組概率分布邊界（正態(tài)分布μ∈［2，3］σ＝1）

使用Monte Carlo方法進行模擬，通過式（5）可計算結(jié)構(gòu)失效概率：

式中：N表示總的抽樣模擬次數(shù)；I［.］為判斷指標函數(shù)，當G（xB，xD，xm，xΔcr）≤0時為1，否則為0。由參數(shù)μ的區(qū)間估計確定概率分布邊界，使用逆轉(zhuǎn)換法產(chǎn)生隨機抽樣區(qū)間如圖4所示。

在一次抽樣模擬中，對功能函數(shù)G（xB，xD，xm，xΔcr）中每個基本未知量xi進行一次 Monte Carlo抽樣，產(chǎn)生區(qū)間，由這些區(qū)間的邊界確定功能函數(shù)的最大值 max（G（xB，xD，xm，xΔcr；μ））和最小值 min（G（xB，xD，xm，xΔcr；μ）），注意到

圖4 由均勻分布隨機數(shù)產(chǎn)生抽樣區(qū)間示意

3 算例分析

以上海地鐵2號線為例，襯砌環(huán)直徑D＝6.2m，環(huán)寬B＝1m，根據(jù)傳力襯墊和接頭螺栓材料力學性能，剛度比取n＝10［16］，查表1可得對應(yīng)m＝4.36。按地鐵隧道設(shè)計要求，要使環(huán)縫中密封墊不漏水要求環(huán)縫張開量δ≤6mm，即（4）中環(huán)縫臨界張開量Δcr＝6mm。參考《地下鐵道設(shè)計規(guī)范》以及《地下鐵道工程施工及驗收規(guī)范》規(guī)定的襯砌制作和拼裝必須達到的精度要求并結(jié)合已有工程經(jīng)驗，各統(tǒng)計量見表2。

表2 各隨機變量的統(tǒng)計量［17－19］

對各隨機變量的期望進行區(qū)間估計（假設(shè)總體方差與樣本方差相同），見表3。分3種顯著性水平α，對每個參數(shù)進行N＝10000次Monte Carlo抽樣模擬。在一次抽樣模擬中，對功能函數(shù)G（xB，xD，xm，xΔcr）中每個基本未知量xi通過概率分布邊界產(chǎn)生區(qū)間，由這些區(qū)間的邊界確定功能函數(shù)的最大值 max（G（x；μ））和最小值 min（G（x；μ）），利用式（8）統(tǒng)計模擬結(jié)果計算失效概率的上界和下界。

當隧道縱向曲率半徑變化時，計算結(jié)果如圖5所示。

從圖5可知：1）當縱向曲率半徑小于700m時，Pf上下界均接近1，環(huán)縫發(fā)生滲漏水的可能性極大，與文獻［10］的分析結(jié)果相符；2）當縱向曲率半徑大于1100m時，Pf上下界均小于0.1，發(fā)生滲漏水可能性較小，隧道可繼續(xù)工作，但需根據(jù)巡檢結(jié)果適時養(yǎng)護?！兜罔F隧道保護條例》規(guī)定由外界因素引起的隧道曲率半徑應(yīng)不小于15000m，遠大于1100m，可見按該條例規(guī)定，隧道可完全處于安全運行的工作狀態(tài)；3）曲率半徑在700m至1100m之間，Pf的變化幅度較大；4）從3種顯著性水平來看，隨α的減小，參數(shù)的置信區(qū)間寬度相應(yīng)增大，兩條Pf曲線包圍的面積增大，即Pf上下界差值隨之增大，反映出失效概率的不確定程度增大；5）在3種顯著性水平下，曲率半徑小于700m或大于1100m時Pf上下界差值都較小，即失效概率不確定性較小，當曲率半徑在700m至1100m范圍內(nèi)時，Pf上下界差值較曲線兩端顯著增大，即失效概率不確定性較大，可見認識不確定性對可靠度計算的影響主要集中在曲率半徑為700m至1100m范圍內(nèi)。

表3 各隨機變量期望的區(qū)間估計

當隧道縱向曲率半徑為1000m時，改變剛度比，進行Monte Carlo模擬，計算所得環(huán)縫張開失效概率如圖6所示。

從圖6可知：1）當剛度比小于5時，Pf上下界均接近0，基本不會發(fā)生滲漏水；2）隨剛度比增大，Pf上界逐漸增大，下界變化較??；3）從3種顯著性水平來看，隨α的減小，參數(shù)的置信區(qū)間寬度相應(yīng)增大，兩條Pf曲線張開程度增大，反映出失效概率的不確定程度增大；4）在3種顯著性水平下，剛度比小于5時Pf上下界差值較小，當剛度比大于5時，Pf上下界差值單調(diào)增長，反映出對環(huán)縫張開量的認識不確定性逐漸增大。

以下通過本文方法與驗算點法對比討論，說明區(qū)間Monte Carlo法在考慮認識不確定性方面較傳統(tǒng)可靠度分析方法的優(yōu)勢。

采用驗算點法確定可靠度指標β，計算環(huán)縫失效概率（計算結(jié)果見圖7）?？紤]顯著性水平α＝0.1，將Monte Carlo模擬結(jié)果與驗算點法進行對比，如圖7所示。由于驗算點法在當量標準正態(tài)化時使用的是分布參數(shù)的點估計（通常是最大似然估計），故計算得到的失效概率同樣也是一個點，即傳統(tǒng)分析方法低估了認識不確定性對可靠度本身不確定性的影響。

圖5 不同顯著性水平下曲率半徑環(huán)縫張開失效概率計算結(jié)果

計算結(jié)果表明驗算點法計算所得Pf曲線在Monte Carlo模擬結(jié)果的上下界包圍的區(qū)域內(nèi)部。說明Monte Carlo模擬將分布參數(shù)的不確定性考慮在內(nèi)。對置信水平的選取和部分未知參數(shù)的確定是包含主觀因素的，區(qū)間Monte Carlo法體現(xiàn)了由于認識不確定性導致的結(jié)構(gòu)可靠度在一定區(qū)間內(nèi)變化。驗算點法所得曲線應(yīng)當理解為在所有可能的Pf曲線中，分布參數(shù)最大似然估計對應(yīng)的特殊情況，而不能完全反應(yīng)統(tǒng)計參數(shù)估計帶來的可靠度本身的不確定性。區(qū)間Monte Carlo法較傳統(tǒng)方法在認識不確定性方面考慮的更為完善，更有利于地鐵運營養(yǎng)護決策的制定、優(yōu)化結(jié)構(gòu)和防水設(shè)計。

4 結(jié) 論

圖6 不同顯著性水平下剛度比環(huán)縫張開失效概率計算結(jié)果

通過區(qū)間Monte Carlo隨機抽樣模擬，從地鐵盾構(gòu)隧道縱向曲率半徑和管片襯砌環(huán)剛度比兩方面討論了環(huán)縫張開失效概率，并與傳統(tǒng)分析方法（驗算點法）對比，得出以下結(jié)論：

1）隧道縱向曲率半徑的變化對環(huán)縫張開量的影響較為顯著，從計算結(jié)果來看，隧道縱向曲率半徑大于1100m時，失效概率較低且變異性很小。證明現(xiàn)行《地鐵隧道保護條例》對隧道變形曲線的規(guī)定合理有效。

2）隧道在一定縱向曲率狀態(tài)下隨襯砌環(huán)剛度比的增加，失效概率逐漸增大，其變異性也隨之增大。當襯砌密封墊和止水片良好的情況下，通過增大環(huán)縫接頭螺栓直徑或增多螺栓數(shù)量等方式可有效降低環(huán)縫張開失效的概率。

圖7 區(qū)間Monte Carlo模擬與驗算點法對比

3）失效概率的變異性可反映對統(tǒng)計參數(shù)的認識不確定性。不考慮統(tǒng)計參數(shù)的不確定性時計算所得的失效概率在區(qū)間可靠度計算的失效概率的下界之上，說明采用傳統(tǒng)可靠度分析方法可能會低估環(huán)縫張開的風險水平，進而可能導致不安全決策?？梢妳^(qū)間Monte Carlo法較驗算點法在認識不確定性方面考慮的更為完善。

在隨機模擬中對各隨機變量進行獨立直接抽樣，今后的工作中可進一步考慮隨機變量的相關(guān)性，并在抽樣方式上做以改進，考慮使用重點抽樣達到提高抽樣效率的目的。

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