徐亞洲

（西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，西安 710055）

疲勞損傷及斷裂問題是材料和結(jié)構(gòu)失效的常見模式。有資料表明，70%～80%的金屬結(jié)構(gòu)破壞與疲勞損傷及斷裂有關(guān)［1］。由于影響結(jié)構(gòu)疲勞損傷及斷裂的因素甚多且物理機(jī)制復(fù)雜，如材料性質(zhì)、結(jié)構(gòu)組成、荷載、參數(shù)估計(jì)、模型誤差、使用環(huán)境等［2］，本質(zhì)上均具有不可忽略的隨機(jī)性。因此，采用可靠度的方法分析結(jié)構(gòu)疲勞損傷就成為一種自然的選擇。

疲勞可靠度分析理論一直是該領(lǐng)域的研究重點(diǎn)。針對(duì)傳統(tǒng)的應(yīng)力強(qiáng)度干涉模型的不足，Liao等［8］建議了可以考慮非線性損傷累積的動(dòng)力干涉模型。倪侃等［9］同建立了疲勞可靠度的二維概率Miner準(zhǔn)則。Le等［10］建議了一種未知載荷信息時(shí)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行疲勞可靠性分析的方法。通過對(duì)已產(chǎn)生疲勞損傷的構(gòu)件進(jìn)行剩余壽命測(cè)試，并與同類新構(gòu)件的疲勞壽命進(jìn)行比較，據(jù)此間接地推斷受損構(gòu)件的疲勞載荷特性。Lu等［11］采用等效初始缺陷尺寸法（EIFS）進(jìn)行了比例及非比例多軸加載條件下的疲勞壽命分析。王春生等［12］根據(jù)Bayes定理建立了既有鋼橋疲勞可靠度更新模型。Pan等［13］采用gamma隨機(jī)過程理論及Birnbaum－Saunders雙變量概率分布分析了具有多個(gè)退化路徑的疲勞壽命問題。Pipinato等［14］采用線彈性斷裂力學(xué)研究了交通荷載損傷與地震損傷組合對(duì)橋梁疲勞壽命的影響。基于現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)疲勞載荷譜，Guo等［15］對(duì)加固鋼橋進(jìn)行了疲勞可靠性分析。Sih［16－19］開展了一系列多尺度疲勞可靠性研究，涉及跨越納觀、介觀、宏觀尺度時(shí)材料的疲勞可靠性分析。

本文基于概率守恒原理［20］，從隨機(jī)損傷演化的角度考察隨機(jī)源和疲勞損傷的聯(lián)合概率密度函數(shù)在循環(huán)加載過程中的變化規(guī)律，推導(dǎo)出描述聯(lián)合概率密度函數(shù)在損傷變化率輸運(yùn)過程中滿足的演化方程，給出了相應(yīng)的差分?jǐn)?shù)值解法。最后，通過常幅疲勞及二級(jí)加載變幅疲勞試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了方法的正確性。

1 隨機(jī)疲勞損傷演化方程

1.1 隨機(jī)疲勞損傷模型

疲勞損傷的一般形式可以表示為

其中：Y （n）為隨機(jī)損傷過程；n為加載次數(shù)；Θ是確定隨機(jī)損傷的隨機(jī)參數(shù)集合；F是描述參數(shù)與隨機(jī)損傷過程的一般變換，確定著加載次數(shù)、疲勞應(yīng)力幅、累積損傷法則、S－N 關(guān)系等因素與疲勞損傷的關(guān)系。事實(shí)上，疲勞循環(huán)應(yīng)力本身是一個(gè)連續(xù)過程，只是采用S－N 曲線計(jì)算疲勞損傷時(shí)將其離散為與加載次數(shù)有關(guān)的過程。此外，與疲勞壽命的數(shù)量級(jí)相比可以視加載參數(shù)為連續(xù)變量，故以下基于此進(jìn)行基本方程的推導(dǎo)。

f（Θ ，n）為隨機(jī)損傷變化率的形式解。疲勞損傷變化率如無解析結(jié)果，一般需要采用適當(dāng)精度的差分格式對(duì)其進(jìn)行離散。

疲勞損傷及其可靠性分析時(shí)，通常將不確定性區(qū)分為疲勞壽命的離散性和載荷的隨機(jī)性，故取

式中：S為疲勞應(yīng)力幅；Nf為疲勞壽命。

1.2 疲勞損傷的概率密度演化方程

將隨機(jī)疲勞損傷視為一般隨機(jī)過程，通過時(shí)變概率密度函數(shù)可以確定其概率結(jié)構(gòu)的演化規(guī)律。為此，考慮初始隨機(jī)性隨疲勞損傷變化率輸運(yùn)時(shí)隨機(jī)損傷與隨機(jī)參數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)的變化規(guī)律，基于概率守恒原理建立聯(lián)合概率密度函數(shù)的演化方程，據(jù)此可實(shí)現(xiàn)隨機(jī)疲勞損傷的演化規(guī)律分析。

記隨機(jī)疲勞損傷與隨機(jī)參數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為pYΘ（y，θ，n），考慮隨機(jī)損傷演化過程中沒有新的隨機(jī)源產(chǎn)生，｛Y （n），Θ｝在定義域 ｛ΩY×ΩΘ｝上是概率保守系統(tǒng)，其中ΩY是隨機(jī)損傷概率空間，ΩΘ為隨機(jī)參數(shù)概率空間。

取 ｛ΩY×ΩΘ｝中任意控制體Ω，分析加載次數(shù)增量dn內(nèi)控制體中聯(lián)合概率密度函數(shù)pYΘ（y，θ，n）變化及其與邊界概率流動(dòng)的關(guān)系。加載次數(shù)增量dn內(nèi)由損傷變化率經(jīng)過隨機(jī)損傷概率控制體邊界?ΩY輸運(yùn)的概率為

另一方面，控制體內(nèi)聯(lián)合概率密度函數(shù)pYΘ（y，θ，n）經(jīng)過dn后變化為

對(duì)于概率守恒系統(tǒng)，經(jīng)過控制體邊界流入的概率應(yīng)該等于控制體內(nèi)概率的增量，故有

運(yùn)用散度定理將面積分轉(zhuǎn)化為體積分，引入隨機(jī)損傷變化率的形式解＝f（Θ ，n），得

將式（8）代入式（7），注意到形式解fΘ，（ n）與y無關(guān)，則有

考慮控制體的任意性，即可得聯(lián)合概率密度函數(shù)pYΘ（y，θ，n）的演化方程

其物理意義可以解釋為加載開始時(shí)聯(lián)合概率密度函數(shù)的概率分布已知。

上述隨機(jī)損傷演化方程的推導(dǎo)類似于流體動(dòng)力學(xué)中連續(xù)方程的推導(dǎo)，有關(guān)概率守恒及聯(lián)合概率密度函數(shù)服從的演化方程的詳細(xì)討論可以參見文獻(xiàn)［20－21］。

將pYΘ（y，θ，n）在隨機(jī)參數(shù)概率空間ΩΘ上積分即可獲得隨機(jī)疲勞損傷的概率密度函數(shù)

至此，給出隨機(jī)參數(shù)的初始概率分布及累積損傷法則，就可以方便地通過隨機(jī)損傷演化方程獲得其概率密度函數(shù)。進(jìn)而，根據(jù)定義計(jì)算各階特征量（均值、標(biāo)準(zhǔn)差等）和可靠度。

2 疲勞可靠度分析

2.1 基于損傷的疲勞可靠度

通過隨機(jī)疲勞損傷概率密度演化方程求得其概率密度函數(shù)，再給定疲勞損傷失效的閾值Δ即可獲得其可靠度

Pr｛··｝表示概率。通常疲勞損傷閾值Δ取為1。

2.2 數(shù)值方法

聯(lián)合概率密度服從的演化方程是偏微分方程，通常無法獲得解析解［22］。采用數(shù)值方法求解的具體步驟歸納如下：

1）確定影響疲勞損傷過程Y （n）的隨機(jī)參數(shù)集Θ及其概率模型，獲得離散點(diǎn)集Θq＝ ｛Θ1，q，Θ2，q…Θm，q｝，其 中 m 為隨機(jī)變量數(shù)目，q ＝ 1，2…Nsel為選點(diǎn)數(shù)目，利用點(diǎn)集Θq求得損傷過程變化率（n）。

3）對(duì)pYΘ（y，θ，n）在Θ上積分可得pY（y ，n），利用式（13）求得給定損傷閾值Δ下的疲勞可靠度。

3 算例分析

3.1 常幅疲勞可靠度

常幅疲勞分析中唯一的隨機(jī)參數(shù)為疲勞壽命Nf，采用Miner線性疲勞損傷準(zhǔn)則可得累積疲勞損傷的具體表達(dá)式為：

式中：Nf是疲勞壽命，n是加載循環(huán)次數(shù)。

應(yīng)力比為0.02，最大應(yīng)力為281.2MPa時(shí)，LY12－CZ合金材料的11個(gè)歸一化對(duì)數(shù)疲勞壽命試驗(yàn)結(jié)果見表1，其中歸一化疲勞壽命由樣本值Ni與均值ˉN之比確定。試驗(yàn)疲勞可靠度由中位秩給出［23］，歸一化對(duì)數(shù)疲勞壽命經(jīng)過假設(shè)檢驗(yàn)可知其服從正態(tài)分布，均值為1，標(biāo)準(zhǔn)差為0.304。等間距離散隨機(jī)參數(shù)（疲勞壽命Nf）獲得100個(gè)代表點(diǎn)，代入式（15）可得累積疲勞損傷的100個(gè)樣本。根據(jù)隨機(jī)疲勞損傷演化方程計(jì)算的概率密度演化曲面見圖1?？梢园l(fā)現(xiàn)，加載起始時(shí)刻的疲勞損傷分布較為集中，隨著加載次數(shù)的增加疲勞損傷的標(biāo)準(zhǔn)差逐漸增加，且損傷均值也逐漸增大，表明疲勞可靠性逐漸降低。值得注意的是，疲勞損傷均值及標(biāo)準(zhǔn)差均隨加載次數(shù)的增加而增大。由于采用了線性累積損傷模型，相應(yīng)的變異系數(shù)與常幅疲勞壽命的變異系數(shù)接近。

表1 LY12－CZ合金歸一化疲勞壽命試驗(yàn)結(jié)果［23］

圖1 常幅疲勞損傷概率密度曲面

給定損傷失效閾值為1，對(duì)疲勞損傷的概率密度函數(shù)值進(jìn)行積分也可以獲得疲勞可靠度，與試驗(yàn)可靠度的比較見圖2?？梢?，計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好。

圖2 常幅疲勞可靠度分析結(jié)果

將疲勞損傷概率密度演化曲面積分可以獲得累積概率分布函數(shù)，其累積概率等值線見圖3。由于采用了線性損傷累積法則，疲勞損傷累積概率分布函數(shù)的等值線為直線。給定疲勞損傷閾值，與累積概率分布函數(shù)等值線族相交的點(diǎn)集對(duì)應(yīng)的加載次數(shù)即為具有不同可靠度的疲勞壽命。此處取閾值為1，與累積概率為0.5的等值線相交處（圖3中黑點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的無量綱加載次數(shù)為1。即50%的保證率下無量綱加載次數(shù)至1時(shí)發(fā)生疲勞破壞（損傷達(dá)到1）。給定損傷閾值后，加載次數(shù)越大，對(duì)應(yīng)的疲勞可靠度越低，表現(xiàn)為交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的疲勞損傷累積概率等值線數(shù)值越小。相反地，給定加載次數(shù)，則損傷閾值越大對(duì)應(yīng)的疲勞可靠度越高，表現(xiàn)為損傷閾值與加載次數(shù)交點(diǎn)處的等值線具有更大的累積概率值。如交點(diǎn)位于兩條等值線之間可采用線性插值計(jì)算，也可以直接給出規(guī)定累積概率值的等值線進(jìn)行分析。

3.2 低高二級(jí)加載變幅疲勞可靠度

低 高兩級(jí)加載冷軋軟鋼彎曲疲勞試驗(yàn)結(jié)果見表2。第一級(jí)載荷為應(yīng)力幅S1＝280.2MPa時(shí)固定循環(huán)n1＝4×105次，然后在應(yīng)力幅為S2＝329.9MPa的第二級(jí)載荷下加載至試件疲勞破壞，第二級(jí)加載次數(shù)為n2。兩級(jí)載荷對(duì)應(yīng)的常幅試驗(yàn)對(duì)數(shù)疲勞壽命均服從正態(tài)分布，其中第一級(jí)載荷下的對(duì)數(shù)疲勞壽命為lgNf1～N（6.009，0.256） ，第二級(jí)載荷下的對(duì)數(shù)疲勞壽命lgNf2～N（5.274，0.190）。

表2 低高兩級(jí)加載軟鋼疲勞壽命試驗(yàn)結(jié)果［24－25］

表2 低高兩級(jí)加載軟鋼疲勞壽命試驗(yàn)結(jié)果［24－25］

序號(hào) n2／105 試驗(yàn)疲勞可靠度／% 本文疲勞壽命／105 序號(hào) n2／105 試驗(yàn)疲勞可靠度／% 本文疲勞壽命／105 1 0.19 88.45 0.42 13 1.75 42.41 1.232 0.30 86.79 0.46 14 1.97 34.18 1.483 0.34 86.12 0.47 15 2.10 29.56 1.624 0.65 79.69 0.63 16 2.11 29.22 1.645 0.76 76.88 0.70 17 2.16 27.52 1.716 0.82 75.23 0.74 18 2.33 22.10 1.937 1.09 66.88 0.88 19 2.37 20.91 1.988 1.26 60.95 0.96 20 2.62 14.31 2.409 1.37 56.92 1.01 21 2.64 13.84 2.4310 1.40 55.80 1.03 22 2.71 12.29 2.5411 1.64 46.64 1.15 23 3.03 6.69 3.0912 1.74 42.80 1.21

二級(jí)加載變幅疲勞分析中的隨機(jī)參數(shù)為疲勞壽命Nf1和Nf2，仍然可以通過Miner疲勞損傷準(zhǔn)則計(jì)算累積疲勞損傷

式中：n1＝4×105。物理上考慮，如第一級(jí)加載時(shí)試件即發(fā)生疲勞破壞（Nf1＜n1），此時(shí)無法進(jìn)行第二級(jí)加載，相應(yīng)的損傷值等于1。如不考慮這一事實(shí)，繼續(xù)根據(jù)第二級(jí)加載計(jì)算損傷值在物理上是不真實(shí)的。因此，如抽樣所得第一級(jí)載荷對(duì)應(yīng)的常幅疲勞壽命Nf1＜n1，則取相應(yīng)的累積疲勞損傷Y＝1，相當(dāng)于設(shè)置了一個(gè)吸收邊界條件，表示在n1次加載下試件已經(jīng)疲勞破壞。

本文方法計(jì)算的二級(jí)加載疲勞損傷概率密度演化曲面見圖4，試驗(yàn)疲勞可靠度和計(jì)算可靠度的比較見圖5，相應(yīng)的累積概率分布函數(shù)等值線見圖6。與等幅疲勞分析結(jié)果類似，加載次數(shù)較小時(shí)疲勞損傷分布較為集中。隨著加載次數(shù)的增加，疲勞損傷均值及標(biāo)準(zhǔn)差逐漸增大。試驗(yàn)疲勞可靠度與計(jì)算結(jié)果吻合較好。預(yù)測(cè)偏差的原因在于：一方面，盡管算例試驗(yàn)樣本數(shù)目達(dá)23個(gè)，但據(jù)此計(jì)算可靠度本身可能產(chǎn)生誤差；另一方面，二級(jí)低高加載本質(zhì)上屬于變幅疲勞試驗(yàn)，僅根據(jù)兩級(jí)載荷各自的常幅疲勞壽命分布參數(shù)，且采用線性Miner法則計(jì)算累積損傷可能帶來模型誤差。

圖4 變幅疲勞損傷概率密度曲面

圖5 變幅疲勞可靠度分析結(jié)果

圖6 變幅疲勞損傷累積概率分布函數(shù)等值線

4 結(jié)論

考慮疲勞壽命變異性和載荷隨機(jī)性為疲勞損傷的隨機(jī)源，基于概率守恒原理推導(dǎo)出隨機(jī)參數(shù)與疲勞損傷聯(lián)合概率密度函數(shù)的損傷演化方程。采用兩步Lax－Wendroff差分格式可以獲得聯(lián)合概率密度函數(shù)的數(shù)值解，對(duì)其在隨機(jī)參數(shù)空間進(jìn)行積分即可獲得隨機(jī)疲勞損傷的概率密度演化信息。給定損傷失效閾值，可以進(jìn)一步計(jì)算其疲勞可靠度。此外，據(jù)此計(jì)算的疲勞損傷累積概率分布等值線可用以分析給定損傷閾值時(shí)疲勞壽命的可靠度，也可以分析給定加載次數(shù)時(shí)不同損傷閾值條件下的疲勞可靠度。

根據(jù)LY12－CZ合金材料常幅試驗(yàn)結(jié)果確定其對(duì)數(shù)疲勞壽命服從正態(tài)分布，給出其參數(shù)估計(jì)值。采用隨機(jī)損傷演化方程獲得隨機(jī)疲勞損傷概率密度函數(shù)的數(shù)值解，取損傷閾值等于1計(jì)算的疲勞可靠度與試驗(yàn)疲勞可靠度吻合良好。此外，基于冷軋軟鋼兩級(jí)載荷各自常幅疲勞壽命分布參數(shù)，采用Miner準(zhǔn)則計(jì)算累積疲勞損傷，根據(jù)疲勞損傷概率密度演化方法計(jì)算的低高兩級(jí)加載彎曲疲勞可靠度與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

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