李氣發(fā)，謝資清，，陶 霞

(1.貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，中國(guó) 貴陽(yáng) 550001；2.湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，中國(guó) 長(zhǎng)沙 410081)

Volterra積分微分方程廣泛應(yīng)用于物理、生物、控制論等自然科學(xué)領(lǐng)域.該類方程中的積分項(xiàng)反映了實(shí)際過(guò)程中的記憶或反饋性質(zhì)，使得它與傳統(tǒng)的微分方程有著本質(zhì)的區(qū)別.如何快速、高效而準(zhǔn)確地求解這類問(wèn)題是科學(xué)計(jì)算中的重要問(wèn)題.

早期關(guān)于積分微分方程的數(shù)值方法主要是差分方法[1].近年來(lái)，Hesthven[2],Tang[3-4], Guo[5]和Wang[6]等在用譜方法求解積分微分方程方面做了大量的工作,使得這方面研究逐漸引起了學(xué)者們的關(guān)注.事實(shí)上，譜方法具有“無(wú)窮階”的收斂性，即如果原方程解無(wú)限光滑，那么適當(dāng)?shù)淖V方法求得的近似解將以N-1的任意冪次速度收斂于精確解.特別是譜方法適合于求解非常規(guī)則而幾何區(qū)域維數(shù)非常大的問(wèn)題.

最近，Tang[14]等采用節(jié)點(diǎn)上的譜配點(diǎn)法求解帶光滑核的第二類積分方程.在此基礎(chǔ)上，Xie[15]等采用譜和偽譜Jacobi-Galerkin方法求解第二類Volterra積分方程，并進(jìn)行了嚴(yán)格的收斂性分析.他們最近又進(jìn)一步證明了M-條件，以及Galerkin譜方法求解上述積分方程的超幾何收斂性.

本文采用譜Legendre-Gelerkin方法求解第二類Volterra積分微分方程，在一定的假設(shè)條件下，證明了解滿足M-條件，并證明了譜Legendre-Galerkin方法在L2和L∞意義下的超幾何收斂性質(zhì).事實(shí)上其結(jié)果相比文獻(xiàn)[17]中的譜Petrov-Galerkin方法能夠達(dá)到更高的收斂率.

首先考慮具有如下形式的一般線性Volterra積分微分方程(VIDEs):

(1)

y(0)=y0,

(2)

事實(shí)上，方程(2)等價(jià)于

(2′)

(3)

(4)

(5)

(6)

1 譜Legendre-Galerkin方法

(7)

首先討論譜Legendre-Galerkin方法的數(shù)值實(shí)現(xiàn).令PN是定義在[-1，1]上的次數(shù)不超過(guò)N的多項(xiàng)式構(gòu)成的空間，Lj(x)是j次Legendre多項(xiàng)式，j=0,1,…,N.即有PN=span{L0(x),L1(x),…,LN(x)}.

譜Legendre-Galerkin方法為：對(duì)(7)式尋求uN∈PN,vN∈PN,使得

(vN,wN)-(uN,wN)-(SuN,wN)=(g,wN),?wN∈PN,

(8)

(uN,wN)-(KvN,wN)=(u0,wN),?wN∈PN,

(9)

(10)

將式(10)分別代入(8)和(9)，并取wN=Li(x),i=0,1,…,N,可得

(11)

(12)

2 一些有用的引理

定義正交投影算子ΠN:L2(I)→PN,使得對(duì)任意的u∈L2(I)都有(ΠNu,wN)=(u,wN),?wN∈PN.

最后，考慮方程(7)，為使解滿足M-條件，需要作以下假設(shè)：

令D={(x,τ):-1≤x≤1,-1≤τ≤x},I=[-1,1].

(A1)g(x)和k(x,τ)分別在I和D上充分光滑，且k(x,τ)=k(x-τ).

引理2(M-條件)如果條件(A1)和(A2)成立，則存在常數(shù)c和M≥max{r0,r1},使得方程(7)的解u和v滿足‖u(n)(x)‖L∞(I)≤cMn,‖v(n)(x)‖L∞(I)≤cMn,n=0,1,2,….

證由文獻(xiàn)[17]中定理3.1可直接得到.

3 譜Legendre-Galerkin方法的超幾何收斂性分析

根據(jù)式(8)，(9)和投影算子ΠN的定義，(8)，(9)等價(jià)于

vN-uN-ΠNSuN=ΠNg,

(13)

uN-ΠNKvN=u0.

(14)

定理1滿足方程(8)和(9)的譜Legendre-Galerkin解存在且唯一.

證設(shè)uN,vN為(8)和(9)的譜Legendre-Galerkin解.由于解空間是有限維，且問(wèn)題(8)和(9)與(13)和(14)等價(jià)，為此只要證明(13)和(14)中，當(dāng)g=0,u0=0時(shí)，uN=0,vN=0即可.為此考慮

vN-uN-ΠNSuN=0,

(15)

uN-ΠNKvN=0.

(16)

將(16)代入(15)得

vN-ΠNKvN-ΠNSuN=vN-KvN+(KvN-ΠNKvN)-SuN+(SuN-ΠNSuN)=

vN-KvN+(KvN-ΠNKvN)-S[ΠNKvN]+(SuN-ΠNSuN)=0.

(17)

即有

vN=KvN+S[ΠNKvN]-(KvN-ΠNKvN)-(SuN-ΠNSuN).

(18)

對(duì)上式的第2項(xiàng)，根據(jù)k(x,τ)的光滑性，并運(yùn)用Dirichlet公式

(19)

可得

|S[ΠNKvN]|=|S[KvN-(KvN-ΠNKvN)]|≤|S(KvN)|+|S(KvN-ΠNKvN)|≤

(20)

由(18)，(20)可得

(21)

根據(jù)([6]p.239,Lemma 3.7)有

(22)

令H1=SuN-ΠNSuN,H2=KvN-ΠNKvN,由(21)，(22)及引理4可得

C(‖H1‖+‖H2‖).

(23)

根據(jù)引理3有

CN-1‖uN‖.

(24)

同理可得

‖H2‖≤CN-1‖vN‖.

(25)

由(23)～(25)可得，當(dāng)N足夠大時(shí)

‖vN‖≤CN-1‖uN‖.

(26)

由(16)，(22)和(25)可得

‖uN‖≤‖KvN‖+‖KvN-ΠNKvN‖≤C‖vN‖+CN-1‖vN‖≤C‖vN‖.

(27)

從(26)，(27)可以看到，當(dāng)N充分大時(shí)，uN=0,vN=0.從而存在唯一性得證.

證分別將(7)中的第1，第2式與(13)，(14)相減得

v-vN-(u-uN)-(Su-ΠNSuN)=g-ΠNg,

(28)

(u-uN)-(Kv-ΠNKvN)=0.

(29)

Su-ΠNSuN=Su-ΠNSu+ΠNS(u-uN)=Su-ΠNSu+S(u-uN)-{S(u-uN)-ΠNS(u-uN)}=

(-g+v-u)-ΠN(-g+v-u)+S(u-uN)-{S(u-uN)-ΠNS(u-uN)}=

-g+ΠNg+(v-ΠNv)-(u-ΠNu)+Se-(Se-ΠNSe).

(30)

同理可得

(31)

將(30)，(31)分別代入(28)，(29)得

(32)

(33)

(34)

對(duì)(34)第2個(gè)等號(hào)右邊第3項(xiàng)，運(yùn)用公式(19)可得

(35)

由(34)，(35)及k(x,τ)的光滑性可知,

(36)

由(36)，(22)和引理4知，

‖J3‖+‖J4‖).

(37)

由假設(shè)(A1)和(A2)，(7)的解滿足M-條件.根據(jù)引理3，有

(38)

(39)

將(38)，(39)代入(37)得到

(40)

由(33)，(22)可得

(41)

另一方面，由(36)和引理4有

C(‖J1‖L∞‖+‖J2‖L∞+‖J3‖L∞‖+‖J4‖L∞‖).

(42)

再由引理3有

(43)

(44)

將(43)，(44)代入(42)式并整理得

(45)

又由(33)，(43)得

(46)

4 數(shù)值算例

考察式(11)，(12)，采用譜Legendre-Galerkin方法求解算例.表1為譜Legendre-Galerkin方法近似解及近似導(dǎo)數(shù)解的L2和L∞誤差，分別與圖1(a)、(b)相對(duì)應(yīng).從誤差數(shù)據(jù)和圖中可以看出，該方法具有超幾何收斂性.

表1 譜Legendre-Galerkin方法的誤差

圖1 (a)譜Legendre-Galerkin法近似解的誤差 (b)譜Legendre-Galerkin法近似導(dǎo)數(shù)解的誤差 Fig.1 (a) The error of approximate solution for the spectral (b) The error of approximate derivative solution for the spectral Legendre-Galerkin method Legendre-Galerkin method

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