姚文治

摘 要：代數(shù)式的求值問題涉及面廣，它和代數(shù)式的變形、分式的運(yùn)算、二次根式的化簡(jiǎn)、一元二次方程根與系數(shù)都有密切的關(guān)系，中考中也常常涉及，而有相當(dāng)一部分學(xué)生，在求代數(shù)式的值時(shí)，不注意觀察題目特點(diǎn)，不考慮題目的技巧性，結(jié)果使得求值過程比較復(fù)雜，有些甚至無法求出結(jié)果，所以求代數(shù)式的值時(shí)，若能抓住題目的特點(diǎn)選擇適當(dāng)方法，不僅可使求值由難到易，由繁到簡(jiǎn)，而且還可提高學(xué)生思維的靈活性。

關(guān)鍵詞：代數(shù)；方式；代數(shù)式

下面略舉實(shí)例。

例1：若a+b=8，求a2+b2+2ab-8a-8b+16的值。

分析：解此題要抓住題目特點(diǎn)，通過觀察，此題看起來代數(shù)較長，但不難發(fā)現(xiàn)，所求代數(shù)式可化為a+b的表達(dá)式，把a(bǔ)+b的值整體代入，問題便可獲得解決。

解：原式=（a+b）2-8（a+b）+16

=（a+b-4）2

把a(bǔ)+b=8代入，原式=（8-4）2=16

例2：（1）已知：x=■，xy=1，求代數(shù)式2x2-4xy+2y2+1的值；

（2）已知：x=■，求代數(shù)式■+■的值。

分析：解這類題目，若直接把x的值和y的值代入，計(jì)算起來相當(dāng)麻煩，若能把已知條件化簡(jiǎn)和把代數(shù)式化簡(jiǎn)，再代入計(jì)算，計(jì)算起來就顯得特別簡(jiǎn)單。

解：（1）由已知：x=■，化簡(jiǎn)得：x=■=■-1，

由xy=1，得y=■=■=■+1.

將代數(shù)式：2x2-4xy+2y2+1，變形為：2（x-y）2+1

把x=■-1，y=■+1代入，原式=2（■-1-■-1）2+1=8+1=9

（2）已知：x=■，化簡(jiǎn)得：x=■，

再化簡(jiǎn)代數(shù)式：■+■=■+■

=x-3+x+2=2x-1

把x=■代入，得

原式=2×■-1=■

例3：（1）已知：x1、x2是方程x2-7x+5=0的兩根。求代數(shù)式（x1-5）（x2-5）的值。

（2）已知：x1、x2是方程2x2-6x+3=0的兩根。求代數(shù)式■+■的值。

分析：此類題目有兩種方法，第一種可先算出方程的兩個(gè)根再求值，第二種方法則利用根與系數(shù)的關(guān)系，先求出x1+x2與x1x2的值，然后再把所求代數(shù)式化成x1+x2與x1x2的表達(dá)式后求值，但由于方程的解不是有理數(shù)，用第一種方法計(jì)算起來肯定很繁，但用第二種方法就顯得容易多了。

解：（1）由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2=7，x1x2=5.

（x1-5）（x2-5）=x1x2-5（x1+x2）+25

=5-5×7+25=-5

（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2=3，x1x2=■

∴■+■=■+■=■=■=■

有的求值題，分別給出x+y，xy的值，求，x2+y2，x3+y3，■+■的值，也同樣可利用上述方法解決。

例3：已知a2-■a=1，b2-■b=1，且a≠b，求：■+■的值。

分析：所求代數(shù)式中的字母a、b，題中通過a2-■a=1，b2-■b=1給出，如果我們通過一元二次方程求出a、b的值后再代入代數(shù)式中，顯然十分麻煩，這時(shí)認(rèn)真觀察a2-■a=1，b2-■b=1會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)一元二次方程的“對(duì)應(yīng)項(xiàng)”系數(shù)相等，因此可將a、b看做方程x2-■x-1=0的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系容易求出代數(shù)式的值。

解：∵a2-■a=1，b2-■b=1，且a≠b

將a、b看做方程x2-■x-1=0的兩根。

a+b=■，ab=-1.

∴■+■=■=■=-5

從以上實(shí)例可見，求代數(shù)式的值，方法多種多樣，既有靈活性，又有技巧性，同時(shí)還涉及很多知識(shí)點(diǎn)，只要能抓住題目特點(diǎn)，認(rèn)真分析，找到求值關(guān)鍵，就能較快地求出代數(shù)式的值。

？誗編輯 馬燕萍