董天武

我們在平時的教學中，常常會碰到這樣的現(xiàn)象，學生利用新近所學內(nèi)容解決問題比較順手，而拿到一個用以前所學知識或與書本知識關聯(lián)不太大的問題時便束手無策.究其原因是我們平時解題思路均與本科內(nèi)容有關——要么所學知識是最近所學，要么所用方法是本節(jié)課的內(nèi)容，再難的問題都會有明顯的“暗示”，甚至還要加老師的提示，從而失去其思維的價值.甚至在授課時，老師在事先設計好的思路下，想方設法堵住學生“出軌”的想法.

在教學中如何讓學生自己動起來，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識，發(fā)展求異思維呢？

一、 在發(fā)現(xiàn)中學習，培養(yǎng)學生的求異精神

平時的教學都是以傳授知識為中心，力求把知識講深、講透.在處理教材時則采用結(jié)果教學的方法，忽視知識的發(fā)生、形成過程.長此以往，學生慣用上課時豎起兩只耳朵，只作為知識的接受機器，失去了對知識真?zhèn)蔚呐袆e，更重要的是失去了學生積極探究知識的原動力.應試能力強，應用知識解決問題的能力差是我國教育中普遍存在的問題.

發(fā)現(xiàn)性學習者認為，學生學習書本知識的過程不是對書本知識的直接接受、占有和重復，而是對學習的知識能動地選擇、批判、加工和改造的過程.認識到這一點，我們在教學中應關注學生的主體地位，在處理教材時應以學生的主動探索為線索，力求讓學生經(jīng)歷知識的發(fā)生、形成過程，讓學生在開放的學習環(huán)境中，從多渠道獲取知識，并能將所學知識加以綜合應用.例如在講向量概念時，傳統(tǒng)做法是將向量的有關概念直接拋給學生，然后通過題組訓練，使其對向量的有關概念加以記憶并能熟練運用.而我們?nèi)魧⑾蛄康挠嘘P概念設置在問題情境中，讓學生在解決問題中體會概念的形成，讓學生在過程中體會知識的形成，并體會向量在實際中的應用，讓學生在親身體驗中獲取知識，變被動學習為主動探求.這樣不僅激發(fā)了學生求知的原動力，同時也能兼顧到學生個體學習的差異性.達到了培養(yǎng)學生創(chuàng)新求異的目的.

二、 從多角度培養(yǎng)學生的發(fā)散、求異思維

問題是數(shù)學的核心，解題教學是我們數(shù)學教學的基石.我們對教材上典型例題除了引導學生分析其思維過程外，還應當引導學生探究一些新的解法.使學生從不同的側(cè)面，不依常規(guī)尋求變異，從隱秘的教學關系中找到問題的實質(zhì)，探究各種知識的相互聯(lián)系，探討多種方法解決問題，充分發(fā)揮例題的作用，訓練學生的求異思維.同時也能引導學生把已學知識同化到原有的認知結(jié)構中去，使所學知識縱橫聯(lián)系，形成網(wǎng)絡.

1.通過一題多解的教學，培養(yǎng)學生的求異思維

例1 且a，b∈R且a+b=1.求證（a+2）2+（b+2）2≥252.

通過課堂討論和課后研討，學生給出了比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法、均值換元法、構造函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法多種方法.

一題多解不僅能復習較多的知識，激發(fā)學生的學習興趣，而且能培養(yǎng)學生從多角度地分析問題，總結(jié)一般的解題方法，避免題海戰(zhàn)，減輕學生負擔，更能活躍學生的數(shù)學思維，充分挖掘問題的本質(zhì)，使學生的發(fā)散、求異思維得到提高.

2.通過一題多變的教學 ，培養(yǎng)學生的發(fā)散、求異思維

例2 （選修2-3教材中，第13頁例7）有6個人排成一排，

（1）甲和乙兩人相鄰的排法有多少種？

（2）甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有多少種？

我們由該題還可以變出多種題目，如下面變式練習：

變式 有3名男生、4名女生排成一排，按下列要求有多少種不同的排法？

（1）7人站成一排；

（2）選其中5人排成一行

（3）甲只能在中間或兩頭；

（4）甲、乙二人必須在兩頭 ；

（5）甲不在排頭，乙不在排尾；

（6）男生、女生各站一邊；

（7）男生必須排在一起；

（8）男生、女生各不相鄰；

（9）男生不能相鄰；

（10）甲、乙中間必須有3人.

通過變條件，變結(jié)論，變圖形，變題型等等，使學生在一題多變中學會思考，在復雜問題中，學會隨機應變，從而使學生的發(fā)散、求異思維能力得到培養(yǎng).

三、 在錯解的剖析過程中培養(yǎng)學生的批判、求異思維

教育心理學指出：“概念或規(guī)則的正例傳遞了最有利于概括的信息，反例則傳遞了最有利于辨別的信息”.通過設錯——糾錯——醒悟的教學過程，可進一步幫助學生理解和掌握知識，培養(yǎng)學生的求異精神.

例3 若f（cosx）=sin2x，求f（sinx）的表達式.

解法一： 因為sinx=cos（π2-x），

所以f（sinx）=f（cos（π2-x））=sin[2（π2-x）]=sin2x.

解法二：因為sinx=cos（3π2+x），

所以f（sinx）=f（cos（3π2+x））=sin（3π+2x）=-sin2x.

解法三：設cosx=t（-1≤t≤1），則sinx=±1-t2.

所以f（t）=±2t1-t2，所以f（sinx）=±sin2x.

分析 因為f（cosx）=sin2x=2sinxcosx=±2cosx1-cos2x ，

所以f（t）=±2t1-t2，

所以f（sinx）=±sin2x.

同一題目為什么會得出多種結(jié)果？實際上， 這樣的函數(shù)不存在，本題是一錯題.

四、在研究中學習，通過合作探究，培養(yǎng)求同存異的精神

研究性學習為學生提供了一個開放的空間，能讓學生親自體驗知識的形成與產(chǎn)生過程，能體驗到生動的數(shù)學，并能用數(shù)學去解決問題.其條件的不完備性和答案的不確定性給學生留下了極大的思維創(chuàng)造空間，可以培養(yǎng)學生思維的廣闊性、靈活性和多樣性.在小組討論中每個學生帶著各自的想法，在討論中產(chǎn)生思維的碰撞，從而達到思想的共鳴.不僅培養(yǎng)了集體合作的精神，又能達到求同存異的目的.endprint

我們在平時的教學中，常常會碰到這樣的現(xiàn)象，學生利用新近所學內(nèi)容解決問題比較順手，而拿到一個用以前所學知識或與書本知識關聯(lián)不太大的問題時便束手無策.究其原因是我們平時解題思路均與本科內(nèi)容有關——要么所學知識是最近所學，要么所用方法是本節(jié)課的內(nèi)容，再難的問題都會有明顯的“暗示”，甚至還要加老師的提示，從而失去其思維的價值.甚至在授課時，老師在事先設計好的思路下，想方設法堵住學生“出軌”的想法.

在教學中如何讓學生自己動起來，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識，發(fā)展求異思維呢？

一、 在發(fā)現(xiàn)中學習，培養(yǎng)學生的求異精神

平時的教學都是以傳授知識為中心，力求把知識講深、講透.在處理教材時則采用結(jié)果教學的方法，忽視知識的發(fā)生、形成過程.長此以往，學生慣用上課時豎起兩只耳朵，只作為知識的接受機器，失去了對知識真?zhèn)蔚呐袆e，更重要的是失去了學生積極探究知識的原動力.應試能力強，應用知識解決問題的能力差是我國教育中普遍存在的問題.

發(fā)現(xiàn)性學習者認為，學生學習書本知識的過程不是對書本知識的直接接受、占有和重復，而是對學習的知識能動地選擇、批判、加工和改造的過程.認識到這一點，我們在教學中應關注學生的主體地位，在處理教材時應以學生的主動探索為線索，力求讓學生經(jīng)歷知識的發(fā)生、形成過程，讓學生在開放的學習環(huán)境中，從多渠道獲取知識，并能將所學知識加以綜合應用.例如在講向量概念時，傳統(tǒng)做法是將向量的有關概念直接拋給學生，然后通過題組訓練，使其對向量的有關概念加以記憶并能熟練運用.而我們?nèi)魧⑾蛄康挠嘘P概念設置在問題情境中，讓學生在解決問題中體會概念的形成，讓學生在過程中體會知識的形成，并體會向量在實際中的應用，讓學生在親身體驗中獲取知識，變被動學習為主動探求.這樣不僅激發(fā)了學生求知的原動力，同時也能兼顧到學生個體學習的差異性.達到了培養(yǎng)學生創(chuàng)新求異的目的.

二、 從多角度培養(yǎng)學生的發(fā)散、求異思維

問題是數(shù)學的核心，解題教學是我們數(shù)學教學的基石.我們對教材上典型例題除了引導學生分析其思維過程外，還應當引導學生探究一些新的解法.使學生從不同的側(cè)面，不依常規(guī)尋求變異，從隱秘的教學關系中找到問題的實質(zhì)，探究各種知識的相互聯(lián)系，探討多種方法解決問題，充分發(fā)揮例題的作用，訓練學生的求異思維.同時也能引導學生把已學知識同化到原有的認知結(jié)構中去，使所學知識縱橫聯(lián)系，形成網(wǎng)絡.

1.通過一題多解的教學，培養(yǎng)學生的求異思維

例1 且a，b∈R且a+b=1.求證（a+2）2+（b+2）2≥252.

通過課堂討論和課后研討，學生給出了比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法、均值換元法、構造函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法多種方法.

一題多解不僅能復習較多的知識，激發(fā)學生的學習興趣，而且能培養(yǎng)學生從多角度地分析問題，總結(jié)一般的解題方法，避免題海戰(zhàn)，減輕學生負擔，更能活躍學生的數(shù)學思維，充分挖掘問題的本質(zhì)，使學生的發(fā)散、求異思維得到提高.

2.通過一題多變的教學 ，培養(yǎng)學生的發(fā)散、求異思維

例2 （選修2-3教材中，第13頁例7）有6個人排成一排，

（1）甲和乙兩人相鄰的排法有多少種？

（2）甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有多少種？

我們由該題還可以變出多種題目，如下面變式練習：

變式 有3名男生、4名女生排成一排，按下列要求有多少種不同的排法？

（1）7人站成一排；

（2）選其中5人排成一行

（3）甲只能在中間或兩頭；

（4）甲、乙二人必須在兩頭 ；

（5）甲不在排頭，乙不在排尾；

（6）男生、女生各站一邊；

（7）男生必須排在一起；

（8）男生、女生各不相鄰；

（9）男生不能相鄰；

（10）甲、乙中間必須有3人.

通過變條件，變結(jié)論，變圖形，變題型等等，使學生在一題多變中學會思考，在復雜問題中，學會隨機應變，從而使學生的發(fā)散、求異思維能力得到培養(yǎng).

三、 在錯解的剖析過程中培養(yǎng)學生的批判、求異思維

教育心理學指出：“概念或規(guī)則的正例傳遞了最有利于概括的信息，反例則傳遞了最有利于辨別的信息”.通過設錯——糾錯——醒悟的教學過程，可進一步幫助學生理解和掌握知識，培養(yǎng)學生的求異精神.

例3 若f（cosx）=sin2x，求f（sinx）的表達式.

解法一： 因為sinx=cos（π2-x），

所以f（sinx）=f（cos（π2-x））=sin[2（π2-x）]=sin2x.

解法二：因為sinx=cos（3π2+x），

所以f（sinx）=f（cos（3π2+x））=sin（3π+2x）=-sin2x.

解法三：設cosx=t（-1≤t≤1），則sinx=±1-t2.

所以f（t）=±2t1-t2，所以f（sinx）=±sin2x.

分析 因為f（cosx）=sin2x=2sinxcosx=±2cosx1-cos2x ，

所以f（t）=±2t1-t2，

所以f（sinx）=±sin2x.

同一題目為什么會得出多種結(jié)果？實際上， 這樣的函數(shù)不存在，本題是一錯題.

四、在研究中學習，通過合作探究，培養(yǎng)求同存異的精神

研究性學習為學生提供了一個開放的空間，能讓學生親自體驗知識的形成與產(chǎn)生過程，能體驗到生動的數(shù)學，并能用數(shù)學去解決問題.其條件的不完備性和答案的不確定性給學生留下了極大的思維創(chuàng)造空間，可以培養(yǎng)學生思維的廣闊性、靈活性和多樣性.在小組討論中每個學生帶著各自的想法，在討論中產(chǎn)生思維的碰撞，從而達到思想的共鳴.不僅培養(yǎng)了集體合作的精神，又能達到求同存異的目的.endprint

我們在平時的教學中，常常會碰到這樣的現(xiàn)象，學生利用新近所學內(nèi)容解決問題比較順手，而拿到一個用以前所學知識或與書本知識關聯(lián)不太大的問題時便束手無策.究其原因是我們平時解題思路均與本科內(nèi)容有關——要么所學知識是最近所學，要么所用方法是本節(jié)課的內(nèi)容，再難的問題都會有明顯的“暗示”，甚至還要加老師的提示，從而失去其思維的價值.甚至在授課時，老師在事先設計好的思路下，想方設法堵住學生“出軌”的想法.

在教學中如何讓學生自己動起來，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識，發(fā)展求異思維呢？

一、 在發(fā)現(xiàn)中學習，培養(yǎng)學生的求異精神

平時的教學都是以傳授知識為中心，力求把知識講深、講透.在處理教材時則采用結(jié)果教學的方法，忽視知識的發(fā)生、形成過程.長此以往，學生慣用上課時豎起兩只耳朵，只作為知識的接受機器，失去了對知識真?zhèn)蔚呐袆e，更重要的是失去了學生積極探究知識的原動力.應試能力強，應用知識解決問題的能力差是我國教育中普遍存在的問題.

發(fā)現(xiàn)性學習者認為，學生學習書本知識的過程不是對書本知識的直接接受、占有和重復，而是對學習的知識能動地選擇、批判、加工和改造的過程.認識到這一點，我們在教學中應關注學生的主體地位，在處理教材時應以學生的主動探索為線索，力求讓學生經(jīng)歷知識的發(fā)生、形成過程，讓學生在開放的學習環(huán)境中，從多渠道獲取知識，并能將所學知識加以綜合應用.例如在講向量概念時，傳統(tǒng)做法是將向量的有關概念直接拋給學生，然后通過題組訓練，使其對向量的有關概念加以記憶并能熟練運用.而我們?nèi)魧⑾蛄康挠嘘P概念設置在問題情境中，讓學生在解決問題中體會概念的形成，讓學生在過程中體會知識的形成，并體會向量在實際中的應用，讓學生在親身體驗中獲取知識，變被動學習為主動探求.這樣不僅激發(fā)了學生求知的原動力，同時也能兼顧到學生個體學習的差異性.達到了培養(yǎng)學生創(chuàng)新求異的目的.

二、 從多角度培養(yǎng)學生的發(fā)散、求異思維

問題是數(shù)學的核心，解題教學是我們數(shù)學教學的基石.我們對教材上典型例題除了引導學生分析其思維過程外，還應當引導學生探究一些新的解法.使學生從不同的側(cè)面，不依常規(guī)尋求變異，從隱秘的教學關系中找到問題的實質(zhì)，探究各種知識的相互聯(lián)系，探討多種方法解決問題，充分發(fā)揮例題的作用，訓練學生的求異思維.同時也能引導學生把已學知識同化到原有的認知結(jié)構中去，使所學知識縱橫聯(lián)系，形成網(wǎng)絡.

1.通過一題多解的教學，培養(yǎng)學生的求異思維

例1 且a，b∈R且a+b=1.求證（a+2）2+（b+2）2≥252.

通過課堂討論和課后研討，學生給出了比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法、均值換元法、構造函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法多種方法.

一題多解不僅能復習較多的知識，激發(fā)學生的學習興趣，而且能培養(yǎng)學生從多角度地分析問題，總結(jié)一般的解題方法，避免題海戰(zhàn)，減輕學生負擔，更能活躍學生的數(shù)學思維，充分挖掘問題的本質(zhì)，使學生的發(fā)散、求異思維得到提高.

2.通過一題多變的教學 ，培養(yǎng)學生的發(fā)散、求異思維

例2 （選修2-3教材中，第13頁例7）有6個人排成一排，

（1）甲和乙兩人相鄰的排法有多少種？

（2）甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有多少種？

我們由該題還可以變出多種題目，如下面變式練習：

變式 有3名男生、4名女生排成一排，按下列要求有多少種不同的排法？

（1）7人站成一排；

（2）選其中5人排成一行

（3）甲只能在中間或兩頭；

（4）甲、乙二人必須在兩頭 ；

（5）甲不在排頭，乙不在排尾；

（6）男生、女生各站一邊；

（7）男生必須排在一起；

（8）男生、女生各不相鄰；

（9）男生不能相鄰；

（10）甲、乙中間必須有3人.

通過變條件，變結(jié)論，變圖形，變題型等等，使學生在一題多變中學會思考，在復雜問題中，學會隨機應變，從而使學生的發(fā)散、求異思維能力得到培養(yǎng).

三、 在錯解的剖析過程中培養(yǎng)學生的批判、求異思維

教育心理學指出：“概念或規(guī)則的正例傳遞了最有利于概括的信息，反例則傳遞了最有利于辨別的信息”.通過設錯——糾錯——醒悟的教學過程，可進一步幫助學生理解和掌握知識，培養(yǎng)學生的求異精神.

例3 若f（cosx）=sin2x，求f（sinx）的表達式.

解法一： 因為sinx=cos（π2-x），

所以f（sinx）=f（cos（π2-x））=sin[2（π2-x）]=sin2x.

解法二：因為sinx=cos（3π2+x），

所以f（sinx）=f（cos（3π2+x））=sin（3π+2x）=-sin2x.

解法三：設cosx=t（-1≤t≤1），則sinx=±1-t2.

所以f（t）=±2t1-t2，所以f（sinx）=±sin2x.

分析 因為f（cosx）=sin2x=2sinxcosx=±2cosx1-cos2x ，

所以f（t）=±2t1-t2，

所以f（sinx）=±sin2x.

同一題目為什么會得出多種結(jié)果？實際上， 這樣的函數(shù)不存在，本題是一錯題.

四、在研究中學習，通過合作探究，培養(yǎng)求同存異的精神

研究性學習為學生提供了一個開放的空間，能讓學生親自體驗知識的形成與產(chǎn)生過程，能體驗到生動的數(shù)學，并能用數(shù)學去解決問題.其條件的不完備性和答案的不確定性給學生留下了極大的思維創(chuàng)造空間，可以培養(yǎng)學生思維的廣闊性、靈活性和多樣性.在小組討論中每個學生帶著各自的想法，在討論中產(chǎn)生思維的碰撞，從而達到思想的共鳴.不僅培養(yǎng)了集體合作的精神，又能達到求同存異的目的.endprint