王夢(mèng)蘭

在教學(xué)“找兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)”后，教材安排了一個(gè)“做一做——找出下列每組數(shù)的最大公因數(shù)，做完后你有什么發(fā)現(xiàn)？”目的在于讓學(xué)生熟練掌握求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法，同時(shí)能快速地找出有特殊關(guān)系的兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。為了順利地完成教學(xué)目標(biāo)，筆者設(shè)計(jì)了一組練習(xí)：分別找出每組數(shù)的最大公因數(shù)28和32、60和45、15和16、1和49、8和32、13和26。

筆者邀請(qǐng)6名同學(xué)上臺(tái)板演，其余同學(xué)寫在課堂本上。在巡視中發(fā)現(xiàn)，同學(xué)們有的用列舉法，即分別列出兩數(shù)的公因數(shù)，然后從中找出公因數(shù)，最后從公因數(shù)中找到兩數(shù)的最大公因數(shù)；有的用集合圈法，類似于列舉法；還有的用排除法，先找出較小數(shù)的因數(shù)，再?gòu)妮^小數(shù)的因數(shù)中找出兩數(shù)的最大公因數(shù)；更多的孩子用的是短除法。孩子們都完成后，師生先一起講評(píng)，訂正答案，最后，筆者問(wèn)大家：“請(qǐng)仔細(xì)觀察每一組數(shù)與它們的最大公因數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？”

刷……不少孩子高舉著手，異口同聲地說(shuō)：“我發(fā)現(xiàn)15和16、1和49這兩組數(shù)的最大公因數(shù)都是1?！?/p>

“為什么呢？”筆者追問(wèn)。

“1和任何數(shù)（0除外）的最大公因數(shù)都是1。因?yàn)?是所有自然數(shù)的因數(shù)，而1只有因數(shù)1?！庇忻麑W(xué)生對(duì)答如流，教室里頓時(shí)響起一片掌聲。

筆者接著問(wèn)：“那15和16的最大公因數(shù)為什么也是1？”

“相鄰的自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)，也就是說(shuō)它們只有公因數(shù)1，自然最大公因數(shù)還是1。”

“老師，我也有發(fā)現(xiàn)，我發(fā)現(xiàn)8和32、13和26這兩組數(shù)的最大公因數(shù)是那個(gè)較大的數(shù)。”

“為什么呢？”筆者故意問(wèn)。

“老師，這兩組數(shù)中其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，也就是說(shuō)，其中的小數(shù)是較大數(shù)的因數(shù)，而那個(gè)小數(shù)本身又是自己最大的因數(shù)，所以它們的最大公因數(shù)就是那個(gè)較小的數(shù)?！?/p>

筆者問(wèn)：“大家聽明白了嗎？同意嗎？”

“同意?！比嗤瑢W(xué)異口同聲。

于是，筆者說(shuō)：“大家現(xiàn)在有法寶了，可以快速地找出有特殊關(guān)系的兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)……”

“老師，我還有發(fā)現(xiàn)……”筆者循聲望去，是智多星朱澤輝。“我發(fā)現(xiàn)前面兩組數(shù)的最大公因數(shù)都是它們的相差數(shù)。”

“噢？”出乎筆者意料，但仔細(xì)一看，果真如此。同學(xué)們也仿佛發(fā)現(xiàn)了新大陸，頓時(shí)睜大著好奇的雙眼。于是筆者引導(dǎo)大家說(shuō)：“看到這個(gè)發(fā)現(xiàn)，你們有什么疑問(wèn)嗎？”

“為什么它們的最大公因數(shù)就是它們的相差數(shù)？”

“是不是任意兩個(gè)數(shù)的相差數(shù)都是它們的最大公因數(shù)？”筆者又將“皮球”踢回給學(xué)生。

“老師，不是任意兩個(gè)數(shù)的相差數(shù)都是它們的最大公因數(shù)，大家看黑板上的1和49，它們的差是48，而最大公因數(shù)是1，還有有倍數(shù)的例子也能證明這個(gè)問(wèn)題?！?/p>

孩子們靜靜地盯著黑板上的兩組題，陷入了沉思。過(guò)了一會(huì)兒，數(shù)學(xué)課代表巫發(fā)陽(yáng)突然站起來(lái)說(shuō)：“這些數(shù)都是合數(shù)。”

“任意兩個(gè)合數(shù)都有這種現(xiàn)象嗎？”為了不使大家茫然，筆者寫下了“24和15”，說(shuō)：“這兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)，它們符合要求嗎？”

有反應(yīng)快的孩子一眼看出它們的最大公因數(shù)是3，而它們的差卻是9。“還是不對(duì)，究竟是怎樣的兩個(gè)數(shù)呢？難道是巧合？”我激將道。

“對(duì)了，它們的差不能比較小數(shù)大，因?yàn)闊o(wú)論如何一個(gè)數(shù)的因數(shù)不可能比自身大?！鼻窀邚?qiáng)又給大家?guī)?lái)了希望。

“24和42，它們的相差數(shù)是18，18也比24小，可大家找找，它倆的最大公因數(shù)是幾？”

“唉，是6?！焙⒆觽冇行┬箽饬?。

“既然是公因數(shù)，那既是較大數(shù)的因數(shù)，也是較小數(shù)的因數(shù)?！惫P者把線索提示給孩子們。

“我知道了，我知道了?！敝鞚奢x一臉興奮，“要滿足兩個(gè)條件，首先它們的差必須比較小數(shù)小，同時(shí)這個(gè)差既是較大數(shù)的因數(shù)，也是較小數(shù)的因數(shù)?！?/p>

于是筆者對(duì)大家說(shuō)：“是這樣嗎？大家看看這幾組數(shù)，符合這個(gè)要求嗎？誰(shuí)舉幾個(gè)例子驗(yàn)證一下。”

“72和75的差是3，它們的最大公因數(shù)也是3?！?/p>

“60和45的差是15，而15既是60的因數(shù)，又是45的因數(shù)，它們的最大公因數(shù)也正是15?！?/p>

嘩嘩嘩……教室里響起了熱烈的掌聲。

研究表明，健康與富有活力的學(xué)習(xí)活動(dòng)、獨(dú)立思考與合作交流的學(xué)習(xí)方式、自信與相互尊重的學(xué)習(xí)氛圍非常有利于學(xué)生非智力因素的發(fā)展。而在此中間的個(gè)體對(duì)問(wèn)題的探索雖然是一個(gè)艱苦的過(guò)程，但它更是一個(gè)享受的過(guò)程。課堂的生命力正是來(lái)自于學(xué)生對(duì)問(wèn)題的敏感、好奇，來(lái)自于對(duì)事件或事實(shí)的感受、體驗(yàn)，來(lái)自于情不自禁的、豐富活躍的猜想、假設(shè)、直覺，來(lái)自于不同觀點(diǎn)的碰撞、爭(zhēng)辯、啟迪、認(rèn)同，更來(lái)自于探究體驗(yàn)中的時(shí)而山重水“盡”、時(shí)而柳暗花明的驚險(xiǎn)和喜悅。 （作者單位：江西省贛縣城關(guān)第三小學(xué)）endprint