段桂花

摘 要： 通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)解題是一種重要的高等數(shù)學(xué)方法.本文通過(guò)具體例子體現(xiàn)構(gòu)造輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，同時(shí)對(duì)構(gòu)造輔助函數(shù)解決的問(wèn)題進(jìn)行歸納，并總結(jié)構(gòu)造輔助函數(shù)的步驟.

關(guān)鍵詞： 構(gòu)造輔助函數(shù) 高等數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)應(yīng)用

構(gòu)造函數(shù)思想是高等數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法，在高等數(shù)學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用，它屬于數(shù)學(xué)思想方法中的構(gòu)造.在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常運(yùn)用，但是如何構(gòu)造輔助函數(shù)，始終是一個(gè)難點(diǎn)，因此應(yīng)重視這種思想方法的引導(dǎo)和滲透，多歸納總結(jié).本文對(duì)高等數(shù)學(xué)中的幾類(lèi)問(wèn)題，使用構(gòu)造函數(shù)的方法求解，闡明了構(gòu)造的思想方法.

一、通過(guò)對(duì)所構(gòu)造輔助函數(shù)的研究，討論方程根的情況

構(gòu)造輔助函數(shù)用零點(diǎn)定理證明：若題設(shè)中僅有抽象函數(shù)連續(xù)的條件，或所給的方程是具體方程，此時(shí)應(yīng)考慮用零點(diǎn)定理.構(gòu)造輔助函數(shù)的方法是：通過(guò)移項(xiàng)，把方程的一端化為零，另一端即為所要構(gòu)造的輔助函數(shù)（若結(jié)論是含有x的等式，則把ξ換成x）.

例1：試證方程x=asinx+b（a>0，b>0）至少有一個(gè)正根，并且它不超過(guò)a+b.

分析：構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)f（x）=x-asinx-b，對(duì)其在[0，a+b]上使用零點(diǎn)定理.

證明：設(shè)f（x）=x-asin-b，顯然f（x）=x-asinx-b在[0，a+b]上連續(xù)，且f（0）=-b<0，f（a+b）=a[1-sin（a+b）]≥0.

當(dāng)sin（a+b）]=1時(shí)，f（a+b）=0，則a+b就是方程的一個(gè)根.

當(dāng)sin（a+b]<1時(shí)，f（a+b）=a[1-sin（a+b）]>0，此時(shí)f（0）與 f（a+b）異號(hào)，故由零點(diǎn)定理知，在（0，a+b）內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ，使得f（ξ）=0即ξ=asinξ+b.

故方程x=asinx+b（a>0，b>0）至少有一個(gè)根ξ，ξ∈（0，a+b）.

綜上所述，方程x=asinx+b（a>0，b>0）至少有一個(gè)正根，并且它不超過(guò)a+b.

對(duì)于具體的方程或含n的等式，若構(gòu)造的函數(shù)經(jīng)驗(yàn)證不符合零點(diǎn)定理，即用零點(diǎn)定理證明失效時(shí)，則改用羅爾定理.此時(shí)，需尋找該函數(shù)的原函數(shù)f（x）作為所構(gòu)造的輔助函數(shù).

例2：證明：若■+■+...+■=0，則至少存在x■∈（0，1），使得a■+a■x■+...+a■x■■=0.

分析：?jiǎn)栴}僅在于構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)f（x）=a■x+■x■+...+■x■，對(duì)其在[0，1]上使用羅爾定理.

證明：設(shè)f（x）=a■x+■x■+...+■x■，顯然f（0）=f（1）=0；且f（x）在[0，1]上連續(xù)，（0，1）上可導(dǎo)，由羅爾定理知，至少存在x■∈（0，1），使得f′（x■）=0，即a■+a■x■+...+a■x■■=0.

二、通過(guò)對(duì)所構(gòu)造輔助函數(shù)的研究，討論中間值的存在性

例3：設(shè)b>a>0，證明存在ξ∈（a，b）使得blna-alnb=（b-a）（lnξ-1）.

分析：要證中間值的存在性，顯然要用中值定理.關(guān)鍵是要構(gòu)造怎樣的一個(gè)輔助函數(shù)，對(duì)其應(yīng)用中值定理.

要湊出f（b）-f（a）的形式，把等式blna-alnb=（b-a）（lnξ-1）變形為■=lnξ-1，很顯然，要對(duì)函數(shù)■，■在[a，b]上應(yīng)用柯西中值定理.

證明：設(shè)f（x）=■，g（x）=■，顯然f（x），g（x）在[a，b]上滿(mǎn)足柯西中值定理的條件，所以ξ∈（a，b）存在使得■=■，

即■=■=lnξ-1，

故有blna-alnb=（b-a）（lnξ-1），ξ∈（a，b）.

三、通過(guò)對(duì)所構(gòu)造輔助函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論，證明恒等式或者不等式

例4證明：設(shè)n為正整數(shù)，求證：■

分析：由于ln（1+■）=ln（n+1）-lnn，因此可以在區(qū)間上[n，n+1]對(duì)lnx應(yīng)用拉格朗日中值定理，再利用中值間的性質(zhì)進(jìn)行證明.

證明：設(shè)f（x）=lnx，在[n，n+1]上，由拉格朗日中值定理知，？堝ξ∈（n，n+1），使得f′（ξ）=■，即■=ln（1+■）.

由于ξ∈（n，n+1），故有■<■<■，

從而有■

利用輔助函數(shù)證明有關(guān)命題時(shí)，關(guān)鍵是認(rèn)真分析，巧妙構(gòu)造適當(dāng)輔助函數(shù)，而恰當(dāng)?shù)剌o助函數(shù)要根據(jù)命題的結(jié)論的具體形式及有聯(lián)系的定理構(gòu)造.當(dāng)然，構(gòu)造輔助函數(shù)解題的技巧性還有很多方面，有待我們進(jìn)一步探索和總結(jié).

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