馮金華

[摘 要] 課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)提出了明確的要求，當(dāng)前對(duì)學(xué)科核心素養(yǎng)正進(jìn)行有效的研究. 將數(shù)學(xué)應(yīng)用與學(xué)科核心素養(yǎng)聯(lián)系起來，可以發(fā)現(xiàn)兩者之間存在著互相促進(jìn)、互相理解的作用. 建立兩者關(guān)系的理論理解，并在理論的基礎(chǔ)上積極實(shí)踐，可以促進(jìn)初中數(shù)學(xué)的有效教學(xué).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)應(yīng)用；數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)；有效教學(xué)

初中數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用，是基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）在課程目標(biāo)中提出的讓學(xué)生“初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力”的要求，同時(shí)從學(xué)生的知識(shí)構(gòu)建角度來看，通過數(shù)學(xué)應(yīng)用來深化對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，也是一條有效的途徑. 近兩年來，關(guān)于學(xué)科核心素養(yǎng)的討論方興未艾，筆者思考數(shù)字應(yīng)用與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)也有密切的關(guān)系. 因此，兩者如果放到一起思考，就可以讓初中數(shù)學(xué)教學(xué)有一個(gè)更為深刻的理解，對(duì)于打造高效課堂也有重要的幫助. 本文嘗試從這兩者結(jié)合的角度作一些闡述.

數(shù)學(xué)應(yīng)用與學(xué)科核心素養(yǎng)的

關(guān)系

從數(shù)學(xué)發(fā)展史的角度來看，當(dāng)今數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要特征就是數(shù)學(xué)應(yīng)用得到了長足的發(fā)展，今天的數(shù)學(xué)已經(jīng)不是純粹的數(shù)學(xué)本身了，數(shù)學(xué)已經(jīng)延伸到經(jīng)濟(jì)、軍事等各個(gè)領(lǐng)域，形成了相當(dāng)復(fù)雜的交叉學(xué)科. 而從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身來看，在初中階段強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)有著多么重要的作用，而這些作用又都指向數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)應(yīng)用的作用之一，是可以將學(xué)生所學(xué)知識(shí)的綜合性顯著體現(xiàn)出來. 而這又恰恰是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)所忽視的. 在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)“應(yīng)用”更多的是“應(yīng)用”數(shù)學(xué)知識(shí)來解題，這固然是數(shù)學(xué)應(yīng)用的內(nèi)容之一，但卻不是全部. 在課程改革之后，將數(shù)學(xué)應(yīng)用的視角進(jìn)一步擴(kuò)大與完善，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的最主要的場景就是數(shù)學(xué)問題的解決，而問題解決與習(xí)題解答顯然不是一回事. 因?yàn)閿?shù)學(xué)問題的解決，本質(zhì)上是一個(gè)引導(dǎo)學(xué)生在問題解決的過程中，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)、形成正確數(shù)學(xué)觀的過程，這就決定了數(shù)學(xué)問題的解決需要給學(xué)生提供更為起初的習(xí)題情境，需要學(xué)生更好地綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去判斷可能的思考方向，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)工具去解題，并在解題之后有一個(gè)充分的反思過程.

數(shù)學(xué)應(yīng)用的另一個(gè)作用，是可以進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)建構(gòu). 眾所周知，數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)不是簡單的概念記憶理解與數(shù)學(xué)規(guī)律在解題中的應(yīng)用，數(shù)學(xué)知識(shí)的有效建構(gòu)，應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生的原有知識(shí)相互作用，并在此過程中新舊知識(shí)形成有效的聯(lián)系結(jié)點(diǎn)，在新舊知識(shí)的聯(lián)系過程中，學(xué)生還會(huì)生出許多新的認(rèn)識(shí)，這些認(rèn)識(shí)又往往指向?qū)W習(xí)品質(zhì)，學(xué)習(xí)品質(zhì)的提高，無疑是初中數(shù)學(xué)教學(xué)所要高度關(guān)注的一件事情.

在上面所說的問題解決過程中，最終數(shù)學(xué)觀的形成與數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)有著密切的關(guān)系. 關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙對(duì)其維度有這樣的表述：一是理解數(shù)學(xué)文明的文化價(jià)值并體驗(yàn)數(shù)學(xué)真理的嚴(yán)謹(jǐn)性與精確性；二是用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決實(shí)際問題的能力（這一點(diǎn)基本上就是數(shù)學(xué)應(yīng)用的另一種闡述）；三是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中熱愛數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué).

由此可見，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有著密切的關(guān)系，在實(shí)際教學(xué)中從這兩個(gè)角度著手，并尋找它們之間的聯(lián)系點(diǎn)，可以讓數(shù)學(xué)有效教學(xué)有著更為堅(jiān)硬的基石.

基于數(shù)學(xué)應(yīng)用培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科

素養(yǎng)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際中，基于數(shù)學(xué)應(yīng)用去培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，是將兩者聯(lián)系起來的最直接的實(shí)踐途徑. 筆者在教“實(shí)際問題與一元二次方程”（人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)）時(shí)，對(duì)此作了一些嘗試. 闡述如下：

分析教材可以發(fā)現(xiàn)，其設(shè)計(jì)思路是通過數(shù)學(xué)探究來完成的，教材給出的探究內(nèi)容是：有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后有121人患了流感，每經(jīng)傳染中平均一人傳染了幾個(gè)人？

這是一個(gè)情境性、實(shí)際性非常強(qiáng)的問題，其中又明顯體現(xiàn)著一定的數(shù)學(xué)關(guān)系，但這個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系本身并不明顯，因此需要學(xué)生去探究. 教材上是以“設(shè)傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人”直接進(jìn)行分析的，然后給出了第一輪和第二輪所傳染的人數(shù)如何用x來表示，這樣就可以得到一個(gè)一元二次方程. 筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，用這樣的思路來解決問題，還是流失了部分營養(yǎng)，因?yàn)檫@樣的問題解決思路過于直接或者過于快速，直接就將正確的思路呈現(xiàn)在學(xué)生面前. 這顯然占用了學(xué)生猜想、試錯(cuò)的過程，不利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的真正認(rèn)識(shí)，也不利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升（別忘了張奠宙先生所說的“利用數(shù)學(xué)思想分析和解決實(shí)際問題的能力”）. 當(dāng)然，這也可以理解，作為教材的編寫，其不大可能將學(xué)生猜想與試錯(cuò)的內(nèi)容編寫到教材之中，因此教師在此處要拓寬教學(xué)思路，讓學(xué)生的思維真正集中到數(shù)學(xué)應(yīng)用的本質(zhì)上.

在實(shí)際教學(xué)中筆者做了這樣的努力：首先，讓學(xué)生審題后直接思考問題解決的途徑（實(shí)際上也就是判斷問題解決的方向）. 當(dāng)然，由于本課標(biāo)題的暗示，學(xué)生可以想到需要用一元二次方程來解決這個(gè)實(shí)際問題，但是一元二次方程怎么來，卻是一個(gè)關(guān)鍵. 其次，讓學(xué)生帶著用一元二次方程解決問題的思路，去判斷本問題中一次項(xiàng)與二次項(xiàng)應(yīng)當(dāng)分別如何產(chǎn)生（這是問題解決的關(guān)鍵，也是數(shù)學(xué)應(yīng)用從意識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的關(guān)鍵，自然也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的關(guān)鍵）. 在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，就需要讓學(xué)生明白流感傳染的基本過程：第一輪的傳染源是1人（也就是題目中說的“有一個(gè)人”），其傳染了x個(gè)人；第二輪的傳染源是（x+1）人，這（x+1）人能夠傳染x（1+x）人，于是總的人數(shù)就是1+x+x（1+x）人，從而可以列出方程.

經(jīng)過這樣的過程，學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決思路建立在對(duì)傳染過程的理解基礎(chǔ)上，而用未知數(shù)來表示每輪傳染過程中一個(gè)人傳染給x人，則是數(shù)學(xué)應(yīng)用的關(guān)鍵，是將數(shù)學(xué)知識(shí)與生活問題聯(lián)系起來的重要環(huán)節(jié). 在這個(gè)環(huán)節(jié)中，數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問題有了緊密的聯(lián)系，數(shù)學(xué)應(yīng)用的價(jià)值也就得到了充分體現(xiàn)，而運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)成功地去描述實(shí)際問題發(fā)生的過程，并利用一元二次方程去成功地完成問題的求解，這說明了數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題時(shí)的重要作用，這種作用一旦為學(xué)生所理解，學(xué)生感受到的就不是數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象難懂，而是數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值. 盡管我們說數(shù)學(xué)的價(jià)值并不完全在于應(yīng)用，但在初中階段建立這樣的認(rèn)識(shí)，還是有助于學(xué)生更好地完成數(shù)學(xué)理解，這顯然是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基本認(rèn)知.

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)促進(jìn)數(shù)學(xué)

應(yīng)用

事實(shí)上，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)本身也可以促進(jìn)數(shù)學(xué)應(yīng)用. 在筆者看來，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，更多的類似于數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)之后在學(xué)生的心中生成的關(guān)于數(shù)學(xué)的一些基本認(rèn)識(shí)，當(dāng)這些認(rèn)知符合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本特征時(shí)，我們就說學(xué)生已經(jīng)形成了這方面的核心素養(yǎng). 同時(shí)，學(xué)科核心素養(yǎng)又是超越具體的知識(shí)層面的，也就是說，在不同的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中所形成的數(shù)學(xué)認(rèn)知，最后終歸要統(tǒng)一到學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知、理解上，最終積淀下來的就是關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法與對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本情感，這是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)理解的重要維度. 因此，數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)反過來又像一汪清泉的泉眼，其可以促進(jìn)學(xué)生有效地完成數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)，自然也可以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與能力的培養(yǎng). 筆者在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中也進(jìn)行了這樣的實(shí)踐與總結(jié).

同樣如“實(shí)際問題與一元二次方程”的教學(xué)，在上面所舉的探究的例子中，教材的編排還有這樣一個(gè)問題：如果按照這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪傳染后共有多少人患流感？

對(duì)于這個(gè)問題的處理，筆者在實(shí)際教學(xué)中聽到兩種說法：一種說法是這樣的推理結(jié)果其實(shí)已經(jīng)超越了一元二次方程的范疇，因此不需要花太多的時(shí)間去進(jìn)行；另一種說法是這樣的，無非就是再花點(diǎn)時(shí)間按照同樣的邏輯去進(jìn)行推理，這沒有多大的價(jià)值，因此不需要花時(shí)間. 這兩種思路可謂殊途同歸，都認(rèn)為不需要花時(shí)間去做這個(gè)“無意義”的工作. 而在筆者看來，有意義或者無意義，關(guān)鍵是看教師建立在什么樣的視角上.

從數(shù)學(xué)應(yīng)用的角度來看，這一問題可以看作是上面實(shí)際問題分析與解決的深化，實(shí)際上可以鞏固學(xué)生此時(shí)形成的數(shù)學(xué)思維；而從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的角度來看，由于其涉及學(xué)生運(yùn)用已經(jīng)形成的思維去成功地解決問題的可能，也就是說可以在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感上收獲一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)認(rèn)同，因此這其實(shí)是一個(gè)很好地獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信、建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感與引導(dǎo)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)智慧，進(jìn)而讓學(xué)生喜歡上數(shù)學(xué)、熱愛上數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程. 如果這個(gè)過程能夠設(shè)計(jì)得當(dāng)，那對(duì)于深化學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)而言，有著極大的意義.

因此，基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的視角去理解數(shù)學(xué)教學(xué)，并更好地推進(jìn)數(shù)學(xué)應(yīng)用，應(yīng)當(dāng)成為初中數(shù)學(xué)教師的一種良好直覺，對(duì)于教材上的每一個(gè)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)，都要帶著這樣的思路去分析，這就可以促進(jìn)教師自身對(duì)教材設(shè)計(jì)的理解，從而實(shí)現(xiàn)有效教學(xué).