劉美

摘要：數(shù)學(xué)概念是所有數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心，是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論體系的基本單位，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一環(huán)節(jié)，是定理、公式、法則的出發(fā)點(diǎn)，又是解決問(wèn)題的落腳點(diǎn)。本文對(duì)中職生數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題進(jìn)行分類，并提出了概念教學(xué)的策略。

關(guān)鍵詞：中職生；數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)；教學(xué)對(duì)策

中圖分類號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-5727（2014）03-0071-03

數(shù)學(xué)概念是客觀事物中數(shù)與形的本質(zhì)屬性的反映，是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論體系的基本單位，但在整個(gè)理論體系中又不是孤立存在的。數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一環(huán)節(jié)，是邏輯導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理、公式、法則、通性通法的出發(fā)點(diǎn)，是培養(yǎng)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的核心點(diǎn)，又是解決問(wèn)題的落腳點(diǎn)。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握，對(duì)一些核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解。所以，數(shù)學(xué)概念是中職生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容之一。

但筆者通過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，中職學(xué)生在概念學(xué)習(xí)過(guò)程中存在心理認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)，并由此導(dǎo)致對(duì)數(shù)學(xué)概念理解不夠透徹，從而影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，并直接影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

中職生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問(wèn)題類別

在對(duì)概念學(xué)習(xí)的心理認(rèn)識(shí)上，有的學(xué)生不重視概念的形成過(guò)程，認(rèn)為只要記住由概念產(chǎn)生的公式、結(jié)論、法則，會(huì)用這些結(jié)論解題就可以了。也有學(xué)生雖然重視概念，但只是死記硬背，而沒(méi)有真正透徹理解，只機(jī)械地學(xué)習(xí)了零碎的片段。所以，總是有一部分學(xué)生感慨，為什么學(xué)新課的時(shí)候題目都會(huì)做，過(guò)了幾天就會(huì)忘記；或者概念都能背出來(lái)，但拿到題目后不能快速找到解題突破口和關(guān)鍵點(diǎn)。其主要原因是孤立地記某個(gè)概念或方法，沒(méi)有弄清概念的來(lái)龍去脈，更沒(méi)有將新的概念納入到原有的知識(shí)體系中，所以很容易遺忘。

在對(duì)數(shù)學(xué)概念的知識(shí)認(rèn)知上，學(xué)生主要存在以下幾個(gè)類型的問(wèn)題：（1）“模糊不清”型。數(shù)學(xué)中有很多容易混淆的知識(shí)點(diǎn)，如果學(xué)生不能真正理解透徹，每次遇到類似知識(shí)點(diǎn)都會(huì)混淆。比如，三角函數(shù)中由y=sin x的圖像變換至y=Asin（ωx+φ）的圖像，有多種方法可以選擇，學(xué)生對(duì)于先橫向壓縮變換再平移變化，和先橫向平移再橫向壓縮，這兩種方法總是混淆不清。又如，對(duì)于符號(hào)“”的理解，從初中單一的“絕對(duì)值”到高中的“距離”、“線段長(zhǎng)度”、“復(fù)數(shù)的?！薄ⅰ跋蛄康哪！币约啊皥D像中的f（x）”的理解等等。再如，在計(jì)數(shù)法中，相同小球和不同小球的分球問(wèn)題、信入信箱問(wèn)題、爭(zhēng)奪冠軍問(wèn)題等等。（2）“張冠李戴”型。在對(duì)概念的綜合應(yīng)用中，因?yàn)閷?duì)概念把握的不夠準(zhǔn)確，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“張冠李戴”現(xiàn)象。比如，在對(duì)數(shù)和指數(shù)運(yùn)算中，對(duì)于f（x+y）=f（x）·f（y）和f（x）+f（y）和的應(yīng)用。又如，在剛學(xué)習(xí)過(guò)等差和等比數(shù)列后，在做一些綜合題求通項(xiàng)或求和時(shí)，容易在不清楚是什么數(shù)列的前提下，隨便拿一個(gè)公式套用。（3）“割裂孤立”型。數(shù)學(xué)知識(shí)之間是有聯(lián)系的，有其內(nèi)在的知識(shí)體系，數(shù)學(xué)概念則是這條主線上的關(guān)鍵連接點(diǎn)。而中職學(xué)生往往機(jī)械地“會(huì)”某一種題型，并不能理解其前后之間的聯(lián)系。比如，對(duì)于不等式x-2+3x≤0，學(xué)生會(huì)根據(jù)分類討論求其解集。但若將題目變?yōu)椋阂阎坏仁絰-a+3x≤0的解集為{x|x≤-1}，求a的值，此時(shí)有的學(xué)生想繼續(xù)沿用原題的解法，但發(fā)現(xiàn)行不通。說(shuō)明學(xué)生對(duì)于不等式的解集與相應(yīng)方程之間沒(méi)有建立關(guān)系，僅僅是孤立地求解不等式或是方程。又如，含有n個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)為2n，這在開(kāi)始時(shí)并沒(méi)有給出嚴(yán)格的證明，但在學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理之后，利用賦值法得到C0n+C1n+C2n+…+Cnn=2n，就可以解釋子集個(gè)數(shù)為2n這一結(jié)論，從而建立知識(shí)之間的交叉聯(lián)系。再如，在學(xué)完拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程后，提出問(wèn)題：初中所學(xué)的二次函數(shù)y=ax2是我們高中所學(xué)的圓錐曲線嗎？學(xué)生先是一愣，后來(lái)才恍然大悟。

教學(xué)對(duì)策

教育心理學(xué)家布魯諾指出：獲得知識(shí)如果沒(méi)有完整的結(jié)構(gòu)將它聯(lián)系在一起，那是一個(gè)多半會(huì)被遺忘的知識(shí)，一串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促得可憐的壽命。因此，概念教學(xué)必須返璞歸真，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中既經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，又重視概念的同化過(guò)程。因此，在日常教學(xué)中，我們應(yīng)做到以下幾點(diǎn)。

在已“知”的前提下，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和積極的學(xué)習(xí)情感 教學(xué)是教師與學(xué)生的雙邊活動(dòng)，所以教師應(yīng)該在充分吃透教材的前提下，對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)情分析，了解學(xué)生已有的“知識(shí)儲(chǔ)備”，尋找新概念的生長(zhǎng)點(diǎn)和學(xué)生心理認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)，這一點(diǎn)至關(guān)重要。因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，往往是從原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，去認(rèn)識(shí)、理解新的概念。教學(xué)實(shí)踐表明，概念學(xué)習(xí)效果的好壞與學(xué)習(xí)者原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有很大的關(guān)系，同時(shí)教師在對(duì)學(xué)情充分了解的情況下，通過(guò)積極的情感投入，在很大程度上也能激發(fā)學(xué)生的情感體驗(yàn)，為課堂教學(xué)奠定情感基礎(chǔ)。

在感“知”的過(guò)程中，提供適切的感性材料，增加學(xué)生的認(rèn)知體驗(yàn) 數(shù)學(xué)概念是在具體到抽象的過(guò)程中形成的，而適切的、直觀的感性材料可以幫助學(xué)生形成鮮明而準(zhǔn)確的知覺(jué)表象，同時(shí)可以減輕學(xué)生從感知具體事物轉(zhuǎn)向理解抽象概念過(guò)程中的負(fù)擔(dān)。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)注重對(duì)教材的二次開(kāi)發(fā)，結(jié)合學(xué)生所學(xué)的專業(yè)，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)概念的直觀感性材料，比如通過(guò)實(shí)物、圖形、符號(hào)、模型、實(shí)例等所進(jìn)行的直觀活動(dòng)，借助學(xué)生已有的直觀經(jīng)驗(yàn)，喚起學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，以利于學(xué)生掌握所學(xué)的新概念。在為數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)感性材料時(shí)應(yīng)注意：一方面，提供的材料必須能反映數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，具備典型性，換句話說(shuō)就是有“數(shù)學(xué)味”，不能太花哨，不然會(huì)因?yàn)闊o(wú)關(guān)因素干擾本質(zhì)屬性的抽象概括。另一方面，在數(shù)量上，感性材料不能太少或太多。太少，學(xué)生對(duì)概念的感知不夠充分，難以做出充分的比較分析，也就無(wú)法從共性中感悟并提煉概念；太多無(wú)關(guān)屬性會(huì)得到不恰當(dāng)?shù)膹?qiáng)化而掩蓋了本質(zhì)屬性。因此，在教學(xué)中，為了豐富學(xué)生的感知體驗(yàn)，應(yīng)提供適切的感性材料，促使學(xué)生用眼觀察、動(dòng)腦分析、動(dòng)手做，在充分調(diào)動(dòng)已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上感知概念的同化過(guò)程，形成認(rèn)知體驗(yàn)。

在想“知”的前提下，讓學(xué)生在“說(shuō)”中概括數(shù)學(xué)概念 數(shù)學(xué)概念是從具體情境中抽象出來(lái)，最終又適用于一般情形的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。所以，從具體的感性材料中抽象和概括實(shí)例的共同屬性是掌握概念的前提和基礎(chǔ)，是概念形成和同化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。從感性材料的不斷加工、抽象和概括，最終上升為理性認(rèn)識(shí)，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，這需要一個(gè)過(guò)程，對(duì)學(xué)生而言是一個(gè)難點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個(gè)核心點(diǎn)。在已經(jīng)感知具體材料并結(jié)合自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)后，學(xué)生通常能“意會(huì)”材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)概念，但不能恰當(dāng)又全面地表達(dá)。這時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生不要怕說(shuō)錯(cuò)，即使說(shuō)錯(cuò)也是一種學(xué)習(xí)的體驗(yàn)，要大膽地說(shuō)出自己的想法。要在師生交流中不斷捕捉學(xué)生已經(jīng)能夠表達(dá)的信息，及時(shí)肯定與辨析，同時(shí)為學(xué)生搭建學(xué)習(xí)“腳手架”，適時(shí)的啟發(fā)、引導(dǎo)，讓學(xué)生在教師的鼓勵(lì)和引導(dǎo)下恰當(dāng)?shù)亍罢f(shuō)”出所“意會(huì)”的數(shù)學(xué)知識(shí)，逐步形成理性概括，完成對(duì)概念的初步建構(gòu)。教學(xué)實(shí)踐表明，如果學(xué)生能夠與教師共同經(jīng)歷概念的感知、抽象并完善過(guò)程，他就能不斷使新的數(shù)學(xué)概念在原有的知識(shí)體系中“生根”，在同化的過(guò)程中形成體系，在后續(xù)的概念理解和應(yīng)用上就更自如。

在辨“知”的過(guò)程中，利用正反例，完善對(duì)概念的認(rèn)知 在學(xué)生經(jīng)歷感性材料到理性思維后，形成標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，此時(shí)需要通過(guò)正例的強(qiáng)化來(lái)豐富概念，通過(guò)反例的辨析來(lái)“精確”概念。正例主要是反映概念的本質(zhì)屬性，分為原型和變式。反例是指不具有概念的本質(zhì)屬性或者是具有概念的部分屬性的實(shí)例，是容易與概念發(fā)生混淆的例子。教學(xué)實(shí)踐表明，一個(gè)正確的認(rèn)識(shí)需要經(jīng)過(guò)正反兩方面的比較和鑒別才能確立。在概念形成的初期階段，正例可以強(qiáng)化對(duì)概念本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)與理解，直至概念的形成。而能否舉出符合概念本質(zhì)屬性的實(shí)例，是檢查學(xué)生是否理解概念的方法之一。反例則在概念形成的后期階段起到了重要的作用，通過(guò)反例的辨析，不斷地對(duì)其本質(zhì)屬性進(jìn)行精確化，能夠強(qiáng)化正確的理解。

在復(fù)“知”的過(guò)程中，不斷地回歸、內(nèi)化數(shù)學(xué)概念 數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)貫穿在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程之中，需要通過(guò)課上、課后、下一次課上，不斷的循環(huán)復(fù)認(rèn)過(guò)程。在課上，經(jīng)歷概念的形成與鞏固，在課后，通過(guò)練習(xí)的優(yōu)化設(shè)置，遵循“螺旋上升”的原則，從概念中來(lái)，回歸到概念中去。在習(xí)題的設(shè)置上，應(yīng)多設(shè)置一些概念形成過(guò)程題，比如為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)概念，概念是怎樣形成的，用自己的語(yǔ)言描述概念，寫(xiě)出由概念產(chǎn)生了哪些可用的結(jié)論，在概念應(yīng)用中需注意什么，公式是如何推導(dǎo)并證明的。通過(guò)這樣開(kāi)放性習(xí)題的設(shè)置，學(xué)生才會(huì)去思考知識(shí)的來(lái)龍去脈。在不斷的思考中，建立知識(shí)間的聯(lián)系，從而在解題中，根據(jù)一個(gè)條件聯(lián)想到一系列的相關(guān)知識(shí)，進(jìn)而篩選對(duì)題目有用的結(jié)論，達(dá)到對(duì)概念的反復(fù)認(rèn)知，形成系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生在解題過(guò)程中，并不能完全記住數(shù)學(xué)概念的標(biāo)準(zhǔn)化語(yǔ)言，而是通過(guò)內(nèi)省的、自我組織的語(yǔ)言。如果學(xué)生能用轉(zhuǎn)化后的自我語(yǔ)言再現(xiàn)數(shù)學(xué)概念，才能真正理解該數(shù)學(xué)概念。所以，教師在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中應(yīng)給學(xué)生提供不斷回歸概念的時(shí)間和空間，不斷強(qiáng)化。

在會(huì)“知”的前提下，多角度、多方面地形成概念系或概念域 教學(xué)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這樣的情形，學(xué)生在學(xué)習(xí)了一個(gè)概念之后，具體應(yīng)用這個(gè)概念時(shí)往往不能準(zhǔn)確選擇和應(yīng)用，可能是因?yàn)闆](méi)有真正地理解概念，另一個(gè)可能的原因就是新的概念在學(xué)生個(gè)人的知識(shí)系統(tǒng)中沒(méi)有形成概念系或概念域，即在學(xué)生頭腦中沒(méi)有形成概念網(wǎng)絡(luò)，學(xué)生不能從多角度、多背景下去表征概念。因此，在教學(xué)中，應(yīng)圍繞某一個(gè)核心概念進(jìn)行多角度、多方面的變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于同一個(gè)概念的多元表征、準(zhǔn)確識(shí)別和應(yīng)用的能力。

總之，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的核心，是所有問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)，也是解決問(wèn)題的落腳點(diǎn)。要將課本上冰冷而又簡(jiǎn)潔的標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)論轉(zhuǎn)化為學(xué)生火熱的思考，需要一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程。因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)根據(jù)課標(biāo)的要求，圍繞核心概念，充分挖掘教材，注重學(xué)生的認(rèn)知體驗(yàn)。在了解學(xué)生已“知”的前提下組織感性材料；在共同感“知”中領(lǐng)悟材料的共性，去偽存真；在學(xué)生想“知”中概括提煉新的概念；在辨“知”中爭(zhēng)鳴，完善認(rèn)識(shí)；在復(fù)“知”中不斷回歸；最后，在會(huì)“知”中通過(guò)系列題組、變式，形成多元表征，形成概念系，最終上升為對(duì)概念的理性思維，形成完善的認(rèn)識(shí)。

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（責(zé)任編輯：謝良才）