魏思晴 趙繼源 陳麗霜

(廣西師范學院數(shù)科院 廣西南寧 530023)

數(shù)的計算是我國小學的重要教學內容，培養(yǎng)學生的計算能力也是我國小學數(shù)學的基本任務之一。小學階段扎實的運算基本功也為初高中的數(shù)學學習提供了良好的保障。因此，在小學階段掌握扎實的運算基本功是十分重要的。然而在實際操作中，學生常常會出現(xiàn)這樣那樣的錯誤。

為了了解當下小學生的實際運算狀況，筆者從南寧市某實驗小學的二至五年級中分別選取學優(yōu)生、中等生、學困生三個層次各兩名學生作為被試。每個年級編制兩套不同的試卷，分別為筆試試卷和口答試卷，并安排了部分重合的題目在相鄰年級的試卷中。試題按照從易到難的順序進行排列，題量較大，不要求被測試者全部做完，僅要求在規(guī)定的時間內做盡可能多的題目。筆試(心算)共10分鐘，口答(口算)共5分鐘。測試分為預測階段和實測階段。預測過后，根據(jù)被試的答卷及反饋情況，修改試卷部分過難試題，再進行實測。為了避免練習效應，預測和實測選取了不同的被試。實測由三個部分組成，被試需分別參加心算、口算和訪談三個步驟。其中心算題禁止在草稿紙上列豎式和借助任何計算工具，直接寫出答案?？谒泐}由主試人員向學生報題目，要求學生用最快速度直接說出答案，允許學生跳過其認為難的題。訪談是為了了解學生的家庭背景、學習習慣和思維方式等，并將之前做錯的題目要求其再做一次，并詢問當時做錯的原因及思考過程。

通過上述對小學二至五年級學生的口算心算能力的測試調查與訪談研究，對學生計算中常見的錯誤類型進行歸納總結并分析其原因，有針對性地提出了培養(yǎng)運算技能的一些教學建議和對策，以便教師采取有針對性的教學方式來提高學生的運算水平。

一、小學生口算心算方面常見的錯誤類型

(一)加減法進退位錯誤

在答卷中，各年級都發(fā)現(xiàn)許多加減法進退位錯誤。不應當進退位時做了進退位，如79－46=23;應當進退位時卻沒有做，如22－18=14;也有進退位的位數(shù)不正確，如1000－620=280等。

加減法進退位錯誤是本次調查中出現(xiàn)次數(shù)最多的錯誤類型，在各個年級均有分布，其出現(xiàn)的頻率和學生平時的成績成負相關，在學困生中尤為常見。一些學生由于平時運算訓練較少，短時記憶存在一定的缺陷，有時會忘記進退位，或重復進退位，導致此類錯誤發(fā)生。

(二)運算符號混淆錯誤

部分學生在做題過程中不能正確識別運算符號。有把加法當減法，如3.4+0.7=2.7;有把乘法當加法，如10×2=12等;有把減法當加法，如0.9－0.3=1.2;有把除法當乘法，如100÷10=1000。此類錯誤在混合運算中也有體現(xiàn)，如850－100×5=1350中，算完乘法后誤將減法做成加法。

這種錯誤主要出現(xiàn)在低年級學生的答卷中，在中等生的答卷中出現(xiàn)得更為普遍，隨著年級的升高錯誤逐漸減少。低年級學生對事物的感知粗糙，對數(shù)字和符號的感知不夠全面，缺乏整體性，也較少考慮符號的數(shù)學意義，僅憑通過視覺反射到大腦中的模糊印象去計算，因此頻繁地出現(xiàn)此類錯誤。一部分學生出現(xiàn)這種錯誤并不是因為“看錯”或者“粗心”，而是因為題中的數(shù)字之間存在某種倍數(shù)關系，或者運算之后能湊出整十整百的得數(shù)，使學生產生強烈的“湊整”傾向，想當然地進行錯誤的計算。雖然中等生對數(shù)字符號的感知印象不如學優(yōu)生深刻，但又比學困生更能敏銳地察覺題目中數(shù)字之間的某些“巧合關系”，在“湊整”意識的強烈干擾下更容易犯此類錯誤。

(三)基本加減乘除計算錯誤及其衍生錯誤

運算基礎薄弱的學生會產生基本加減運算的一些衍生錯誤。如81+18=88中，個位與十位分別錯誤計算8+1和1+8;又如7.5－3.4=4.3中，小數(shù)點后一位錯誤計算了0.5－0.4;而9.7－7=9中則因將7減在了小數(shù)位上而產生錯誤。此類錯誤也會出現(xiàn)在混合運算中，如35×2+210=270等。有些學生對乘法口訣記憶不清，會做出如4×7=36的結果來，由此也衍生出一些其他的錯誤，如兩位數(shù)乘一位數(shù)的計算中出現(xiàn)12×6=78是因為對個位2×6=12的記憶不清導致的。

此類型錯誤在口算中出現(xiàn)的頻率要高于心算，并且集中出現(xiàn)在低年級學困生中，在高年級學生及學優(yōu)生中很少發(fā)生。低年級學困生平時運算訓練少，無法達到自動化，口訣等識記性運算知識的使用依賴于從記憶中提取轉化。而這些知識在記憶、保存和提取三個環(huán)節(jié)都有可能出現(xiàn)偏差或是不完整，直接導致了運算出錯。經過了幾年訓練，高年級學生運算自動化程度較高，較少發(fā)生此類錯誤。

(四)與0有關的錯誤

低年級學生難以正確理解0的數(shù)學意義和乘法的概念，因此做錯與0有關的乘法。如0×4，多數(shù)二年級學生得出的答案是4。我們在訪談中著重詢問了學生計算此題的思路，學生認為0×4就是等于4，沒有為什么。我們引導學生回憶課本上首次提到乘法時的表述，即乘法是指將相同的數(shù)加起來的快捷運算，提問2×3是不是等于2+2+2，學生說是的。接著再問0×4，學生還是認為等于4，追問1×4等于多少，學生的答案也是4，并且認為0×4和1×4是相等的。因為二年級學生初學0和乘法的概念，僅靠機械記憶而無法體會本質，所以在實際運算時容易出錯。三年級及以上的學生在反復使用過程中對于0和乘法的概念已經有了一定程度的內化認識，避免了此類錯誤。

遇到較大數(shù)字，特別是整十整百的數(shù)字時學生容易多0或少0，如210÷7=3中答案少0而出錯。這樣的錯誤也體現(xiàn)在混合運算中，如450÷5+10=19中，在計算450÷5時錯算成9。此類錯誤由于對0的占位作用認識模糊，在確定數(shù)字的位數(shù)時產生障礙。這類錯誤在各層次學生中均有出現(xiàn)，數(shù)字末尾0的個數(shù)越多越容易出錯，少數(shù)優(yōu)等生對0的占位作用認識較為清晰，會有意識地排查此類錯誤。

(五)小數(shù)點位置錯誤

許多學生在辛苦地運算之后，無法將小數(shù)點打在答數(shù)的正確位置。如乘法1.2×0.8=9.6，又如除法9.9÷11=9。在一些學生的筆試答卷中發(fā)現(xiàn)，得數(shù)的不同位數(shù)之間出現(xiàn)多個小數(shù)點，可見學生在確認小數(shù)點具體位置時的游移不定。此類錯誤在學困生中更為常見，且乘除法的小數(shù)點位置的確定稍顯復雜，出錯比加減法更為普遍。五年級學生比四年級學生接觸小數(shù)的概念的時間更長，做小數(shù)運算更為熟練，因此更少出現(xiàn)這種錯誤。

(六)運算法則記憶錯誤

部分學生還會杜撰出一些不存在的運算法則。如除法是沒有結合律的，而在訪談中發(fā)現(xiàn)，有學生在計算5.6÷0.8+5.6÷0.2時用5.6÷(0.8+0.2)化簡計算得到錯誤答案。這種錯誤在高年級中分布更為常見，且在學優(yōu)生中出現(xiàn)得更多。因在熟悉使用運算法則的過程中能夠體會到簡化運算的便利，而又沒有理解運算法則的本質，僅靠模糊的記憶杜撰出和已有運算法則看起來很像的“假法則”，這是已學過知識的負遷移。學困生在處理同樣的題目時，常采用直接計算的方式而不去考慮化簡，因此少有“假法則”現(xiàn)象。

除了以上六種常見的運算錯誤之外，調查中還發(fā)現(xiàn)兩種現(xiàn)象值得關注:一是學生口算普遍表現(xiàn)得不如心算熟練，即便是同樣類型同樣難度的題，口算處理起來也會比心算更加費時，且正確率更低。大多數(shù)學生在訪談中表示口算由于看不見題目做起來更難。二是此次調查的試卷中安排了一些可使用一些運算法則來化簡運算的題目，然而在訪談中只有少部分學生提到使用運算法則來處理，多數(shù)學生仍是在心里列豎式來達到運算目的。雖然這兩種現(xiàn)象不是學生的常見錯誤，但卻影響著學生運算的正確率和速度，有一定的研究價值。

二、導致小學生口算心算常見錯誤的原因

小學生在運算中出錯不能簡單地歸因為“粗心”，其背后都有認知規(guī)律可循，我們將導致小學生運算出錯的原因歸為以下幾點。

(一)運算基本技能自動化程度低

有些學生在測試時連最簡單的加減法和表內乘除法都無法完全做對，而在訪談中給其充足的時間讓其再做，大部分學生又是能做對的。這說明學生并不是真的不知道這些基本運算事實，時而出錯是由于基本運算技能不夠扎實導致的。由于訓練不足，學生對于基本運算事實以及運算的程序性知識不夠熟練，運算的自動化程度不高，在沒有壓力的情況下可以慢慢地推出結果，一旦在時間緊迫題量大的測試環(huán)境中，低自動化的運算技能必然限制了運算速度，嚴重影響了運算的正確率。

(二)運算法則模糊不清

許多法則可用于簡化運算，節(jié)約思維。在混合運算中，一旦學生對種類繁多的運算法則缺乏理解，記憶模糊、無法靈活運用，就容易誘發(fā)錯誤。有的學生明顯受到運算法則學習的負遷移，被思維定勢強烈干擾，沒有考察清楚題目而進行想當然的運算。比如除法是沒有結合律的，而在實際使用的時候卻經常被杜撰出來，其內在原因是學生未能真正理解運算法則的數(shù)學含義產生了負遷移。

(三)對運算的本質理解存在障礙

對運算的本質理解存在障礙也是導致運算出錯的主要原因之一，例如上文提到的“0×4等于幾”，由于對乘法運算的本質理解存在障礙，因而大多數(shù)二年級學生無法做對。雖然這道題不是表內乘法，但若是掌握了乘法的本質時正確答案是不難得出的。這道題的高錯誤率和許多基本運算出錯的內在原因是學生并不理解運算的本質是什么，對運算口訣僅是機械的記憶和盲目的使用，在記憶模糊或者有漏洞的時候，無法通過運算間的相互關系自行推導出正確的結果，就造成此類錯誤頻繁出現(xiàn)。

(四)短時記憶缺陷

在運算的過程中，在大腦中需要暫時存儲和提取先前已經進行過的運算步驟和結果。學生短時存儲和提取中間步驟不完整，在進行接下來的步驟時就很容易受到上一個步驟的干擾，難以不重、不漏、不亂地進行接下來的運算步驟。這種短時記憶缺陷導致的運算錯誤也是混合運算頻繁出錯的最主要的原因。

三、提高小學生計算能力的教學建議

(一)加強基本運算的訓練，提高運算自動化程度

扎實的運算基本功是提高運算能力的基本前提，學生運算基本功不扎實是由于運算的自動化程度不高造成的。如果基本運算尚不能達到自動化的程度，而是要在做題的過程中才回憶和推導，不僅不利于運算速度的提升，也很容易造成運算錯誤。基本運算必須要達到不假思索立刻算出的熟練程度才能保證復雜運算的正確率。在教學中，應對學生的基本運算多加訓練以達到自動化。

(二)重視對運算法則和原理的解說

如果學生不能理解運算法則和原理，而是單純依靠機械記憶和模仿計算過程，那么很難真正領會運算本質。如此一來學習過程枯燥，記憶量過大，且理解片面而難以靈活運用，一旦公式法則或是運算程序出現(xiàn)記憶錯誤，必然導致運算出錯。在教學中必須重視對運算法則和原理的解說，讓學生明白這些運算法則是怎么得到的、意味著什么、在哪些條件下才能使用，這樣才能讓學生切實掌握并自如使用。

(三)加強運算記憶的訓練

在復雜運算的過程中，記憶很大程度上也參與其中。這涉及長期記憶，即把學過的運算知識提取出來使用;也涉及短時記憶，即儲存并提取已做過的運算步驟和中間結果。學生的長期記憶缺陷容易使運算知識、定理、法則記憶不牢，而導致計算方法和策略的錯誤，而短期記憶的不足也頻頻導致計算步驟之間的互相干擾，造成步驟的重復、遺漏和錯位。教師在教學過程中應加強運算記憶的訓練，激發(fā)學生的大腦，促使其長期記憶和短時記憶都有所增強。

(四)提高“聽覺—動作”統(tǒng)和能力

在測試中發(fā)現(xiàn)，用口算形式呈現(xiàn)的運算，學生無論是反應速度還是正確率都要低于心算。在訪談中大多數(shù)學生也表示因為無法看見題目所以做起來稍顯困難。這是由于學生無法很好地協(xié)調聽覺與思維的關系。視覺信息的傳達具有直觀性，而完整地接收聽覺信息則需要集中更高的注意力，且在信息轉化的過程中也容易出現(xiàn)更多的障礙。在實際教學中需要加強聽覺訓練，使學生將聽覺信息也能良好地轉化，以提升口算能力。

(五)加強簡便運算的訓練，提高學生運算速度

在測試中我們安排了許多可以運用簡便算法快速計算得出的題，如25×12，熟悉簡便算法的學生能很快得出25×12=25×4×3=100×3=300，從而快速得出正確答案。而測試過程中發(fā)現(xiàn)只有少數(shù)學生能夠熟練利用簡便算法來簡化運算，多數(shù)學生的計算過程過于機械，難以發(fā)覺題目中的隱藏信息。簡便算法對學生思維訓練、提高正確率和運算速度都是大為有益，對節(jié)約考試時間有著非常重大的作用，因此需要在教學中注意訓練學生簡化運算的能力。

小學生處在為數(shù)學學習打基礎的重要階段，運算是小學階段主要的數(shù)學學習任務，因為學生年紀小，注意力分散，認知水平不高，會出現(xiàn)各種錯誤，需要教師及時找準錯誤生成的原因，對癥下藥，通過合理的訓練規(guī)避這些錯誤，才能提高學生的運算技能，為中學的數(shù)學學習打下堅實的基礎。

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