郭空明 徐亞蘭

摘要：“電路”和“振動(dòng)力學(xué)”均為機(jī)械類專業(yè)的核心課程。這兩大類課程從數(shù)學(xué)概念上存在許多相似性。結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以課程中一些概念的數(shù)學(xué)相似性為例，對(duì)這兩門(mén)課的類比教學(xué)進(jìn)行了探索，并在教學(xué)中采用類比教學(xué)方法，發(fā)現(xiàn)這種方法不但可以提升教學(xué)效果，而且可以使學(xué)生的理解提升到數(shù)學(xué)層面上，從而使其知識(shí)的深度和廣度都得到加強(qiáng)。

關(guān)鍵詞：教學(xué)方法;電路;振動(dòng)力學(xué);類比

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-0079（2014）33-0054-02

“電路”與“振動(dòng)力學(xué)”是絕大多數(shù)機(jī)械類專業(yè)的核心課程。其中，“電路”課程包括靜態(tài)電路和動(dòng)態(tài)電路兩部分，即狀態(tài)不隨時(shí)間變化的電路和狀態(tài)隨時(shí)間變化的電路。力學(xué)類課程也分為靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)兩部分，即狀態(tài)不隨時(shí)間變化的力學(xué)系統(tǒng)和狀態(tài)隨時(shí)間變化的力學(xué)系統(tǒng)。與靜力學(xué)學(xué)科如“材料力學(xué)”相比，“振動(dòng)力學(xué)”由于考慮了系統(tǒng)的慣性，系統(tǒng)的位移、速度等都是隨時(shí)間變化的，因而是一門(mén)動(dòng)力學(xué)學(xué)科。

在動(dòng)態(tài)電路和振動(dòng)力學(xué)中，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都是以時(shí)間為變量的微分方程。對(duì)于離散系統(tǒng)（集總參數(shù)電路、單自由度及多自由度力學(xué)系統(tǒng)），方程為常微分方程或常微分方程組，對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)（分布參數(shù)電路、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)系統(tǒng)），由于系統(tǒng)的狀態(tài)不僅與時(shí)間有關(guān)，還與空間有關(guān)，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型滿足偏微分方程，即方程中既有對(duì)時(shí)間求導(dǎo)項(xiàng)，又有對(duì)空間求導(dǎo)項(xiàng)。所以，“電路”與“振動(dòng)力學(xué)”的許多概念從數(shù)學(xué)原理上都是相通的，目前已有一些學(xué)者提出了這一點(diǎn)。[1，2]

由于機(jī)械類學(xué)生對(duì)微分方程的知識(shí)僅在“微積分”課程中有一些粗淺認(rèn)識(shí)，因此這兩門(mén)課對(duì)其而言具有一定的難度。由于學(xué)生要先后學(xué)習(xí)這兩門(mén)課（一般是先學(xué)習(xí)“電路”，再學(xué)習(xí)“振動(dòng)力學(xué)”），若在后一門(mén)課程的教學(xué)中使用前一門(mén)課程的概念進(jìn)行類比，可以使學(xué)生觸類旁通，一方面更容易接受新課程的內(nèi)容，另一方面也深化了對(duì)物理概念背后數(shù)學(xué)原理的認(rèn)識(shí)。筆者在“振動(dòng)力學(xué)”課程中將概念與“電路”進(jìn)行類比顯著提升了教學(xué)效果。下面針對(duì)這兩門(mén)課的可類比性，試舉幾例。

一、回路電流法標(biāo)準(zhǔn)形式與剛度矩陣的類比

回路電流法是一種求解電阻電路的方法，這種方法雖然一般應(yīng)用于靜態(tài)電路（如果引入阻抗的概念，也可以應(yīng)用于動(dòng)態(tài)電路穩(wěn)態(tài)分析），但是由于“振動(dòng)力學(xué)”中剛度矩陣的建立實(shí)際上也是基于靜力學(xué)原理的，所以從下文可以看出，這兩種方法有一定的相似性。

首先介紹回路電流法。對(duì)于具有n個(gè)獨(dú)立回路的“電路”，回路電流法的標(biāo)準(zhǔn)形式為[3]：

寫(xiě)成矩陣形式則為：

其中：

（1）

式（1）中，對(duì)角線上的元素為各回路的自電阻，總為正值。自電阻的物理意義為：某一回路有單位電流流過(guò)時(shí)，單位電流在該回路產(chǎn)生的電壓。非對(duì)角元素為各回路之間的互電阻，若流過(guò)互電阻的兩個(gè)回路電流方向相同，則此互電阻為正，否則為負(fù)?；ル娮璧奈锢硪饬x為：某一回路流過(guò)單位電流時(shí)，該單位電流在另一回路產(chǎn)生的電壓。

而振動(dòng)力學(xué)中，具有n個(gè)獨(dú)立自由度的力學(xué)系統(tǒng)，其剛度矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式為[4]：

（2）

式（2）中，對(duì)角線上的元素為在某一自由度施加單位力時(shí)該自由度產(chǎn)生的位移，顯然這個(gè)值總為正值。非對(duì)角元素為在某一自由度施加單位力時(shí)，另一自由度產(chǎn)生的位移，若位移與力的方向相同，則為正值，反之為負(fù)。

通過(guò)對(duì)公式（1）和（2）形式上的比較和物理意義的解釋，可以看出這兩個(gè)矩陣在數(shù)學(xué)形式上相同，物理概念上相似。顯然，此時(shí)電路中的獨(dú)立回路可以與力學(xué)中的獨(dú)立自由度進(jìn)行類比，此時(shí)電流對(duì)應(yīng)力學(xué)中的力，電壓對(duì)應(yīng)力學(xué)中的位移。因此，在學(xué)生先修過(guò)“電路”的情況下，在“振動(dòng)力學(xué)”的教學(xué)中可以通過(guò)類比的方法使學(xué)生迅速掌握剛度矩陣的建立方法以及理解其本質(zhì)，這樣可以顯著提高教學(xué)效率。

二、二階電路零輸入響應(yīng)與單自由度阻尼自由振動(dòng)的類比

力學(xué)中的單自由度系統(tǒng)需要用二階微分方程描述，二階電路亦然。因此兩者具備可類比性。限于篇幅，這里只考慮系統(tǒng)模型為齊次微分方程的情況，也就是電路系統(tǒng)和力學(xué)系統(tǒng)都不存在激勵(lì)，分別對(duì)應(yīng)二階電路的零輸入響應(yīng)和單自由度系統(tǒng)的阻尼自由振動(dòng)。

首先考慮電路系統(tǒng)。RLC串聯(lián)振蕩電路為典型二階電路，設(shè)回路中電流為i，為了更好地從形式上與振動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行比較，將電流寫(xiě)成電量q對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，即以電量q為基本變量，則其滿足方程（3） [3]：

（3）

而對(duì)于有阻尼單自由度系統(tǒng)，其位移x滿足方程（4）：

（4）

顯然方程（3）和（4）具有數(shù)學(xué)形式上的相似性?？梢钥闯觯舴謩e以電路的電流和單自由度系統(tǒng)的為位移為變量，則電路的電感對(duì)應(yīng)于力學(xué)系統(tǒng)的質(zhì)量，電路的電阻對(duì)應(yīng)于力學(xué)系統(tǒng)的阻尼器，電路電容的倒數(shù)對(duì)應(yīng)于力學(xué)系統(tǒng)的剛度。

對(duì)于電路系統(tǒng)，振蕩的原因在于電感存儲(chǔ)的磁能與電容存儲(chǔ)的電能互相交換，而電阻起耗散能量的作用。對(duì)于力學(xué)系統(tǒng)，振動(dòng)的原因在于質(zhì)量擁有的動(dòng)能與彈簧存儲(chǔ)的彈性勢(shì)能互相交換，而阻尼器起耗散能量的作用。從表1中可以清楚地看出兩種系統(tǒng)中存在的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

表1 二階電路與單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的各物理量類比

二階

電路 電量q 電流 磁能 電能 電阻功率

固有頻率

單自由度振動(dòng)系統(tǒng) 位移x 速度 動(dòng)能 勢(shì)能 阻尼單位時(shí)間內(nèi)耗能 固有頻率

因此，在處理二階電路和單自由度振動(dòng)時(shí)，有很多方法的本質(zhì)都是相同的。如求解電路任意激勵(lì)下響應(yīng)的卷積積分法和求解單自由度系統(tǒng)在任意激勵(lì)下響應(yīng)的杜哈梅積分法、求解簡(jiǎn)諧激勵(lì)下電路穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相量法以及求解簡(jiǎn)諧激勵(lì)下單自由度系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)指數(shù)法，等等。在教學(xué)中，通過(guò)建立類比可以使學(xué)生迅速理解相關(guān)概念、掌握相關(guān)方法，從而達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。

三、均勻傳輸線與桿的縱向振動(dòng)的類比

由于許多機(jī)械類學(xué)科并未開(kāi)設(shè)“數(shù)學(xué)物理方程”課程，在“微積分”課程中也未有提及這部分內(nèi)容，因此由偏微分方程描述的連續(xù)系統(tǒng)對(duì)于學(xué)生而言一直是最大的難點(diǎn)。電路中的均勻傳輸線和振動(dòng)力學(xué)中連續(xù)介質(zhì)的振動(dòng)均由偏微分方程描述，其中，無(wú)損耗傳輸線和桿的縱向振動(dòng)具有數(shù)學(xué)上的相似性，均為一維波動(dòng)方程。

下面首先考慮無(wú)損耗均勻傳輸線。設(shè)無(wú)損耗均勻傳輸線單位長(zhǎng)度電感、電容分別為L(zhǎng)0和C0，則其電壓、電流的變化規(guī)律一般寫(xiě)成如下的偏微分方程[3]：

（5）

（6）

式（5）和（6）可以整理為標(biāo)準(zhǔn)一維波動(dòng)方程的形式。將式（5）對(duì)空間尺度x求偏導(dǎo)，可得：

（7）

式（6）對(duì)時(shí)間t求偏導(dǎo)并乘以L0，可得：

（8）

式（7）和（8）相減，可得：

（9）

而對(duì)于密度為ρ、彈性模量為E的等截面直桿，其縱向位移χ滿足偏微分方程：

（10）

對(duì)比（9）和（10）可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)損耗均勻傳輸線和桿的縱向振動(dòng)在數(shù)學(xué)模型上是一致的，均為一維波動(dòng)方程。（9）和（10）右端項(xiàng)系數(shù)的平方根分別為電壓的相速度和縱波在桿內(nèi)傳播的速度。這兩個(gè)方程均可以使用經(jīng)典的分離變量法進(jìn)行求解。在教學(xué)中，通過(guò)兩者的類比歸納總結(jié)出一維波動(dòng)方程的普遍性質(zhì)和求解方法不但可以使學(xué)生迅速掌握繁雜的數(shù)學(xué)公式，而且使學(xué)生對(duì)公式的認(rèn)識(shí)提高到一個(gè)具有普遍意義的層面。

四、結(jié)論

本文針對(duì)“電路”和“振動(dòng)力學(xué)”中數(shù)學(xué)原理的相似性，提出了類比教學(xué)方法的概念。通過(guò)在課堂上引入類比教學(xué)的方法，首先可以使學(xué)生基于舊知識(shí)迅速掌握新知識(shí)，其次可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)新課程時(shí)對(duì)已修課程的知識(shí)進(jìn)行鞏固和深化理解，最后還可以使學(xué)生對(duì)物理概念的認(rèn)識(shí)升華到數(shù)學(xué)原理的層面。從宏觀層面，類比教學(xué)方法可以優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，避免相似數(shù)學(xué)原理在不同課程中的重復(fù)講解，可以使學(xué)生對(duì)廣泛知識(shí)的認(rèn)知水平得到提高，也會(huì)提升工科類學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)。類比教學(xué)方法不僅適用于文中提到的兩門(mén)課程，也適用于所有具有相同或相似數(shù)學(xué)概念的課程，因此具有巨大的推廣價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1]梁立孚.飛行器結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的幾個(gè)問(wèn)題[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2010.

[2]Preumont.Mechatronics：Dynamics of Electromechanical and Piezoelectric Systems[M].Springer，2006.

[3]邱關(guān)源.電路[M].第五版.北京：高等教育出版社，2005.

[4]劉延柱.振動(dòng)力學(xué)[M].第二版.北京：高等教育出版社，2011.

（責(zé)任編輯：王祝萍）