于慧 劉勇

摘 要：美國學(xué)者B.R.蓋爾鮑姆等人曾指出：“一個(gè)數(shù)學(xué)問題用一個(gè)反例予以解決，給人的刺激猶如一出好的戲劇?！边@個(gè)比喻，形象地說明了“反例”。在教學(xué)中恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用反例可以幫助學(xué)生全面、準(zhǔn)確地理解高等數(shù)學(xué)中的一些概念及定理，對學(xué)生理解概念、糾正錯(cuò)誤、開拓思維、掌握定理起著很大的作用。

關(guān)鍵詞：反例；高等數(shù)學(xué)；教學(xué)；應(yīng)用

回顧數(shù)學(xué)的發(fā)展史，反例具有重要的地位，重要的反例往往會成為數(shù)學(xué)殿堂的基石。如在19世紀(jì)以前，數(shù)學(xué)界長期認(rèn)為連續(xù)函數(shù)除個(gè)別點(diǎn)外，總是處處可導(dǎo)。但是，后來數(shù)學(xué)家們創(chuàng)造出了很多反例，使他們清醒地認(rèn)識到了分析基礎(chǔ)嚴(yán)格化的必要性和重要性，推動了微積分理論的發(fā)展。本文將根據(jù)高等數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)情況，結(jié)合作者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，闡述反例在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

一、利用反例加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解

在講數(shù)列極限的定義時(shí)，由于概念比較抽象，學(xué)生很難全面掌握。這時(shí)不妨給出表面相似而實(shí)質(zhì)卻根本不同的反例進(jìn)行區(qū)別和判斷，從而使學(xué)生真正掌握概念的實(shí)質(zhì)。

例1：判斷以下兩個(gè)敘述是否與極限的定義等價(jià)。

（1）有無窮多個(gè)ε>0，對每一個(gè)ε，存在N（ε），當(dāng)n>N時(shí)，有|an-a|<ε；

（2）對任意正數(shù)ε，有無窮多個(gè)an，使|an-a|<ε。

敘述（1）忽略了ε的最本質(zhì)的屬性任意小的正數(shù)。教學(xué)中可舉出反例{an}：an=1+（-1）n加以說明。

敘述（2）對任意正數(shù)ε，雖然有無窮多個(gè)an，使|an-a|<ε成立，但它忽視了對每個(gè)ε>0，都必須存在某個(gè)自然數(shù)N，即數(shù)列{an}的某一項(xiàng)aN，從項(xiàng)aN以后的所有項(xiàng)都必須滿足|an-a|<ε?？膳e出反例{an}={1，■，1，■，1，■，…，1，■，…}加以說明。

因此，這兩個(gè)敘述都與數(shù)列極限的定義不等價(jià)。通過反例，從反面進(jìn)一步深刻理解了數(shù)列極限定義中的ε與N在定義中的作用與意義和要求，從而理解和掌握定義的實(shí)質(zhì)。

例2：為確定連續(xù)、可導(dǎo)、有連續(xù)導(dǎo)數(shù)三個(gè)概念，可舉出以下四個(gè)問題。

（1）f（x）在x=x0處可導(dǎo)，則f（x）在x=x0處是否連續(xù)？

（2）f（x）在x=x0處連續(xù)，則f（x）在x=x0處是否可導(dǎo)？

（3）f（x）在x=x0處可導(dǎo)，則f（x）在x=x0處是否有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)？

（4）f（x）在x=x0處可導(dǎo)，則f（x）在x=x0的鄰域內(nèi)是否連續(xù)？

對（1）的回答是肯定的。對（2）（3）（4）回答是否定的，要說明原因，只需舉出反例即可。

對問題（2）可考慮反例：f（x）=|x|在x=x0處連續(xù)但不可導(dǎo)。

對問題（3）可考慮反例：f（x）=x2sin■，x≠00，x=0，在x=0處可導(dǎo)但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。

對問題（4）可考慮反例：f（x）=x2，x為有理數(shù)0，x為無理數(shù)，f（x）在x=0處可導(dǎo)，但在0點(diǎn)任何鄰域內(nèi)，除0點(diǎn)外都不連續(xù)。

例3：在講無窮大量與無界函數(shù)時(shí)，由于兩個(gè)概念相近，學(xué)生容易混淆，這時(shí)可利用反例：f（x）=ncosx讓學(xué)生認(rèn)識到無窮大量必是無界量，但無界量不一定是無窮大量。

二、利用反例幫助學(xué)生理解定理的條件與結(jié)論

如學(xué)習(xí)羅爾定理時(shí)，可舉以下例子。

例4：設(shè)函數(shù)f（x）滿足下列三個(gè)條件：

（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間內(nèi)（a，b）可導(dǎo)；

（3）在端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b），則至少有一點(diǎn)ξ∈（a，b），使f′（ξ）=0。

羅爾定理的條件是充分條件，不是必要條件。如果三個(gè)條件滿足，結(jié)論一定成立；否則，結(jié)論可能成立，也可能不成立。

f（x）=x，0≤x<10，x=1在[0，1]上不滿足條件（1），在（0，1）上也不存在點(diǎn)ξ，使f′（ξ）=0；

f（x）=|x|在[-1，1]上不滿足條件（2），在（-1，1）上也不存在點(diǎn)ξ，使f′（ξ）=0；

f（x）=x在[0，1]上不滿足條件（3），在（0，1）上也不存在點(diǎn)ξ，使f′（ξ）=0。

以上三例是不滿足羅爾定理三個(gè)條件之一，結(jié)論不成立的反例。

對于不全滿足三個(gè)條件但能找出導(dǎo)數(shù)為零的例子看下面的反例。

f（x）=x2在[-1，2]上不滿足條件（3），在（1，2）上也存在點(diǎn)ξ，使f′（ξ）=0。

從上述的舉例可以看出，深入挖掘反例功能，并在教學(xué)中恰當(dāng)運(yùn)用，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，糾正和辨析錯(cuò)誤認(rèn)識，使學(xué)生的創(chuàng)新思維能力得到發(fā)展。

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