何竹峰

摘 要：高中數(shù)學(xué)與義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)最大的區(qū)別，就在于學(xué)生要在更短的時(shí)間內(nèi)習(xí)得更多的數(shù)學(xué)內(nèi)容，這種挑戰(zhàn)首先是數(shù)學(xué)語(yǔ)言上的. 從集合到函數(shù)，從立體幾何到解析幾何，從統(tǒng)計(jì)到概率，一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)概念背后包含著相當(dāng)豐富的數(shù)學(xué)理解，缺乏了數(shù)學(xué)語(yǔ)言，這種理解是難以發(fā)生的.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)語(yǔ)言；學(xué)習(xí)困難；原因

對(duì)于相當(dāng)一部分學(xué)生而言，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都是不小的困難. 究其原因，教師的視角往往鎖定在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)與理解上，尤其喜歡從學(xué)生解題的角度去分析學(xué)生哪個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)掌握不到位，哪種數(shù)學(xué)能力沒(méi)有形成等. 對(duì)于一部分學(xué)生而言，這樣的分析是有效的，但對(duì)于更多的學(xué)生而言，這樣的分析往往是片面甚至是無(wú)效的，教學(xué)實(shí)踐中教師百般努力而學(xué)困生頑強(qiáng)存在的現(xiàn)象，或是這一判斷的最好證明. 那問(wèn)題究竟出現(xiàn)在哪里呢？

筆者以為，數(shù)學(xué)同行們可能忽略了一個(gè)更為根本的問(wèn)題，那就是學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言能力薄弱的問(wèn)題.

這里所說(shuō)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，是指表達(dá)數(shù)學(xué)思想與思維的語(yǔ)言. 作為數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)明顯的語(yǔ)言，其與學(xué)生所熟悉的生活語(yǔ)言是不一樣的. 這里不妨先用一點(diǎn)篇幅來(lái)理解一下二者的區(qū)別與聯(lián)系：學(xué)生在生活中往往能夠順利地與他人交流，一個(gè)重要的原因就是別人說(shuō)的他能聽(tīng)得懂，這種平常不過(guò)的互動(dòng)背后卻隱藏著一個(gè)重要的認(rèn)識(shí)，那就是對(duì)話(huà)雙方的語(yǔ)言是共通的. 而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生很多時(shí)候可能就聽(tīng)不懂?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言了.這意味著什么？意味著學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上無(wú)法有效輸入教師輸出的數(shù)學(xué)信息，這也意味著學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一道關(guān)口上就出了問(wèn)題，數(shù)學(xué)又怎么可能學(xué)得好呢？形成這一認(rèn)識(shí)之后，筆者覺(jué)得首先就必須梳理一下當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)語(yǔ)言的一些基本問(wèn)題，以弄清高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的一個(gè)重要原因.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)現(xiàn)狀

客觀地說(shuō)，數(shù)學(xué)語(yǔ)言幾乎從來(lái)沒(méi)有成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容，這是有著客觀的原因的. 眾所周知，高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)的一個(gè)明顯不同點(diǎn)是，其內(nèi)容繁雜且十分抽象，而高中學(xué)習(xí)時(shí)間又是相對(duì)較短的（高中階段的內(nèi)容實(shí)際上都在高一高二兩個(gè)學(xué)段完成）. 這兩個(gè)因素綜合作用的結(jié)果就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言難以納入教師的視野. 在這樣的教學(xué)范式中，教師關(guān)注的是教學(xué)任務(wù)（主要是數(shù)學(xué)知識(shí)傳授）的完成，學(xué)生關(guān)注的是自己解題能力的形成. 又由于常用的重復(fù)訓(xùn)練甚至是題海戰(zhàn)術(shù)，確實(shí)能夠讓絕大多數(shù)學(xué)生一定程度上“讀懂”數(shù)學(xué)語(yǔ)言（實(shí)際上是重復(fù)訓(xùn)練后的某種意識(shí)），如學(xué)生在遇到集合、函數(shù)、數(shù)列等概念時(shí)，往往也能大概地理解其含義，并根據(jù)平常訓(xùn)練的思維來(lái)完成一些問(wèn)題的解決.

教師的忽視與學(xué)生的無(wú)意識(shí)，使得數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)在高中數(shù)學(xué)課堂上難覓蹤影. 事實(shí)上，這一現(xiàn)象早就引起了有識(shí)之士的注意，有人結(jié)合十多年前的一則高考題做過(guò)分析，該題是這樣的：

如圖1所示，為一臺(tái)冷軋機(jī)的示意圖. 冷軋機(jī)由若干對(duì)軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過(guò)各對(duì)軋輥逐步減薄后輸出. （1）輸入帶鋼的厚度為α，輸出帶鋼的厚度為β，若每對(duì)軋輥的減薄率不超過(guò)r0，問(wèn)冷軋機(jī)至少需要安裝多少對(duì)軋錕？一對(duì)軋輥的減薄率=（輸入該對(duì)的帶鋼厚度-從該對(duì)輸出的帶鋼厚度）/輸入該對(duì)的帶鋼厚度.

圖1

（2）已知一臺(tái)冷軋機(jī)共有4對(duì)減薄率為20%的軋錕，所有軋輥周長(zhǎng)均為1600 mm. 若第k對(duì)軋錕有缺陷，每滾動(dòng)一周在帶鋼上壓出一個(gè)疵點(diǎn)，在冷軋機(jī)輸出的帶鋼上，疵點(diǎn)的間距為L(zhǎng)k. 為了便于檢修，請(qǐng)計(jì)算L1，L2，L3并填入下表（軋鋼過(guò)程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗）.

高考后的統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，本題當(dāng)年全國(guó)高考得分率（理科）不到15%，而有心的教師在后來(lái)的教學(xué)中，將本題進(jìn)行了語(yǔ)言轉(zhuǎn)換（如轉(zhuǎn)換為“若a（1-b）k≤c，a，b，c均為正實(shí)數(shù)，求自然數(shù)k的取值范圍”等），學(xué)生的答對(duì)率則高達(dá)99%. 這一結(jié)果雄辯地表明學(xué)生是在數(shù)學(xué)語(yǔ)言（將生活語(yǔ)言或者說(shuō)自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，并進(jìn)行數(shù)學(xué)建模）上出了問(wèn)題.而令人遺憾的是，十幾年后的今天，這一現(xiàn)狀仍然沒(méi)有得到根本的改變，相當(dāng)一部分學(xué)生在高考數(shù)學(xué)中失分就失在數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解與運(yùn)用上.

這里還可以說(shuō)得更明確一些，就是因?yàn)閷W(xué)生在讀本題時(shí)，無(wú)法將題目中的信息轉(zhuǎn)換為自身非常熟悉的數(shù)學(xué)模型，題意的背景是生活化的，題目的意思需要結(jié)合文字描述去理解，在理解題意的基礎(chǔ)上去進(jìn)行數(shù)學(xué)建?！际菙?shù)學(xué)語(yǔ)言范疇的問(wèn)題，都能考查學(xué)生將生活語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力. 當(dāng)然，這里所說(shuō)的解題過(guò)程中數(shù)學(xué)語(yǔ)言存在的問(wèn)題，而在新課教學(xué)中也同樣存在類(lèi)似的問(wèn)題，需要引起我們高度的注意.

學(xué)生學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)語(yǔ)言能力缺失的發(fā)現(xiàn)

高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難是一個(gè)大問(wèn)題，而引發(fā)這一問(wèn)題的原因是多樣的，這意味著不同的原因都會(huì)導(dǎo)致同樣的結(jié)果（數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)差），這就涉及如何有效地判斷學(xué)生的哪些學(xué)習(xí)困難是由于數(shù)學(xué)語(yǔ)言引起的，教師又應(yīng)當(dāng)怎樣才能尋找到這些現(xiàn)象背后的原因等問(wèn)題.筆者經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)與梳理，提出如下幾點(diǎn)供同行參考：

第一，通過(guò)比較去發(fā)現(xiàn).俗話(huà)說(shuō)“不怕不識(shí)貨，就怕貨比貨”. 通過(guò)比較的方法可以讓數(shù)學(xué)語(yǔ)言這一因素“原形畢露”. 比如在上面例子中，研究者就是通過(guò)比較的方法發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問(wèn)題出在數(shù)學(xué)語(yǔ)言上的，其思路用語(yǔ)言來(lái)描述，就是：教師自己將學(xué)生不理解的（新知學(xué)習(xí)過(guò)程中）或做錯(cuò)的（數(shù)學(xué)練習(xí)或測(cè)試中）轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)模型，如果學(xué)生能夠做出來(lái)，就說(shuō)明學(xué)生在數(shù)學(xué)語(yǔ)言上出了問(wèn)題，其未能準(zhǔn)確地將生活語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，因而沒(méi)有成功地構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型.

第二，通過(guò)詢(xún)問(wèn)去發(fā)現(xiàn). 第一點(diǎn)所說(shuō)的比較的方法適用于針對(duì)學(xué)生群體的調(diào)查，而這里所說(shuō)的詢(xún)問(wèn)往往針對(duì)學(xué)生個(gè)體. 無(wú)論是在新知學(xué)習(xí)中，還是在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中，總會(huì)存在一些“典型學(xué)生”，這些典型學(xué)生身上出現(xiàn)的問(wèn)題往往就是典型問(wèn)題，因此發(fā)現(xiàn)這些問(wèn)題并進(jìn)行個(gè)體詢(xún)問(wèn)，往往也可以找到問(wèn)題的癥結(jié). 筆者在教學(xué)中特別注意對(duì)這類(lèi)學(xué)生的“物色”，確定了這幾個(gè)學(xué)生之后，往往可以通過(guò)他們的反應(yīng)來(lái)判斷數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)情況. 舉一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子，在定義域與值域概念的教學(xué)中，就類(lèi)似于（6，15]這樣的表達(dá)方式，筆者選了課堂上兩個(gè)走神的學(xué)生進(jìn)行詢(xún)問(wèn)，其中一個(gè)學(xué)生就一頭霧水，因?yàn)樗床幻靼诪槭裁匆贿吺切±ㄌ?hào)，一邊是中括號(hào)；而另一個(gè)學(xué)生則小心翼翼地說(shuō)兩個(gè)不同的符號(hào)可能代表不同的含義. 這兩位學(xué)生上課時(shí)都走神了，因而他們都無(wú)法準(zhǔn)確地回答，但由于對(duì)數(shù)學(xué)理解不同，因而前者一頭霧水，而后者則能進(jìn)行正確方向的猜想. 這里所說(shuō)的數(shù)學(xué)理解，其實(shí)就是學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)（數(shù)學(xué)上的符號(hào)語(yǔ)言）時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的能力不同，因而也就說(shuō)明數(shù)學(xué)教學(xué)中是要注重?cái)?shù)學(xué)語(yǔ)言能力的培養(yǎng)的.

第三，通過(guò)研究去發(fā)現(xiàn). 這里所說(shuō)的研究，是指研究生活語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言. 很多時(shí)候?qū)W生能夠聽(tīng)懂生活語(yǔ)言，卻讀不懂?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言，因此這里就存在一個(gè)“翻譯”的問(wèn)題，如果教師去研究生活語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言的關(guān)系，并且尋找到兩者之間的距離，往往能夠提前發(fā)現(xiàn)學(xué)生可能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)遇到的數(shù)學(xué)語(yǔ)言方面的障礙. 如有教師在教“集合”概念時(shí)，其就敏銳地意識(shí)到生活中所說(shuō)的集合，與數(shù)學(xué)中所說(shuō)的集合是兩個(gè)不同的概念，因此他就去研究同一詞語(yǔ)背后的概念差異，從而判斷出學(xué)生有可能用生活中的集合去理解數(shù)學(xué)中的集合，而這既是好事又是壞事，好在學(xué)生有一個(gè)概念基礎(chǔ)，壞在生活中的集合不能完全代替數(shù)學(xué)集合，于是又進(jìn)一步去思考學(xué)生可能會(huì)有什么樣的理解，并且分別應(yīng)當(dāng)采用什么樣的教學(xué)方法進(jìn)行矯正等. 這一發(fā)現(xiàn)基于研究且走在學(xué)生的學(xué)習(xí)之前，因而非常值得高中數(shù)學(xué)教學(xué)同行學(xué)習(xí).

數(shù)學(xué)語(yǔ)言缺失對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響淺析

認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)語(yǔ)言的重要性，研究了數(shù)學(xué)語(yǔ)言缺失的表現(xiàn)，再回過(guò)頭來(lái)看數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響，就會(huì)有更為深刻的理解.

數(shù)學(xué)教師總習(xí)慣性地將數(shù)學(xué)理解為符號(hào)、邏輯的集合，而忽略了作為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，其首先是基于語(yǔ)言的. 身在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)廬山之內(nèi)的教師，常常忽視了學(xué)生卻在廬山之外，這就導(dǎo)致了數(shù)學(xué)教師有可能不識(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)的真面目，即忘記了數(shù)學(xué)教學(xué)首先基于語(yǔ)言的交流， 而學(xué)生則更因此難以窺得高中數(shù)學(xué)的奧秘. 文首已經(jīng)說(shuō)過(guò)，高中數(shù)學(xué)與義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)最大的區(qū)別，就在于學(xué)生要在更短的時(shí)間內(nèi)習(xí)得更多的數(shù)學(xué)內(nèi)容，這種挑戰(zhàn)首先是數(shù)學(xué)語(yǔ)言上的. 從集合到函數(shù)，從立體幾何到解析幾何，從統(tǒng)計(jì)到概率，一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)概念背后包含著相當(dāng)豐富的數(shù)學(xué)理解，缺乏了數(shù)學(xué)語(yǔ)言，這種理解是難以發(fā)生的. 因此從這個(gè)角度講，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的缺失會(huì)直接導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)如同無(wú)源之水，無(wú)本之木.

當(dāng)然，根據(jù)高中數(shù)學(xué)課程專(zhuān)家的研究，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的內(nèi)涵與外延遠(yuǎn)非筆者拙作所能概括，筆者本意只是通過(guò)只言片語(yǔ)以喚起大家對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言及其教學(xué)的重視，以推進(jìn)高中數(shù)學(xué)有效教學(xué)更穩(wěn)健地前進(jìn).