林玉蓮

摘 要：高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)繁多、變化無(wú)窮，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生如何抓住問(wèn)題中的“變”與“不變”的規(guī)律，以“不變”來(lái)應(yīng)“萬(wàn)變”，直達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，使學(xué)生從數(shù)學(xué)題海中跳出來(lái)，站在更高的角度去看待問(wèn)題、思考問(wèn)題，從而達(dá)到提升學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的目的.

關(guān)鍵詞：本質(zhì)；變化；不變；思維能力

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí).” 正如宇宙中的一切都在運(yùn)動(dòng)與變化，如冬去春來(lái)、日出日落，總有一天是要變的，自然的規(guī)律啟示我們，高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)若還僅是停留在接受、記憶和簡(jiǎn)單的模仿中，早已無(wú)法適應(yīng)變化莫測(cè)的數(shù)學(xué)問(wèn)題大海了. 然而在這變的背后，若能抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，抓住變化與運(yùn)動(dòng)遵循的基本規(guī)律，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也將更能游刃有余，也真正能做到通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的良好思維品質(zhì). 本文就此點(diǎn)結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐，列舉幾個(gè)簡(jiǎn)單案例談?wù)勛龇?

緊抓概念（定義）本質(zhì)，提高學(xué)生聯(lián)想與概括的思維能力

概念教學(xué)是高中新課標(biāo)教材體系的一個(gè)重要組成部分，掌握好概念不僅是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固，更是對(duì)學(xué)生分析概括能力的培養(yǎng)與提升. 圓錐曲線定義的考查一直是每年高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，教學(xué)時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重視定義的生成過(guò)程，理解定義的多種表現(xiàn)形式.

橢圓的定義用文字語(yǔ)言概括起來(lái)為“一動(dòng)（動(dòng)點(diǎn)），三定（兩個(gè)定點(diǎn)，一個(gè)定值）”，用符號(hào)語(yǔ)言可簡(jiǎn)記為“PF1+PF2=2a（定值）>F1F2”，這里的定值2a在解題時(shí)就起著橋梁作用，也即“不變”的本質(zhì)所在，是進(jìn)行轉(zhuǎn)化化歸的關(guān)鍵.

案例1 （人教版選修2-1P42.3）已知經(jīng)過(guò)橢圓+=1的右焦點(diǎn)F2作垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1是橢圓的左焦點(diǎn).

（1）求△AF2B的周長(zhǎng)；

（2）如果AB不垂直于x軸，△AF1B的周長(zhǎng)有變化嗎？為什么？

思考1：針對(duì)案例中的（1）問(wèn) “直線AB經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸，得周長(zhǎng)為定值4a”，思考“若直線AB不經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)，但仍滿(mǎn)足垂直于x軸，周長(zhǎng)顯然發(fā)生變化，但何時(shí)周長(zhǎng)最大呢？”，可得如下高考真題：

（2012高考四川文15） 橢圓+=1（a為定值，且a>）的左焦點(diǎn)為F，直線x=m與橢圓相交于點(diǎn)A，B，△FAB的周長(zhǎng)的最大值是12，則該橢圓的離心率是______.

分析：題意初看起來(lái)與選修2-1課本結(jié)論三角形周長(zhǎng)為定值4a看似相同，但問(wèn)題在于這里的直線x=m并沒(méi)指明經(jīng)過(guò)焦點(diǎn). 已知三角形ABF周長(zhǎng)的最大值為12，設(shè)直線x=m與x軸相交于點(diǎn)C，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為AF+AC的最大值為6，設(shè)右焦點(diǎn)為F，而AF+AF ′=2a，這里剩下的問(wèn)題就在于引導(dǎo)學(xué)生自主去動(dòng)手探究AF+AC與AF+AF ′存在什么關(guān)系呢？不難發(fā)現(xiàn)AF+AC≤AF+AF ′，也即最大值時(shí)的位置就是當(dāng)直線x=m經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)時(shí)的位置.

思考2：針對(duì)原題（2）中“直線AB經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)但不垂直于x軸，得周長(zhǎng)仍為定值4a”，思考“若直線AB與x軸不垂直且未知是否經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)，但滿(mǎn)足某一條件下，AB何時(shí)最大呢？”，可得如下高考真題：

（2011北京） 已知橢圓G：+y2=1，過(guò)點(diǎn)（m，0）作圓x2+y2=1的切線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn).

（1）求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；

（2）將AB表示為m的函數(shù)，并求AB的最大值.

圖2

分析：（1）略；

（2）由題意知，m≥1.

當(dāng)m=1時(shí)，切線l的方程x=1，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為1，，1，-，此時(shí)AB=，當(dāng)m=-1時(shí)，同理可得AB=；？搖當(dāng)m>1時(shí)，設(shè)切線l的方程為y=k（x-m），由y=k（x-m），+y2=1，得（1+4k2）·x2-8k2mx+4k2m2-4=0. 設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1）（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.

又由l與圓x2+y2=1相切，得=1，即m2k2=k2+1，所以AB===.

因?yàn)锳B==≤2，且當(dāng)m=±時(shí)，AB=2，所以AB的最大值為2（可知此時(shí)直線AB經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)）.

以上幾個(gè)問(wèn)題題意上似乎與橢圓定義無(wú)直接關(guān)系，但考查問(wèn)題本質(zhì)并未發(fā)生改變，這就要求課堂教學(xué)時(shí)，不應(yīng)僅局限概念或定義的直接應(yīng)用，更多地應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生去觀察分析隱含在幾何關(guān)系中定義的本質(zhì)，從中培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系與概括的思維能力.

緊抓問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征本質(zhì)，提高學(xué)生敏銳的直覺(jué)思維能力

高中數(shù)學(xué)中很多問(wèn)題都有著其解題的共性與方法，也就是我們平常所謂的題型教學(xué)，這種課學(xué)生更習(xí)慣于墨守成規(guī)地套用公式或方法去解題，往往導(dǎo)致解題受阻半途而廢，課堂上教師更應(yīng)側(cè)重于引導(dǎo)學(xué)生用對(duì)比與聯(lián)系的觀點(diǎn)去審視問(wèn)題，觀察問(wèn)題的解題方向，緊抓問(wèn)題的特征本質(zhì)，快速尋找正確的解題思路，提高學(xué)生敏銳的洞察與直覺(jué)思維能力.

案例2 設(shè)f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f ′（x）·g（x）-f（x）g′（x）>0，且g（3）=0，則不等式f（x）g（x）<0的解集是________.

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生在熟練掌握了分式型函數(shù)求導(dǎo)法則之下，不難構(gòu)造出新函數(shù)F（x）=，但往下作答時(shí)卻發(fā)現(xiàn)所構(gòu)造的函數(shù)對(duì)g（3）=0將使得F（3）無(wú)意義，思路受阻無(wú)法前行，這種構(gòu)造方式無(wú)非就是要滿(mǎn)足求導(dǎo)后的分工與條件一致，如果將條件等價(jià)變換為：當(dāng)x<0時(shí)，g′（x）·f（x）-g（x）·f ′（x）<0，直覺(jué)告訴我們所構(gòu)造的新函數(shù)應(yīng)為F（x）=，問(wèn)題將迎刃而解.

又如問(wèn)題：已知f（x）為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且f（x）

A. f（2）>e2f（0），f（2011）>e2011f（0）

B. f（2）e2011f（0）

C. f（2）>e2f（0），f（2011）

D. f（2）

這一問(wèn)題從條件來(lái)看基本上看不出任何可利用的線索，但對(duì)比本題的各選擇支，其中卻隱含著“從特殊到一般”的信息“f（x）exf（0）”？圳f（0）？圳<或>，到此為止，構(gòu)造新函數(shù)g（x）=便水到渠成了.

上面兩個(gè)例子的分析與解決過(guò)程，對(duì)教師的課堂教學(xué)提出明確要求，要引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系與對(duì)比的觀點(diǎn)看待問(wèn)題、剖析問(wèn)題，抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，提升學(xué)生的逆向分析與直覺(jué)思維能力.

緊抓公式的內(nèi)涵本質(zhì)，提高學(xué)生創(chuàng)造性的思維能力

公式的推導(dǎo)教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中常常被教師忽視，更多地為了推導(dǎo)而推導(dǎo)，甚至有的教師省略推導(dǎo)過(guò)程，直接給出公式，然后圍繞公式機(jī)械訓(xùn)練. 這樣只是讓學(xué)生“知其然，而不知其所以然”，對(duì)公式的內(nèi)涵本質(zhì)一無(wú)所知，很少起到對(duì)學(xué)生思維能力提升的作用. 反之，若能在公式的推導(dǎo)教學(xué)中，緊抓公式的內(nèi)涵本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)情境，使學(xué)生利用已有知識(shí)“同化”和“索引”出當(dāng)前要學(xué)習(xí)的新知識(shí)，可以促成對(duì)新知識(shí)意義的建構(gòu).

案例3 二項(xiàng)式基本定理：（a+b）n=Canb0+Can-1b1+…+Can-rbr+…+Canbn，公式的推導(dǎo)過(guò)程中，書(shū)本是從采用特殊到一般的方法歸納、猜想，最終加以證明驗(yàn)證公式，對(duì)通項(xiàng)“Can-kbk”的解釋分析語(yǔ)言為：“an-kbk出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從n個(gè)（a+b）中取k個(gè)b的組合數(shù)C”，學(xué)生對(duì)這一解釋并不難理解，進(jìn)而利用通項(xiàng)公式Tk+1=Can-kbk去解決二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題看似沒(méi)什么問(wèn)題了，但是如果教學(xué)活動(dòng)僅是停留于此，那就沒(méi)能把其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)本質(zhì)發(fā)揮到極致了. 若將此二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式設(shè)置成情境問(wèn)題：“一次射擊比賽中某選手射擊一指定目標(biāo)，共有n發(fā)子彈，每次射擊互不影響，且每次命中的概率為p，求他在n次射擊中命中目標(biāo)k次的概率大?。俊?，在這個(gè)問(wèn)題里命中的概率p就等同于b，沒(méi)命中的概率1-p等同于a，所求事件概率即為P（x=k）=C（1-p）n-k·pk，這一概率模型可以看成是對(duì)n次射擊的一種組合方式，其本質(zhì)是“ak·bt”中的k，t滿(mǎn)足不定方程k+t=n（定值），這里不妨將它稱(chēng)為“組合原理法”. 應(yīng)用此方法可以解決如下類(lèi)似的一些問(wèn)題.

問(wèn)題1：求x2-展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)及含x9項(xiàng)的系數(shù)？

本題套用通項(xiàng)公式求解并不困難（這里略去），另外，如果我們采用“組合原理法”，問(wèn)題表示為“（x2）m·-”，其中m，n滿(mǎn)足m+n=9，2m-n=0，易得m=3，n=6，因此可構(gòu)造組合搭配3個(gè)x2，6個(gè)-，得常數(shù)項(xiàng)為C-；同理，m+n=9，2m-n=9，得m=6，n=3，可構(gòu)造組合6個(gè)x2，3個(gè)-，得x9的系數(shù)為C-.

再如問(wèn)題2：求（x2+3x+2）5的展開(kāi)式中x2項(xiàng)的系數(shù)，如果套用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，因其不是“二項(xiàng)”問(wèn)題而無(wú)從下手，若是將其分解成（x+1）5（x+2）5后，再用兩個(gè)通項(xiàng)公式也難以入手解決.但是若用“組合原理法”分析，“（x2）m·（3x）n·2k”，由m+n+k=2，2m+n=2，m，n，k∈N，易得m=1，n=0，k=4或m=0，n=2，k=3，即得組合1個(gè)x2，0個(gè)3x，4個(gè)2或0個(gè)x2，2個(gè)3x，3個(gè)2也即得所求系數(shù)為C·1·24+C·32·23=800，這種對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的理解與思考問(wèn)題的方式，就不再局限于二項(xiàng)或三項(xiàng)的問(wèn)題了，學(xué)生不僅掌握了所學(xué)知識(shí)，更重要的是將知識(shí)進(jìn)行了推廣與創(chuàng)新，其發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造性思維能力也無(wú)形得到了進(jìn)一步的提升.

前面的問(wèn)題解決了x的次冪問(wèn)題，但若問(wèn)題改為：（x+y+z）10展開(kāi)為多項(xiàng)式，經(jīng)過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)為（ ）

A. 11 B. 33

C. 55 D. 66

本題表面上并非x的次冪問(wèn)題，但合并同類(lèi)項(xiàng)后仍可視為與次冪問(wèn)題為同一類(lèi)型，即解決的實(shí)質(zhì)為“xm·yn·zk”，其中m，n，k滿(mǎn)足：m+n+k=10，m，n，k∈N ？圳m′+n′+k′=13，m′，n′，k′∈N*（令m′=m+1，n′+n+1，k′=k+1），利用分組問(wèn)題的“隔板法”易得項(xiàng)數(shù)為C=66.

緊抓問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，提高學(xué)生邏輯推理的思維能力

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一.” 邏輯推理能力是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的重要環(huán)節(jié)，課堂教學(xué)上首先是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“同中求異”、“異中求同”的思考習(xí)慣，緊抓問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，提高學(xué)生邏輯推理的思維能力.

案例4 筆者在一次試題評(píng)析課上遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：（廈門(mén)市2012-2013質(zhì)量檢測(cè)）A，B為拋物線C：y2=4x上除原點(diǎn)O外的兩個(gè)點(diǎn)，且·=0，以O(shè)A，OB為直徑的兩圓交于除O外的另一點(diǎn)P，則P的軌跡方程是________.

圖3

對(duì)于本題，不管是利用直接法或消參等方法，求解都較為煩瑣，究其原因，主要在于學(xué)生沒(méi)能真正分析出此直線在具備已知條件下所隱含的確定要素，想直接套用求軌跡方程的一些常用方法而導(dǎo)致困難重重. 反思我們的教學(xué)，如果平時(shí)教學(xué)中能夠引導(dǎo)學(xué)生多去思考、對(duì)相近問(wèn)題及時(shí)對(duì)比、總結(jié)，多領(lǐng)會(huì)對(duì)問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，則解題將可獲得新的突破與創(chuàng)新，對(duì)照本題條件，我們可以在書(shū)中找到它的影子.

問(wèn)題1：人教版選修2-1P73A組第6題：如圖3，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB.

問(wèn)題2：P81第3題：如圖4，已知直線與拋物線y2=2px（p>0）交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1），求p的值.

圖4

對(duì)這兩道題目，教學(xué)時(shí)若引導(dǎo)學(xué)生從條件、結(jié)論等方面多去思考它們存在的聯(lián)系，可發(fā)現(xiàn)都滿(mǎn)足共同點(diǎn)：直線AB與拋物線的相交弦AB滿(mǎn)足頂點(diǎn)O的視角∠AOB=90°，不同點(diǎn)在于：第一題是直線、拋物線給定，求證弦所對(duì)視角為90°，第二題是已知視角弦為90°，拋物線待求解，可視為給定，但直線卻是可變的.教學(xué)時(shí)我們是否可以換個(gè)角度思考在拋物線給定且視角為90°的前提下，此直線無(wú)論是給定還是未給定，必然與所給拋物線間存在著一個(gè)不變的特征量，我們知道確定直線的特征量為定點(diǎn)或斜率，但從題目2明顯可以看出直線的斜率是可變的，那就意味著此直線必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，接下來(lái)的事情就只要我們?nèi)ヌ角蟠藛?wèn)題的一般性了：“已知拋物線y2=2px（p>0），A，B為拋物線上兩點(diǎn)，若OA⊥OB，則直線AB恒過(guò)一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn).”

針對(duì)此問(wèn)題條件與結(jié)論間存在的某種邏輯聯(lián)系，可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此題做如下不同方向的思考：

1. 對(duì)照此題，已知視角弦為90°，我們是否可做適當(dāng)改動(dòng)呢？則可得如下思考：

思考1：本題中，OA⊥OB，即kOA·kOB=-1，若改為kOAkOB=m（m為不為零的常數(shù)），直線AB是否過(guò)定點(diǎn)？（此問(wèn)題可先嘗試對(duì)特例進(jìn)行研究，再做一般性研究，可得直線AB仍過(guò)定點(diǎn)-，-y0）.

思考2：若kOA+kOB=n（n為非零常數(shù)）， 直線AB過(guò)定點(diǎn)嗎？（同上思考方式，得直線AB過(guò)定點(diǎn)-，-y0）

2. 本題中O為拋物線的頂點(diǎn)，我們是否還可將其改動(dòng)為其他點(diǎn)呢？則又可得如下思考：

思考3：若將O點(diǎn)改為拋物線上任意點(diǎn)，AB直線是否仍過(guò)定點(diǎn)？

思考4：把思考1和思考2中的O點(diǎn)改為拋物線上任意點(diǎn)，是否也有類(lèi)似性質(zhì)？

3. 從圓錐曲線教學(xué)內(nèi)容思考，在拋物線下成立的結(jié)論，其他曲線是否也成立呢？則可如下思考：

思考5：已知橢圓方程為+=1（a>b>0），直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，橢圓的左頂點(diǎn)為C，若CA⊥CB，直線l是否過(guò)一定點(diǎn)？

思考6：已知橢圓方程為+=1（a>b>0），直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，橢圓的一定點(diǎn)C，若CA⊥CB，直線l是否過(guò)一定點(diǎn)？

思考7：已知橢圓方程為+=1（a>b>0），直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，橢圓的左頂點(diǎn)為C，若kCA·kCB=m（m為不為零的常數(shù)），直線l是否過(guò)一定點(diǎn)？

邏輯推理能力是在把握了問(wèn)題與問(wèn)題之間內(nèi)在必然聯(lián)系的基礎(chǔ)上展開(kāi)的，所以，養(yǎng)成從多角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題的習(xí)慣，全面地認(rèn)識(shí)問(wèn)題的內(nèi)部與外部之間、某問(wèn)題同其他問(wèn)題之間的多種多樣的聯(lián)系，對(duì)邏輯思維能力的提高有著十分重要的意義. 教學(xué)中只要能堅(jiān)持引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所給問(wèn)題多去分析、多去推理，從問(wèn)題的各個(gè)角度尋找共性與異性，這樣我們就能將某些問(wèn)題、甚至某類(lèi)問(wèn)題完整化，學(xué)生分析問(wèn)題的思路、數(shù)學(xué)思想、知識(shí)體系也就能清晰化. 這種注重問(wèn)題的內(nèi)在本質(zhì)、內(nèi)在聯(lián)系的教學(xué)，能很好地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提升.