楊海燕

【摘要】 從教育的角度來看，數(shù)學(xué)思想方法比數(shù)學(xué)知識更為重要，這是因為知識的記憶是暫時的，數(shù)學(xué)思想方法的掌握是永久的；知識只能使學(xué)生受益一時，數(shù)學(xué)思想方法將使學(xué)生受益終生. 因此，必須重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).具體地說就是：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)在動機；結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，在具體情境中教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法；按程序性知識學(xué)習(xí)規(guī)律教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法；指導(dǎo)學(xué)生監(jiān)控數(shù)學(xué)思想方法的使用；讓學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中運用數(shù)學(xué)思想方法.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)知識；數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)學(xué)教學(xué)

中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容（基本要求）的整體結(jié)構(gòu)有兩根強有力的支柱，即數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)知識又蘊載著思想方法，二者好比鳥之雙翼，須臾不離，缺一不可.從教育的角度來看，數(shù)學(xué)思想方法比數(shù)學(xué)知識更為重要，這是因為知識的記憶是暫時的，數(shù)學(xué)思想方法的掌握是永久的；知識只能使學(xué)生受益一時，數(shù)學(xué)思想方法將使學(xué)生受益終生.日本學(xué)者米山國藏指出：“無論是對于科學(xué)工作者、技術(shù)人員還是數(shù)學(xué)教育工作者，最重要的是數(shù)學(xué)的精神、思想和方法，而數(shù)學(xué)的知識只是第二位.”世界著名數(shù)學(xué)家波利亞在60年代曾做過統(tǒng)計，普通中學(xué)的學(xué)生畢業(yè)后在其工作中需要用到數(shù)學(xué)的（包括數(shù)學(xué)家在內(nèi)）約占全部學(xué)生的30%，而其余的70%則幾乎用不到任何具體的數(shù)學(xué)知識.正是基于這樣的分析，波利亞認為：“一個教師，他若要同樣地去教他所有的學(xué)生——未來用數(shù)學(xué)和不用數(shù)學(xué)的人，那么他在教解題時應(yīng)當(dāng)教三分之一的數(shù)學(xué)和三分之二的常識（即是指一般性的思想方法或思維模式）.”這就是說，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).那么怎樣在數(shù)學(xué)教學(xué)中進行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)？筆者的觀點是：

一、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)在動機

要想使學(xué)生主動學(xué)習(xí)并掌握數(shù)學(xué)思想方法，必須讓學(xué)生認識到數(shù)學(xué)思想方法能幫助自己提高學(xué)習(xí)效率，改善學(xué)習(xí)成績.這樣才有可能受到激勵，產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的動機.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注意通過演示、講解、討論等，突出數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)習(xí)和解決問題中的作用和價值，使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)思想方法對學(xué)習(xí)有改善作用.

例如，問題1：對于每個實數(shù)x，設(shè)f（x）是4x + 1，x + 2和-2x + 4三個函數(shù)中的最小值，求f（x）的最大值.

分析：題中沒有直接給出f（x）的表達式，想通過抽象的數(shù)量關(guān)系分析求解，顯然是困難較大，但是如果運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，將問題與函數(shù)圖像聯(lián)系起來，利用圖像的直觀作用，就容易弄清f（x）的具體內(nèi)容，確定取最大值的點的位置，使原題順利解出. 即在同一平面角坐標(biāo)系中，作函數(shù)

y = 4x + 1 ①

y = x + 2 ②

y = -2x + 4 ③

的圖像，如圖1，觀察圖像即得f（x）的最大值是直線y = x + 2與直線y = -2x + 4的交點E的縱坐標(biāo)，即函數(shù)f（x）有最大值■.

為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的的興趣，教師還可以讓學(xué)生比較、評價自己使用數(shù)學(xué)思想方法和不使用數(shù)學(xué)思想方法條件下的學(xué)習(xí)成績，要讓學(xué)生明白，優(yōu)良的數(shù)學(xué)成績是正確應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的結(jié)果，來激勵學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的主動性.從而看到數(shù)學(xué)思想方法運用所帶來的好處.

二、結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，在具體情境中教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法

因為數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用往往離不開具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，所以數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)作為學(xué)生面臨的實際學(xué)習(xí)任務(wù)的一部分來教，通過提供數(shù)學(xué)思想方法可以應(yīng)用的情境，讓學(xué)生逐步學(xué)會數(shù)學(xué)思想方法.

例如，“垂線”概念的教學(xué)設(shè)計：

活動一：操作

如圖2，讓學(xué)生把課前準(zhǔn)備好的“相交線模型”中的其中一根木棒固定，把其中的另一根木棒繞固定點轉(zhuǎn)動，觀察轉(zhuǎn)動過程中，把你認為兩根木棒比較美觀的特殊位置固定.

活動二：畫圖

引導(dǎo)學(xué)生用幾何圖形表示兩根木棒的特殊位置，并標(biāo)上字母（如圖3）.

活動三： 測角

引導(dǎo)學(xué)生用量角器測量圖3中的四個角.

活動四：形成概念

讓學(xué)生為這一特殊情形命名，并用自己的語言下定義，然后與書本上比較異同.

活動五：反思

讓學(xué)生反思垂線概念是怎樣得到的，與相交線概念的聯(lián)系.

以上的教學(xué)過程，其滲透的是從一般到特殊、運動與靜止、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)美等重要的數(shù)學(xué)思想方法. 學(xué)生通過數(shù)學(xué)活動，形成了豐富的垂線概念的表象，水到渠成地得到垂線的定義，當(dāng)學(xué)生對垂線概念自主建構(gòu)的同時，也獲得了對數(shù)學(xué)思想方法的體驗.

數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識的結(jié)合是非常緊密的，是相互滲透、互相融合的，只要教師在教學(xué)中有意識地進行滲透、傳授，學(xué)生就能獲得大量的關(guān)于解決問題的一般的特殊的數(shù)學(xué)思想方法.因為能提高人的學(xué)習(xí)記憶和思維效率的數(shù)學(xué)思想方法是無數(shù)的，雖然某些簡單的數(shù)學(xué)思想方法可以很快地學(xué)會，但大部分數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)是不能立竿見影的，所以數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練是長期、反復(fù)和螺旋上升的.

三、按程序性知識學(xué)習(xí)規(guī)律教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法也是一種程序性知識，其教學(xué)應(yīng)符合程序性知識的學(xué)習(xí)規(guī)律.先是提供數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用的實例，通過師生共同分析歸納出有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，再在教師指導(dǎo)下進行該數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用練習(xí).比如，“逆向思考方法”的教學(xué)，教師從“司馬光砸缸”的故事開始，讓學(xué)生討論“司馬光砸水缸救人”運用的方法，當(dāng)學(xué)生從故事中概括出：將“人救出水”辦不到時，就讓“水離開人”，那么“逆向思考的數(shù)學(xué)方法”也就水到渠成了.然后讓學(xué)生嘗試解題：池塘里睡蓮覆蓋的面積每天增大 1 倍，若經(jīng)17天，可長滿整個池塘.問長滿半個池塘需要多少天？有的學(xué)生從正向思考，解法較繁，有的學(xué)生逆向思考，解法較巧.即由“每天增大 1 倍”知，從覆蓋一個池塘退回覆蓋半個池塘只需1 天，故長滿半個池塘需17 - 1 = 16（天）.當(dāng)學(xué)生體會到好的問題解決通常要應(yīng)用有效的數(shù)學(xué)思想方法時，就能自發(fā)地運用所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想方法來調(diào)控其學(xué)習(xí).

接著，讓學(xué)生運用該數(shù)學(xué)思想方法進行練習(xí)（練習(xí)題略）.

在數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中，重視數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)現(xiàn)，強調(diào)讓學(xué)生多進行在一系列相似情境和不同情境中的變式操作，這對數(shù)學(xué)思想方法的掌握是大有裨益的.

四、指導(dǎo)學(xué)生監(jiān)控數(shù)學(xué)思想方法的使用

在數(shù)學(xué)思想方法運用過程中，學(xué)生需要不時地檢測數(shù)學(xué)思想方法運用的程度，分析當(dāng)前的學(xué)習(xí)任務(wù)是否滿足數(shù)學(xué)思想方法運用的條件，利用數(shù)學(xué)思想方法取得了哪些進展等.

例如，解關(guān)于x的方程：x4 - 10x3 - 2（a - 11）x2 + 2（5a + 6）x + 2a + a2 = 0.

這是一個關(guān)于x的四次方程，學(xué)生解決這一問題的常規(guī)方法是降次，通過因式分解將4次降為2次，但按這樣的方法解決問題并非容易.這時，教師要引導(dǎo)學(xué)生自我提問：“我的解題方法能夠徹底解決問題嗎？”“如果不行，我能換一個思考角度，或者換一種解題方法嗎？”等.事實上，如果換一個思考角度，采取逆向思維方法思考，將x視為常量，而將a看為變量，問題就轉(zhuǎn)化為解關(guān)于a的二次方程a2 - 2（x2 - 5x - 1）a + （x4 - 10x3 + 22x2 + 12x） = 0的問題.解該方程得a = x2 - 6x 或 a = x2 - 4x - 2.到此，我們再把x看為變量，a視為常量，解關(guān)于x的二次方程，得x1，2 = 3± ，x3，4 = 2± .

“自我提問”就是讓學(xué)生通過自我意識相應(yīng)地調(diào)節(jié)自己的思維和行動.在數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中，教師要不斷提醒學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用的適用條件，教會他們通過“自我提問”監(jiān)控利用數(shù)學(xué)思想方法時所取得的進展，問題一旦發(fā)現(xiàn)，則要教他們?nèi)绾螄L試矯正并加以評價，并逐步把外部指導(dǎo)內(nèi)化為學(xué)生自己監(jiān)控和調(diào)節(jié)過程.

現(xiàn)代認知心理學(xué)認為所有的研究都要強調(diào)教學(xué)生知道何時、何處應(yīng)用已學(xué)過的數(shù)學(xué)思想方法的重要性，教會他們注意正在使用的數(shù)學(xué)思想方法在什么場合使用以及是否適用，則效果更加好.比如，在解題教學(xué)中，先讓學(xué)生獨立思考解題的思路，然后組織學(xué)生討論，在討論中，讓學(xué)生說出自己的解題過程，大家對照過程和結(jié)果，看看誰的方法最好，從而尋找最佳解題思路，這是訓(xùn)練數(shù)學(xué)思想方法的一種有效方法.因為有效，它對數(shù)學(xué)思想方法的概括和保持是關(guān)鍵性的.

五、讓學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中運用數(shù)學(xué)思想方法

所謂合作學(xué)習(xí)，是指教學(xué)活動中學(xué)生相互討論、互相提問、互相幫助、共同學(xué)習(xí)的形式.它被現(xiàn)代認知心理學(xué)家視為數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中的一種重要的教學(xué)組織形式.

在合作學(xué)習(xí)中，通過學(xué)生間的相互觀察和模仿，可以更貼近地觀測他人巧妙使用的數(shù)學(xué)思想方法，通過“跳一跳”使自己掌握新的數(shù)學(xué)思想方法.在合作學(xué)習(xí)中，由于學(xué)生之間更密切地接觸交流，能更清楚自己與其他同學(xué)在掌握數(shù)學(xué)思想方法上的差距，從而產(chǎn)生“奮起直追”的念頭，起到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的激勵和鞭策作用.

因此，在數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)中，教師應(yīng)大膽創(chuàng)設(shè)寬松的民主氣氛，使學(xué)生敢于、樂于思考和討論，讓他們的思維進入自覺的思維情境中，有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法.

【參考文獻】

沈文選. 中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法[M]. 長沙：湖南師范大學(xué)出版社，1996.