李珺

【摘要】在HPM研究理論指導下，參照“數(shù)學史——探索”教學模式，對圓錐曲線的發(fā)展進行教學重組，幫助學生完成知識的自我構(gòu)建.

【關鍵詞】數(shù)學史；圓錐曲線；工作單

HPM研究組織成立三十多年以來，HPM理論及其實踐研究得到了長足的發(fā)展.本文參考范廣輝提出的“數(shù)學史——探索”教學模式，對圓錐曲線的發(fā)展歷史進行教學重組，以工作單的形式引領學生經(jīng)歷概念形成的幾個關鍵時期，以及數(shù)學家探究數(shù)學概念的活動，完成數(shù)學知識的自我建構(gòu).

工作單1 倍立方問題

傳說中，這問題的來源可追溯到公元前429年，一場瘟疫襲擊了希臘第羅斯島（Delos），造成四分之一的人口死亡.島民們推派一些代表去神廟請示阿波羅的旨意，神指示說：要想遏止瘟疫，得將阿波羅神殿中那正立方的祭壇加大一倍.人們便把每邊增長一倍，結(jié)果體積當然就變成了8倍，瘟疫依舊蔓延；接著人們又試著把體積改成原來的2倍，但形狀卻變?yōu)橐粋€長方體……第羅斯島人在萬般無奈的情況下，只好鼓足勇氣到雅典去求救于當時著名的學者柏拉圖.開始，柏拉圖和他的學生認為這個問題很容易.他們根據(jù)平時的經(jīng)驗，覺得利用尺規(guī)作圖可以輕而易舉地作一個正方形，使它的面積等于已知正方形的2倍，那么作一個正方體，使它的體積等于已知正方體體積的2倍，還會難嗎？結(jié)果……

問 題

1.你能利用所學知識求出數(shù)學題“體積是棱長a的立方體的2倍的立方體的棱長b”嗎？

讓我們來看一下柏氏門徒當時差點成功的作法：“求體積是棱長a的立方體的2倍的立方體”，這問題可以轉(zhuǎn)化為“求在a與2a之間插入二數(shù)x，y，使a，x，y，2a成等比數(shù)列”，即a∶x=x∶y=y∶2a，故x2=ay，y2=2ax，xy=2a2，從而x3=a（xy）=a（2a2），故x3=2a3，則棱長x的立方體即為所求.

2.從上述方法中可以看出，我們所要求的棱長x是哪兩條曲線的交點橫坐標？

3.我們只要畫出這些曲線就可以找到x的值，嘗試從圖像中找出x.

上述用曲線來求解倍立方問題的方法是希臘數(shù)學家門奈赫莫斯開創(chuàng)的圓錐曲線法，這些曲線就是我們現(xiàn)在的拋物線.

工作單2 門奈赫莫斯與圓錐曲線

希臘著名學者門奈赫莫斯（公元前4世紀）企圖解決當時的著名難題“倍立方問題”.他把Rt△ABC的直角A的平分線AO作為軸，旋轉(zhuǎn)△ABC一周，得到曲面ABECE′，如圖1.用垂直于AC的平面去截此曲面，可得到曲線EDE′，梅內(nèi)克繆斯稱之為“直角圓錐曲線”.他想以此在理論上解決“倍立方問題”未獲成功.而后，便撤開“倍立方問題”，把圓錐曲線作為專有概念進行研究：若以Rt△ABC中的長直角邊AC為軸旋轉(zhuǎn)△ABC一周，得到曲面CB′BE′，如圖2.用垂直于BC的平面去截此曲面，其切口為一曲線，稱之為“銳角圓錐截線”；若以Rt△ABC中的短直角邊AB為軸旋轉(zhuǎn)△ABC一周，可得到曲面BC′ECE′，如圖3.用垂直于BC的平面去截此曲面，其切口曲線EDE′稱為“鈍角圓錐截線”.當時，希臘人對平面曲線還缺乏認識，上述三種曲線須以“圓錐曲面”為媒介得到，因此，被稱為圓錐曲線的“雛形”.

我們可以用幾何知識證明曲線的性質(zhì)：

設直角圓錐的軸三角形VBC是等腰直角三角形，頂角V是直角，過母線VB上一點A用垂直于VB的平面截圓錐面，其交線QAR為直角圓錐截線.過交線QAR上任一點P作平面垂直于軸VO，它與軸截面VBC交于DE，與圓錐交于以DE為直徑的圓DPE，作AF∥DE，F(xiàn)G⊥DE.若記AN=x，NP=y，AG是與點A位置有關的定線段記為b.問題：我們可以得到x，y，b之間怎樣的關系式？

上述的關系式正是解析幾何中拋物線的解析式.類似的方法可以證明銳角圓錐截線就是現(xiàn)在的橢圓，鈍角圓錐曲線是雙曲線.

【參考文獻】

[1]鮑建生，徐斌艷.數(shù)學教育研究導引（二）[M].南京：江蘇教育出版社，2013：403-422.

[2]范廣輝.“數(shù)學史——探索”教學模式的理論構(gòu)建及其實施策略研究[J]，2010.

[3]張洪杰.圓錐曲線的產(chǎn)生與發(fā)展.http：//www.zxxk.com/Article/161363.html.