申海濱

【摘要】概念是認識的起點，是思維的基本單位.數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.掌握數(shù)學(xué)知識的前提是正確地理解數(shù)學(xué)概念.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程其實是學(xué)生自我建構(gòu)的過程.APOS理論認為學(xué)生概念學(xué)習(xí)的自我建構(gòu)階段就是活動階段、過程階段、對象階段和圖式階段.本文從APOS理論四階段出發(fā)，結(jié)合教學(xué)實踐，探索中職概念教學(xué).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念；數(shù)學(xué)教學(xué)；APOS理論

概念是對客觀事物的本質(zhì)特征的認識，每個概念都有內(nèi)涵和外延，形成的心理過程大致可分為以下幾個步驟：識別不同事例，從同類事件中抽出共性，將這種共性與記憶中的觀念相聯(lián)系，同已知的其他概念分化，將本質(zhì)屬性一般化，下定義.概念的形成實質(zhì)上可以概括為兩個階段：從完整的表象升華為抽象的規(guī)定，使抽象的規(guī)定在思維形成中導(dǎo)致具體的再現(xiàn).而“數(shù)學(xué)概念”則反映了思考對象空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維方式.所謂“本質(zhì)屬性”就是指構(gòu)成某種事物的基本特征，這種屬性只為這類事物所具有，它是一種事物區(qū)別于另一種事物的基本依據(jù).《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》明確指出：“正確理解和掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、掌握基本技能和培養(yǎng)基本方法的前提.”在中職的課堂教學(xué)中，常有一部分學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏興趣甚至心懷恐懼，這部分同學(xué)在課堂上的有效參與度不高，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普遍較差，尤其是在概念的理解和應(yīng)用方面.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)概念之所以有如此重要的地位，原因在于學(xué)生在分析題目、理解和解決問題的過程中發(fā)揮的重要指導(dǎo)性作用，因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，是整個數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.正確理解數(shù)學(xué)概念是運用數(shù)學(xué)知識的前提，可見概念的重要性.

一、中職概念教學(xué)現(xiàn)狀及原因分析

從數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理過程分析來看，影響數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理因素主要有：（1）原有的認知結(jié)構(gòu)；（2）感性材料和感性經(jīng)驗；（3）抽象概括能力；（4）語言表達能力.研究表明，優(yōu)生與中下生在（1）（3）兩點的差距較為明顯，而在（2）（4）兩點則區(qū)別不大.究竟怎樣才能有效提高中下生對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)水平呢？筆者認為：“以學(xué)生現(xiàn)有的思維發(fā)展水平為依據(jù)進行教學(xué)”，采用符合中下生認知水平的概念教學(xué)方法和策略，優(yōu)化教與學(xué)的環(huán)節(jié)，將有效提高概念教學(xué)的水平.因此，更多地通過感性材料和感性經(jīng)驗來組織概念教學(xué)，遵循學(xué)生的認知規(guī)律，化難為易，逐步培養(yǎng)中下生的抽象概括能力和語言表達能力，有效促進概念的自主建構(gòu).

一方面是學(xué)習(xí)方法不適應(yīng)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)具有高度抽象性和形式化的特點——數(shù)學(xué)中的形式化，就是用特定的數(shù)學(xué)語言，包括數(shù)學(xué)的符號語言、圖像語言和文字語言表達自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象的空間結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系.數(shù)學(xué)的表達方式大多是形式化的思想材料，這通常導(dǎo)致這些學(xué)生對概念學(xué)習(xí)產(chǎn)生障礙.另一方面是教師不太注重傳授概念學(xué)習(xí)的策略，相關(guān)的策略訓(xùn)練就更少.一些教師照搬照抄，方法簡單，在教學(xué)中憑經(jīng)驗備課，對概念的背景、內(nèi)涵和外延沒有引起足夠的重視，很多數(shù)學(xué)概念教師往往一帶而過或直接要求學(xué)生記住結(jié)論，然后通過解題來理解概念，題海戰(zhàn)術(shù)是理解概念的常法，讓學(xué)生在練習(xí)中去領(lǐng)悟概念.“只重結(jié)果不重過程”，學(xué)生學(xué)到的概念是機械的、零碎的，不利于知識遷移形成能力，更不用說掌握其中的數(shù)學(xué)思想方法.這種讓學(xué)生背概念、背題目、背結(jié)論的做法，其惡果讓學(xué)生徹底對數(shù)學(xué)反感，最終放棄數(shù)學(xué).

二、APOS理論溯源

APOS理論是針對于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程研究的一種建構(gòu)注意的學(xué)習(xí)理論，該理論是美國數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基在數(shù)學(xué)的實踐中提出的一種觀念理論模式.該理論認為：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程其實是一種自我心理建構(gòu)的過程，在這個過程中學(xué)生只有調(diào)整自己的認知結(jié)構(gòu)或改造外部的認知結(jié)構(gòu)，使得主客觀彼此一致，才能建構(gòu)起新的認知結(jié)構(gòu).一般來說，這一建構(gòu)過程要經(jīng)歷四個階段：活動階段（Action）、過程階段（Process）、對象階段（Object）和圖式階段（Scheme）.取這四個階段英文單詞的首個字母，故命名為“APOS理論”，“APOS理論”的科學(xué)性和實用性為數(shù)學(xué)概念教學(xué)提供了有力的理論支持.APOS理論對特定的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程作出了切實分析，它解釋數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理活動的核心概念和概念框架，揭示了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的本質(zhì).APOS理論的四個階段反映了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過程中的思維過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念形成的規(guī)律性，為教師如何進行數(shù)學(xué)概念教學(xué)提供了一種具體而實用的教學(xué)策略.

三、APOS理論下的概念教學(xué)策略

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，概念教學(xué)相當(dāng)重要.只要遵循認知規(guī)律，就可以使學(xué)生理解抽象的概念，從而學(xué)生在輕松愉快的氛圍中獲得知識、掌握知識.所以概念的教學(xué)策略應(yīng)注意以下幾個方面：

（一）注重概念的背景

在學(xué)習(xí)概念時，APOS理論強調(diào)學(xué)生首先需要處理的數(shù)學(xué)問題應(yīng)具有現(xiàn)實生活情境，并認為概念的理解始于在情境中活動.因此，在概念教學(xué)時，教師應(yīng)注意概念的情境，組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)活動，通過活動，學(xué)生獲得概念的初步認識.

1.以“問題”的形式引入新概念

以“問題”的形式引入新概念是概念教學(xué)中常用的方法.一般來說，用“問題”引入概念的途徑有兩條：①從現(xiàn)實生活情境問題引入數(shù)學(xué)概念；②從數(shù)學(xué)問題或理論本身的發(fā)展引入概念.

例如“函數(shù)的概念”的導(dǎo)入利用問題情境進行：①學(xué)校為了鼓勵學(xué)生多參加體育鍛煉，以便增強體質(zhì)，購置一批運動器材.經(jīng)詢問一個足球大概需要110元，列出需要足球個數(shù)x與應(yīng)付錢數(shù)y的關(guān)系式；②要組建一支隊伍，要購置一批隊服，每件需要84元，且取貨需要路費20元，列出購買件數(shù)x與應(yīng)付款數(shù)y之間的關(guān)系式.

這是一個“導(dǎo)入”材料，以“設(shè)問”的形式出現(xiàn)，主要作用是容易引起學(xué)生的注意，引發(fā)學(xué)生思考.創(chuàng)造生活情境，讓學(xué)生形成函數(shù)意識！

2.以直觀材料為基礎(chǔ)引入新概念

以日常生活中的事物或模型、圖形、圖表等直觀材料，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、比較、歸納、概括去獲取概念.數(shù)學(xué)概念是從現(xiàn)實生活中抽象出來的，如集合、函數(shù)、二面角、異面直線等都是因?qū)嵺`的需要而產(chǎn)生的，這類概念的直觀材料很多.

例如，學(xué)習(xí)“二面角”的概念時，可以讓學(xué)生辨認一些熟悉的實例，像翻蓋式的課桌、門板與門框、相鄰的兩面墻面、打開的電腦燈等，然后分化出各例的屬性，從中找出共同的本質(zhì)屬性.翻蓋式課桌可以看成是兩個半平面，相鄰的墻面也可以看成兩個半平面，并且都有公共的棱.它們的共同屬性是：都可以抽象地看成從一條直線出發(fā)的兩個半平面，得到二面角的定義.

以直觀材料為基礎(chǔ)引入新概念，是用概念形成的方式進行教學(xué)，因此，在教學(xué)中，應(yīng)選擇能充分顯示被引入概念的共同屬性的事例，引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析，使學(xué)生從事例中概括出共同的本質(zhì)屬性，形成概念.

3.從概念的發(fā)生過程引入新概念

有些概念是用發(fā)生式定義的，這類概念的教學(xué)可以采用演示活動的直觀教具或演示畫圖說明的方法去揭示事物的發(fā)生過程.這種方法直觀形象，體現(xiàn)了運動的觀點，導(dǎo)入的過程自然地闡明了概念的客觀存在性.教師要根據(jù)概念產(chǎn)生的背景，選定最佳的引入路徑，讓學(xué)生盡快觸及概念的本質(zhì)特點，體現(xiàn)概念建立過程的高效化，而不應(yīng)為了追求形式上的新穎，模糊概念產(chǎn)生的背景，把簡單的問題復(fù)雜化，把清晰的問題混亂化.如，等差數(shù)列概念一直是學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)過程中的難點，有很多學(xué)生學(xué)過后只能記住等差數(shù)列的形式特征，不能理解公差、首項的真正意義與關(guān)系.等差數(shù)列的本質(zhì)在于按照一定的規(guī)律遞增或遞減.認識這一點，需要通過操作活動，理解具體的等差數(shù)列的意義.

4.以新、舊概念之間的關(guān)系引入新概念

大部分數(shù)學(xué)知識的連貫性是很強的，概念不是孤立產(chǎn)生或存在的，概念之間往往有著密切的聯(lián)系，特別是那些具有相似或相同關(guān)系的概念，我們可以根據(jù)新舊知識的連接點、相似點用類比法引入概念.這樣有利于學(xué)生在思維中將知識和技能從已知的概念遷移到未知的概念上來，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索能力.

例如，由“橢圓”的概念類比“雙曲線”的概念、拋物線的概念，并且把學(xué)過的二次曲線的概念做系統(tǒng)的歸納總結(jié)，形成知識鏈，同時，把這個系統(tǒng)比喻成家庭成員表利于加強學(xué)生對概念的掌握.

（二）注重概念的形成過程

APOS理論指出，學(xué)生是在“過程”中對“活動”進行抽象反省，得到概念的本質(zhì)屬性.由此出發(fā)，在概念教學(xué)時，教師應(yīng)當(dāng)注重學(xué)生的分析探究，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程.教師應(yīng)提出合理的問題來引導(dǎo)學(xué)生對“活動”進行反思，學(xué)生的思維活動朝著概念本質(zhì)屬性的方向進行，初步形成概念.這樣學(xué)生獲得的不僅僅是概念，更重要的是經(jīng)歷了抽象概括的思維過程.

1.抓住概念的重難點

概念的形成過程往往帶著許多無關(guān)特征，因此，教師應(yīng)抓住重點引導(dǎo)學(xué)生.這樣學(xué)生便能把握概念的實質(zhì)，盡量減少乃至消除不利因素的干擾.如“圓的標準方程”的公開課教學(xué)中，通過“剪圓—在直角坐標系貼圓—找圓心、半徑—寫出圓方程”的活動，讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程，體驗在“直角坐標系”中圓的標準方程這一概念形成成因.教師在聽取學(xué)生的意見后，因勢利導(dǎo)，概括出大家的意見，引導(dǎo)學(xué)生得出確定圓的標準方程的方法.

2.抓住概念的關(guān)鍵詞

數(shù)學(xué)中包含著大量的數(shù)學(xué)概念，而有些概念往往是由若干個詞或詞組組成的定義.這些數(shù)學(xué)語言表述精確，結(jié)構(gòu)嚴謹，對這一類事物的本質(zhì)屬性作了明確的闡述.我們在教學(xué)時就要“抓”住這些本質(zhì)的東西不放，讓學(xué)生建立起正確的概念.如，在學(xué)習(xí)“首尾順次連接不共面的四點所構(gòu)成的圖形，叫作空間四邊形”這一概念時，就應(yīng)抓住“不共面”和“首尾順次連接”不放，用長短不同的一些木條，讓學(xué)生搭出空間四邊形，從而讓學(xué)生明確組成空間四邊形的兩個基本條件，加深對空間四邊形及性質(zhì)的理解.

3.抓住概念間的內(nèi)在聯(lián)系

對于有內(nèi)在聯(lián)系的概念，要做好比較，加深學(xué)生對概念本質(zhì)的理解.

例如，“一元二次不等式”的概念，是建立在“元”“次”“不等式”這三個概念基礎(chǔ)之上的.“元”表示未知數(shù)，“次”表示未知數(shù)的最高次數(shù)，次數(shù)是就整式而言的，“一元二次不等式”是在學(xué)習(xí)一元一次不等式基礎(chǔ)上的整式不等式的學(xué)習(xí).這樣的學(xué)習(xí)方式在一元一次不等式中，學(xué)生已有類似的經(jīng)歷，便于知識的遷移，同時有利于學(xué)生便于抓住“一元二次不等式”與“一元一次不等式”的關(guān)系.并為以后學(xué)習(xí)其他不等式的概念打下基礎(chǔ).

4.抓住概念內(nèi)涵與外延的揭示

概念的內(nèi)涵和外延是概念的本質(zhì)特征，是理解和把握概念的基礎(chǔ).只有充分理解和把握概念的內(nèi)涵和外延才能清楚、準確地界定某一概念，區(qū)分概念間的差異.因此，揭示概念的內(nèi)涵與外延是概念教學(xué)中必不可少的.比如：在講授一元二次不等式時，其概念的內(nèi)涵是“只含有一個未知數(shù)（x）且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式”這個性質(zhì)，其外延是一切形如一元二次不等式的全體.

（三）重視概念的對象化

APOS理論強調(diào)，數(shù)學(xué)概念只有在學(xué)習(xí)者頭腦中呈現(xiàn)出“過程—對象”一體化時，才算真正形成.這體現(xiàn)了概念形成實質(zhì)上的兩個階段：從完整的表象中分離出抽象的規(guī)定，使抽象的規(guī)定在思維中具體地再現(xiàn).在數(shù)學(xué)概念教學(xué)時，教師要幫助學(xué)生抽象出定義，還應(yīng)考慮如何使數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化學(xué)生思維中的具體.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的目的就是實踐.學(xué)生對概念的掌握是在頭腦中主動地進行思維.它能使已有知識再一次具體形象化，能使概念的理解更全面化、深刻化.數(shù)學(xué)家波利亞說過：“一個有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量題目，還不如適當(dāng)?shù)剡x擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個方面，在指導(dǎo)學(xué)生解題的過程中，提高他們的才智與推理能力.”這一思想與我國的變式教學(xué)相吻合.變式數(shù)學(xué)能提供一定的學(xué)習(xí)前景，能激發(fā)學(xué)生思考問題，指導(dǎo)學(xué)生對各種信息進行加工和轉(zhuǎn)換.學(xué)生進行歸納總結(jié)能發(fā)現(xiàn)各種變式的實質(zhì)聯(lián)系.在解決變式的過程中，學(xué)生對概念、原理形成深刻的理解有利于建立良好地知識結(jié)構(gòu).因此，在概念的教學(xué)中運用變式鞏固強化概念，可以使學(xué)生從多角度認識概念，良好地實現(xiàn)知識的遷移，從而掌握概念的本質(zhì)屬性.在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，巧用變式，對于學(xué)生形成清晰的概念有明顯的促進作用，它有利于開發(fā)學(xué)生的思維，使學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，可以使概念的本質(zhì)屬性更加突出，達到化難為易的效果.同時也有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的積極性、主動性.

如，函數(shù)概念表示的多樣性，一方面表現(xiàn)在定義域、值域表示的多樣性，可以用集合、區(qū)間、不等式等不同形式來表示；另一方面表現(xiàn)在它可以用圖像、表格、對應(yīng)、解析式等方法表示，從每一種表示中都可以獨立地抽象出函數(shù)的概念來.認識學(xué)習(xí)函數(shù)概念一般有三個角度：用變量的依賴關(guān)系認識函數(shù)、用圖像認識函數(shù)、用對應(yīng)關(guān)系認識函數(shù).

（四）重視概念圖式的建構(gòu)

APOS理論指出，數(shù)學(xué)的建構(gòu)還要上升到“圖式階段”，即在知識的整體結(jié)構(gòu)中深化概念的認識和理解.“圖式階段”是一個循序漸進的建構(gòu)過程，首先是數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)，包括數(shù)學(xué)概念的抽象過程、定義、實例、形式化表示、子概念（如定義域、值域、對應(yīng)法則）；在此基礎(chǔ)上，加強概念與其他概念的區(qū)別和聯(lián)系，建構(gòu)起概念網(wǎng)絡(luò).教師應(yīng)加強引導(dǎo)學(xué)生在知識體系的整體中深化對概念的理解.

例如，在著名的建筑物或公園中代表性景點等實物中尋找?guī)缀螆D形，發(fā)現(xiàn)重要幾何特征和性質(zhì)，通過學(xué)生動手繪制和測量這些幾何體中相關(guān)的量，老師帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、運用公式進行練習(xí)，并在其中嘗試體驗數(shù)學(xué)在生活中的運用，認識它的優(yōu)越性.這樣在學(xué)生頭腦中建立棱柱、棱錐、圓柱、圓錐的心理表征、直觀的實例、概念形成過程、定義形式（抽象的）四者之間的聯(lián)系與區(qū)別.老師引導(dǎo)學(xué)生思考它們的聯(lián)系與區(qū)別，然后幫助學(xué)生建立合理的圖式，讓學(xué)生自主建構(gòu)知識，幫助學(xué)生在頭腦中建立知識網(wǎng)絡(luò).當(dāng)然學(xué)生建構(gòu)概念的圖式層面是學(xué)習(xí)的最高階段，在現(xiàn)有教學(xué)環(huán)境下很多學(xué)生難以達到這一層面.例如，為什么要學(xué)習(xí)二次函數(shù)？學(xué)習(xí)二次函數(shù)的本質(zhì)是什么？

四、結(jié)束語

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是教師教學(xué)研究的一個重要課題.雖然數(shù)學(xué)概念種類繁多，但在APOS理論指導(dǎo)下，注重概念的背景、概念的形成，注重概念的對象化和圖式的建構(gòu)，采用符合學(xué)生認知水平的概念教學(xué)方法和策略，優(yōu)化教與學(xué)的環(huán)節(jié)，有效提高概念教學(xué)的水平，從而在數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法之間建立有機的結(jié)合，形成完整的系統(tǒng).

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