摘要：本文對選擇山西省旅游景點的最優(yōu)方案進行了研究，通過使用層次分析法從備用選擇的10個景點中，以景色、路程、交通情況、當?shù)仫嬍?、門票、文化氛圍作為準則，對這些景點進行了評價，最終選出3個，在求最大特征值和歸一化向量的計算中使用MATLAB編程求解，避免了一些復(fù)雜的計算。

關(guān)鍵詞：層次分析法；景點評價；MATLAB；最優(yōu)方案

1.概念

層次分析法（Analytic Hierarchy Process，簡稱AHP）是對一些較為繁瑣問題作出決策的簡易方法，它尤其適用于那些不易完全定量分析的問題，是一種層次化的、定性和定量相結(jié)合的分析方法。近年發(fā)展起來的系統(tǒng)分析是一種新方法，而層次分析法是其數(shù)學(xué)工具之一。它是美國運籌學(xué)家T.L.Saaty教授于上世紀70年代初期提出的一種簡便而又實用的多準則決策方法。

2.層次分析法的原理與步驟

2.1建立層次結(jié)構(gòu)模型。應(yīng)用層次分析法處理決策問題時，首先要把問題層次化，構(gòu)造出一個有層次的結(jié)構(gòu)模型。在模型中，復(fù)雜問題被分解為因素的組成部分。這些因素又按其屬性及關(guān)系形成幾個層次。上一層次的因素對下一層次有關(guān)因素起支配作用。這些層次可分為三類：（1）最高層：這一層次中通常只有一個因素，一般它是分析問題的設(shè)定目標或最終結(jié)果，因此也稱為目標層。（2）中間層：這一層次中包含了為實現(xiàn)目標所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可以由若干個層次組成，包括所需考慮的準則、子準則，因此也稱為準則層。（3）最底層：這一層次包括了為實現(xiàn)目標可供選擇的各種措施、決策方案等，因此也稱為措施層或方案層。

在層次分類及因素選取時，我們要注意三點：1）上層對下層有支配作用；2）同一層因素不存在支配關(guān)系（相互獨立）；3）每層因素一般不要超過9個。

2.2構(gòu)造成對比較陣。面對的決策問題：要比較n個因素x1、x2…xn對目標z的影響。我們要確定它們在C中所占的比重，即這n個因素對目標C的相對重要性。我們用兩兩比較的方法將各因素的重要性量化。每次取兩個因素xi和xj，用正數(shù)aij表示與aij=SX1aijSX），aij>0，i，j=1，…，n的重要性之比。全部比較結(jié)果得到的矩陣A=（aij）n*n稱為成對比較陣。顯然有如何選取aij呢？薩迪提出了一種方法：用數(shù)字1，2，…，9及其倒數(shù)1/2，1/3，…，1/9作為標度，其意義是在每兩個級別之間有一個中間狀態(tài)，可分別取值2，4，…，8。xi比xj的值aij取1表示重要性相同，取3表示稍重要，取5表示重要，取7表示很重要，取9表示絕對重要。

2.3一致性檢驗。顯而易見，矩陣A的一致性是不可能的，但只要它的不一致性不是很離譜，我們還是可以接受的。薩迪提出了一個衡量可接受指標以及計算該指標的方法。分為三步：（1）計算一致性指標CI（consistency index）用來衡量A的不一致程度。CI=SXλmax-nn-1SX）（2）查找相應(yīng)的平均隨機一致性指標RI（random index）。

但是對于階數(shù)高的矩陣集，求出其全部樣本點的工作量是很大的，我們只要在這個集合中取機抽取出足夠的樣本點，用這些樣本點來運算出λ′max的一近似值來代替λ′max?？梢宰C明當抽取樣本點的個數(shù)足夠多時，兩者值是非常接近的。n為1，2，3，4，5，6，7，8，9時，RI分別取0，0，0.58，0.90，1.12，1.24，1.32，1.41，1.45。所以平均一致性指標是這樣得到的：對于固定的n，隨機構(gòu)造成對比較陣A′=（aij）′。從中取充分多的樣本得到λ′max，并定義RI=SXλ′max-nn-1SX）。（3）計算一致性比例CR（consistency ratio）CR=SXCIRISX）RI=SXλ′max-nn-1SX）

結(jié)論：當CR<0.1時，就可以認為矩陣A的不一致性是可以接受的，當CR>0.1時，則應(yīng)設(shè)法修改比較陣A直至達到可接受為止。

2.4計算權(quán)重向量。當我們構(gòu)造出了可接受的對比較陣A=（aij）n*n，我們就可以計算此層中n個因素在目標C中所占的權(quán)重，將這些權(quán)重寫成向量并歸一化即得權(quán)向量W=（w1，w2，…wn）T。

2.5層次總排序即求各方案的綜合分數(shù).前面我們求的均是在一層中各因素的權(quán)重，稱為單層次排序。不妨設(shè)準則層權(quán)向量W=（w1，w2，…wn）T，而方案層有l(wèi)個方案可供備選，且每個方案的權(quán)向量分別為β1，β2，…，βl。那么每個方案對最終目標的影響程度C1，C2，…Cl）T就可以通過下面的式子算出來了。

C1，C2，…Cl）T=（β1，β2，…，βl）l*n·（w1，w2，…wn）T

其中就是第L個方案在目標C中所占的比重，也就是第L個方案的最終得分，得分最高的方案即為最優(yōu)方案。

3.應(yīng)用及程序

某游客計劃假期在山西旅行，通過網(wǎng)上查詢，可去的景點有云岡石窟、應(yīng)縣木塔、五臺山、晉祠、壺口瀑布、北武當山、臨汾堯廟、喬家大院、綿山，他以景色，路程，交通情況，飲食，門票，文化氛圍作為選擇3處旅游地的因素?，F(xiàn)就其問題進行抉擇，在10個景點中選出3個最佳目的地。主要步驟如下：

（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型如圖1

王鵬.TIF；%60%60TS（JZHT7.H圖1TS）KH*2

（2）構(gòu)造比較陣，準則層矩陣B，準則層的判斷矩陣有。

（3）將以上數(shù)據(jù)輸入，運行MATLAB程序求出最大特征值及特征向量，進而得出平均隨機一致性指標RI，一致性比例CR。

主要程序：[v，d]=eigs（B）；tbmax=max（d（：））；[m，n]=size（v）；

表1輸出結(jié)果

由表計算，CR值均滿足小于01，都通過一致性檢驗。

（4）最終的結(jié)果為：C1，C2，…Cl）T=[0044 0042 0093 0101 0088 0038 0067 0063 0091 0095]T；最終目標權(quán)重前三位為0101，0093，0091。結(jié)果表明晉祠，五臺山，喬家大院為最佳目的地。

4.結(jié)語

本文運用層次分析法對來山西旅游的游客如何從10個景點中選擇出3個景點進行了討論，其實也可以對更多的景點進行綜合選擇，給游客帶來方便的同時，也給有關(guān)管理部門一定的參考意見，為當?shù)芈糜蔚陌l(fā)展提供一些參考。本文所選的因素并不全面，此外對于旅游者擇地的因素和景點的評價分類較為簡單，仍需不斷改進。（作者單位：長安大學(xué)信息工程學(xué)院）

參考文獻：

[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，2010，249-256

[2]董守貴.基于MATLAB的層次分析法實現(xiàn)航空兵器，2003，4：16—18.