所謂“備課”，簡(jiǎn)單說就是對(duì)“上課”的準(zhǔn)備過程，這種準(zhǔn)備過程應(yīng)當(dāng)是教師主動(dòng)思考和學(xué)習(xí)的過程，是腦力勞動(dòng)，而不是體力勞動(dòng)。在與一線小學(xué)教師共同備課的時(shí)候，筆者發(fā)現(xiàn)他們對(duì)備課的認(rèn)識(shí)存在著誤解。

一、備課的誤解

第一個(gè)誤解是把“寫教案”等同于“備課”。有學(xué)校把定期檢查教師的教案作為管理教學(xué)質(zhì)量的手段，認(rèn)為教案的質(zhì)量等同于教學(xué)質(zhì)量，導(dǎo)致一些教師養(yǎng)成了為應(yīng)付檢查而寫教案的習(xí)慣，使得備課成為被動(dòng)的“抄寫”活動(dòng)，失去了主動(dòng)的思考和學(xué)習(xí)，備課并沒有成為上課的準(zhǔn)備，而成為了“不得已而為之”的負(fù)擔(dān)，備課沒有成為主動(dòng)的腦力勞動(dòng)，而成了被動(dòng)的體力勞動(dòng)。

事實(shí)上，教案就是對(duì)課堂教學(xué)的一個(gè)計(jì)劃和安排（Lesson Plan），應(yīng)當(dāng)是對(duì)備課中思考和學(xué)習(xí)的一個(gè)記錄。這個(gè)記錄可以寫出來，也可以不寫出來；可以寫得很詳細(xì)，也可以寫得很簡(jiǎn)略，甚至也可以不寫出來。教案是為教師自身教學(xué)所使用的，因此寫出來還是不寫出來、寫得詳細(xì)還是粗略，應(yīng)當(dāng)由教師依據(jù)自身情況和需要自由決定，而不應(yīng)當(dāng)按照某一種模式硬性地統(tǒng)一要求。備課的質(zhì)量是由教師主動(dòng)“思考和學(xué)習(xí)”的質(zhì)量決定的，而不是由寫不寫教案或者教案寫成什么樣子決定的。備課的水平?jīng)Q定了教學(xué)質(zhì)量，而教學(xué)質(zhì)量最終是靠培養(yǎng)出來的學(xué)生的質(zhì)量來檢驗(yàn)的。因此，試圖通過檢查教案的方式檢驗(yàn)教師的教學(xué)質(zhì)量，顯然是不妥的。

第二個(gè)誤解是備課內(nèi)容追求全面，其結(jié)果是備課中需要思考的內(nèi)容變得“復(fù)雜化”和“形式化”。比如，要求書寫格式必須包括“課題名稱、教學(xué)目標(biāo)、重點(diǎn)難點(diǎn)、教學(xué)過程、板書設(shè)計(jì)”等，其中“教學(xué)目標(biāo)”必須包括所謂的“三維目標(biāo)”。一些地區(qū)開展的說課比賽中，組織者更是規(guī)定了“八股文”式的模板，規(guī)定說課內(nèi)容要包括“指導(dǎo)思想與理論依據(jù)，教材分析與學(xué)情分析，教學(xué)目標(biāo)與重點(diǎn)難點(diǎn)，教學(xué)流程與教具學(xué)具，教學(xué)評(píng)價(jià)與方式方法，教學(xué)特色與教學(xué)反思”，其中的“教材分析”必須包括多個(gè)版本教科書的對(duì)比分析，“學(xué)情分析”必須通過所謂的“前測(cè)”來進(jìn)行。試想，在日常教學(xué)中，教師準(zhǔn)備40分鐘的一節(jié)課，怎么可能去認(rèn)真思考如此煩瑣的內(nèi)容？在這樣的模板下，教師的備課不是獨(dú)立地思考和學(xué)習(xí)，而是在揣摩“檢查者”或“評(píng)委”想法的基礎(chǔ)上的“東抄西抄”，當(dāng)然也就談不上發(fā)揮教師的主動(dòng)性和創(chuàng)造性了。這種追求全面的備課要求實(shí)質(zhì)上是“把簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化”，使人無(wú)法聚焦重點(diǎn)，自然就不能使得思考深入，只能是“用華麗的詞匯掩蓋空虛的內(nèi)容”。

第三個(gè)誤解是備課中的思維方式模式化。在不同地區(qū)、不同學(xué)校經(jīng)常聽到一些模式化的說法。比如，“必須要有生活情境，必須要有直觀模型”，等等。無(wú)論是“生活情境”還是“直觀模型”都屬于教學(xué)的方法與手段，方法與手段是為內(nèi)容和目的服務(wù)的。不同的內(nèi)容和目的所適用的方法和手段可能是不同的。這些模式化的思維方式可能是來源于一線教師對(duì)所謂“專家”的迷信，認(rèn)為專家說的都是正確的。中國(guó)教育的一個(gè)特點(diǎn)是眾多的沒有做過中小學(xué)教師的專家在指導(dǎo)著中小學(xué)教育教學(xué)。這樣的指導(dǎo)可以說是利弊參半，最不可取的指導(dǎo)有兩種類型，一種是把外國(guó)人的話變成晦澀的中文灌輸給教師，使得教師誤認(rèn)為“外國(guó)的就是先進(jìn)的”“聽不懂的就是高深的”理論；第二種是“有想法、沒辦法”的所謂指導(dǎo)，這種“眼高手低”的指導(dǎo)給人的感覺是高高在上、可望而不可即，空談理念和意義，對(duì)于教育教學(xué)中的實(shí)際問題說不出解決辦法。這樣“沒錯(cuò)且沒用”的指導(dǎo)只會(huì)使得一線教師慢慢習(xí)慣于高談闊論式的教學(xué)研究，而對(duì)于教育教學(xué)中的實(shí)際問題卻視而不見。

第四個(gè)誤解是只關(guān)注教學(xué)內(nèi)容，而忽視課堂組織形式的設(shè)計(jì)。什么樣的任務(wù)適合獨(dú)立思考？什么樣的任務(wù)適合同伴交流？什么樣的任務(wù)適合小組合作？每一個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)需要安排多少時(shí)間？完成任務(wù)后應(yīng)當(dāng)如何組織匯報(bào)？學(xué)生匯報(bào)過程中如何組織其他學(xué)生的傾聽與交流？這些問題其實(shí)都是需要在備課過程中認(rèn)真思考并有所安排的。

綜上，備課作為教師上課前的準(zhǔn)備活動(dòng)，應(yīng)當(dāng)是一個(gè)個(gè)性化的活動(dòng)，并沒有統(tǒng)一的模式。備課永遠(yuǎn)不會(huì)有最好的模式，每一位教師都可以創(chuàng)造出最適合自己以及自己學(xué)生的備課方式。從某種意義上說，這也是“教無(wú)定法”的一種體現(xiàn)。

“變教為學(xué)”的教學(xué)從知識(shí)安排的角度說，強(qiáng)調(diào)突出本質(zhì)和實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)，所謂“突出本質(zhì)”就是明晰知識(shí)屬性，由此可以確定其學(xué)習(xí)的過程與方法。[1]“實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)”的一個(gè)重要方面是把“新”內(nèi)容與學(xué)生已經(jīng)熟悉的內(nèi)容建立聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)“化未知為已知”。為此，備課中需要思考和研究的一個(gè)重要問題就是辨別“新”知識(shí)。

二、辨別“新”知識(shí)

辨別新知識(shí)是確定學(xué)習(xí)目標(biāo)的基礎(chǔ)。這樣的思考關(guān)注哪些內(nèi)容對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)來說是“新”的、哪些是學(xué)生已經(jīng)熟悉的，這將成為設(shè)計(jì)“怎樣學(xué)”的依據(jù)。下面以“小數(shù)乘法”和“小數(shù)除法”為例說明。“小數(shù)乘法”是在學(xué)習(xí)了“整數(shù)乘法”“小數(shù)的認(rèn)識(shí)”以及“小數(shù)加減法”之后的內(nèi)容，應(yīng)當(dāng)說是以上內(nèi)容的重新組合，從數(shù)學(xué)的角度看，這種“重組”并沒有出現(xiàn)什么新知識(shí)。但從學(xué)生的學(xué)習(xí)來說，就可能存在著學(xué)生所不熟悉的“新”內(nèi)容。

學(xué)生之前對(duì)“乘法”的認(rèn)識(shí)是“相同加數(shù)求和”，如果把這種認(rèn)識(shí)用于對(duì)小數(shù)乘法的理解就會(huì)產(chǎn)生困難。比如，小數(shù)乘整數(shù)的“0.5×3”，可以理解為是“3個(gè)0.5相加”，也就是“0.5+0.5+0.5”，但是反過來“0.5個(gè)3相加”就不好理解了。類似地小數(shù)乘小數(shù)“0.5×0.3”，用“相同加數(shù)求和”也很難理解其含義。

“小數(shù)除法”也是類似，學(xué)生過去所熟悉的整數(shù)除法算式一般有兩種理解方式，比如對(duì)于“24÷4”，第一種理解是“24中包含有多少個(gè)4”；第二種理解是“把24平均分為4份，每份是多少”。不妨把第一種理解簡(jiǎn)稱為“包含除”，第二種簡(jiǎn)稱為“等分除”。對(duì)于“22.4÷4”如果用“包含除”理解，那就是問“22.4中包含有多少個(gè)4”。這樣的理解對(duì)于如圖1的豎式計(jì)算過程就難以解釋了。

圖1計(jì)算過程實(shí)際上分為兩步，用“包含除”的語(yǔ)言說，第一步算出了“22中包含有5個(gè)4”，剩余部分是“2.4”，比除數(shù)4小，就無(wú)法用“包含除”的語(yǔ)言繼續(xù)解釋下面的“2.4÷4”了。只能用“等分除”的語(yǔ)言敘述為“把2.4平均分為4份，每份是多少”，如果除數(shù)也是小數(shù)，同時(shí)被除數(shù)小于除數(shù)，那么無(wú)論是用“包含除”還是“等分除”都很難解釋除法算式的含義。比如“0.1÷0.2”，既不能說成“0.1中包含有多少個(gè)0.2”，也不能說成“把0.1平均分為0.2份，每份是多少”。

另外，學(xué)生學(xué)習(xí)“整數(shù)乘法”和“整數(shù)除法”后會(huì)不自覺地形成兩種認(rèn)識(shí)，第一種認(rèn)識(shí)是“乘法使得結(jié)果變大”“除法使得結(jié)果變小”。[2]第二種認(rèn)識(shí)是做除法的時(shí)候“被除數(shù)總是大于除數(shù)”的。這兩種認(rèn)識(shí)在學(xué)習(xí)小數(shù)乘除法的時(shí)候都發(fā)生了變化。因此，在學(xué)習(xí)小數(shù)乘法和小數(shù)除法之前，首先需要學(xué)習(xí)的“新”知識(shí)不是程序化的“算法”，而是針對(duì)小數(shù)乘法算式和除法算式含義的理解。

三、為新、舊知識(shí)搭橋

辨明對(duì)學(xué)生來說可能的新知識(shí)后，需要思考的重要問題是如何把“新”知識(shí)變成“舊”知識(shí)，也就是把新知識(shí)與學(xué)生已經(jīng)熟悉的知識(shí)或者經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系。

對(duì)于“小數(shù)乘法”，一種較為普遍的學(xué)習(xí)方式是借助長(zhǎng)方形的面積。圖2正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，所以面積為1。

在圖2正方形的AB邊上截取0.5長(zhǎng)度，AD邊上截取0.3長(zhǎng)度，那么長(zhǎng)方形AEFG的面積就可以用“0.5×0.3”表示。類似于這樣的方法在國(guó)內(nèi)外小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中普遍采用，比如人民教育出版社出版的《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)中對(duì)小數(shù)乘法的引入，就采用了求面積引入小數(shù)乘法。

在國(guó)外的數(shù)學(xué)教學(xué)中把用長(zhǎng)方形面積展示小數(shù)乘法過程叫作小數(shù)乘法的“直觀化（Visualization）”，比如對(duì)于“5.7×1.4”的計(jì)算過程和結(jié)果，就可以用下面的圖形直觀地展示出來。[3]

圖4 小數(shù)乘法示意圖

用長(zhǎng)方形面積直觀理解小數(shù)乘法，實(shí)際上是默認(rèn)了一個(gè)前提，就是邊長(zhǎng)為小數(shù)的長(zhǎng)方形面積可以用“長(zhǎng)×寬”計(jì)算，這一點(diǎn)與學(xué)生之前的經(jīng)驗(yàn)并不相符。所謂“長(zhǎng)×寬”的長(zhǎng)方形面積公式，學(xué)生最初是用“數(shù)方格”的辦法學(xué)習(xí)的，數(shù)字“1”對(duì)應(yīng)的是一個(gè)方格，邊長(zhǎng)都是整數(shù)。而在圖4中數(shù)字“1”對(duì)應(yīng)的是一個(gè)“大方格”，其中還包含了100個(gè)“小方格”，實(shí)際上是把小數(shù)變成整數(shù)進(jìn)行理解，并沒有揭示小數(shù)乘法的真正含義，仍然會(huì)對(duì)學(xué)生理解小數(shù)乘法構(gòu)成困難。

對(duì)小數(shù)乘法算式真正的理解需要借助分?jǐn)?shù)的思維方式，用分?jǐn)?shù)的眼光看待小數(shù)及其乘法運(yùn)算。比如0.5可以看作是或者，把0.3看作是。那么“0.5×0.3”就可以理解為“0.5的”或者“0.3的”。兩者的相等關(guān)系可以從下面的圖5中看出：

0.5的：

0.3的：

圖5 0.5×0.3的理解圖示

在實(shí)際的購(gòu)物問題中就可能出現(xiàn)類似的計(jì)算，比如，“一個(gè)物品的價(jià)格是0.3元，買半個(gè)多少元？”這個(gè)問題可以用“0.5×0.3”來計(jì)算，實(shí)質(zhì)上是用求“0.3的”進(jìn)行思考的。行程問題中，如果一個(gè)人的步行速度是平均每分鐘0.12千米，那么半分鐘步行距離就可以用“0.12×0.5”來計(jì)算，也是運(yùn)用了“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾”的思維方式。

在這樣理解的基礎(chǔ)上，應(yīng)當(dāng)可以對(duì)小數(shù)乘法的

結(jié)果進(jìn)行口算或估計(jì)。比如，“0.5×0.3”是“0.3的”，因此結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“0.15”。再比如，“5.7×1.4”，由于“5.7”接近5的和6，“1.4”接近1.5。因此，可以知道“5.7×1.4”應(yīng)當(dāng)比“5的一倍半”大，比“6的一倍半”小，也就是這個(gè)結(jié)果應(yīng)當(dāng)介于7.5和9之間，在沒有精確計(jì)算的時(shí)候，利用分?jǐn)?shù)的思維方式已經(jīng)估計(jì)出了準(zhǔn)確結(jié)果所在的范圍，這對(duì)將來算法的學(xué)習(xí)是十分有益的。

對(duì)于小數(shù)除法來說，最難理解的情況是“除數(shù)是整數(shù)部分為0的小數(shù)，并且被除數(shù)小于除數(shù)”，對(duì)于這樣的情況可以利用“比和比例”的思維方式進(jìn)行理解。比如，一個(gè)物品單價(jià)為0.2元，如果某顧客只有0.1元，可以買多少？這個(gè)問題可以通過計(jì)算“0.1÷0.2=0.5”來解決。這樣的方法實(shí)質(zhì)上是利用了“總價(jià)”與“數(shù)量”成正比例，也就是說“0.2元與0.1元之間的倍數(shù)關(guān)系”與“1個(gè)物品和0.5個(gè)物品之間的倍數(shù)關(guān)系”是一樣的。這樣的關(guān)系可以從圖6的表格中明顯看出：

總價(jià)（元） 0.2 0.1 …

數(shù)量（個(gè)） 1 0.5 …

圖6 總價(jià)、數(shù)量關(guān)系圖

這個(gè)時(shí)候“0.1÷0.2”既不是“等分除”，也不是“包含除”，而表達(dá)的是0.1與0.2之間的倍數(shù)關(guān)系，這實(shí)際上就是“比和比例”的思維方式。再比如，中國(guó)古代重量的計(jì)量單位有“斤”和“兩”，兩者的關(guān)系為1斤等于16兩。因此有一個(gè)成語(yǔ)叫作“半斤八兩”，表示勢(shì)均力敵、不相上下的意思。如果在已知“半斤”等于“八兩”的基礎(chǔ)上問“0.2斤等于多少兩”？其間的數(shù)量關(guān)系可以用圖7的表格展示出來：

斤 0.5 0.2 ……

兩 8 ？ ……

圖7 半斤八兩示意圖

此時(shí)用“0.2÷0.5”得到的“0.4”就是0.2與0.5之間的倍數(shù)關(guān)系，由于“？”與“8”也符合這樣的倍數(shù)關(guān)系，所以0.2斤對(duì)應(yīng)的就是“8×0.4=3.2（兩）”。

因此，對(duì)于小數(shù)乘、除法一種有效的理解方式是充分利用計(jì)量單位之間的比例關(guān)系。小學(xué)階段含有這種計(jì)量單位的“量（magnitude）”主要包括描述物體“大小”的長(zhǎng)度、面積、體積；描述物體“輕重”的重量（質(zhì)量）；描述價(jià)值“貴賤”的人民幣；描述經(jīng)歷“長(zhǎng)短”的時(shí)間；描述“冷熱”的溫度；描述“快慢”的速度；描述旋轉(zhuǎn)或者“張開程度”的角。凡此都可以成為理解小數(shù)乘、除法算式的素材，成為溝通新、舊知識(shí)的橋梁。雖然比、比例以及正、反比例等都屬于六年級(jí)的課程內(nèi)容，但相關(guān)的方法和思維方式是在數(shù)學(xué)課程中貫穿始終的。

以上關(guān)于“小數(shù)乘、除法”的課程內(nèi)容具有“似舊不舊”的特點(diǎn)，也就是表面看沒有新內(nèi)容，而實(shí)際上存在著與學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)不同甚至相悖的內(nèi)容。因此，備課中應(yīng)當(dāng)著力挖掘其中蘊(yùn)含著的“新”內(nèi)容，這些新內(nèi)容將成為學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

四、似新未必新

數(shù)學(xué)課程中還有一類與“似舊不舊”相對(duì)的課程內(nèi)容，可以叫作“似新不新”，也就是表面看是新知識(shí)，而實(shí)際上學(xué)生之前對(duì)其已經(jīng)具有了相當(dāng)豐富的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。備課中一個(gè)重要工作就是把“似新”的內(nèi)容與學(xué)生已經(jīng)熟悉的內(nèi)容溝通聯(lián)系，使之成為“不新”的內(nèi)容?！皥A的面積”通常被認(rèn)為是難教并且難學(xué)的課程內(nèi)容。事實(shí)上如果溝通了圓與三角形的關(guān)系，學(xué)生完全可以自己推導(dǎo)出圓的面積公式。[4]如圖8，首先把一個(gè)半徑為r的圓面內(nèi)部畫出若干同心圓：

然后想象將這些同心圓逐一取出：

接下來想象將圖9中所有同心圓從某處剪開并拉直，依次擺放在一起：

這樣就形成了一個(gè)兩條直角邊分別為半徑“r”和圓周長(zhǎng)“2πr”的直角三角形。

所有變換過程并沒有使得面積發(fā)生改變，因此圖11三角形的面積與原來圖8圓形面積相等，因此利用三角形面積公式就可以求出圓的面積為πr2了。這樣的過程與之前學(xué)生所熟悉的將“平行四邊形”轉(zhuǎn)化為“長(zhǎng)方形”求出平行四邊形面積公式的過程是一樣的。[5]另外，這樣的過程實(shí)質(zhì)上是利用了微積分中所謂“分割、求和、取極限”的方法，也是利用“離散量”研究“連續(xù)量”的過程。[6]

“變教為學(xué)”主旨在于讓學(xué)生自己經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)與發(fā)明，這就要求教師備課中需要認(rèn)真研究并且辨別新知識(shí)，進(jìn)而溝通其與舊知識(shí)的聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上為學(xué)生設(shè)計(jì)有效的學(xué)習(xí)任務(wù)和學(xué)習(xí)活動(dòng)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 郜舒竹. “變教為學(xué)”說備課[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）. 2014，（1/2）.

[2] Anna O. Graeber and Dina Tirosh. Insights Fourth and Fifth Graders Bring to Multiplication and Division with Decimals[J]. Educational Studies in Mathematics， Vol. 21， No. 6 （Dec.， 1990）， pp. 565-588.

[3] Margaret Rathouz.Visualizing Decimal Mulyiplication with Drea Models：Oppor Tuniies and Challengesc.[J]. IUMPST： The Journal. Vol 2 （Pedagogy）， August， 2011. [www.k-12prep.math.ttu.edu].

[4]郜舒竹，夏寶霞. “幾何直觀”觀什么[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）. 2013，（4）.

[5]郜舒竹. 由此及彼，探索規(guī)律[[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）. 2013，（12）.

[6]郜舒竹. 為教師的微積分[M]. 北京：首都師范大學(xué)出版社，2012.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）

然后想象將這些同心圓逐一取出：

接下來想象將圖9中所有同心圓從某處剪開并拉直，依次擺放在一起：

這樣就形成了一個(gè)兩條直角邊分別為半徑“r”和圓周長(zhǎng)“2πr”的直角三角形。

所有變換過程并沒有使得面積發(fā)生改變，因此圖11三角形的面積與原來圖8圓形面積相等，因此利用三角形面積公式就可以求出圓的面積為πr2了。這樣的過程與之前學(xué)生所熟悉的將“平行四邊形”轉(zhuǎn)化為“長(zhǎng)方形”求出平行四邊形面積公式的過程是一樣的。[5]另外，這樣的過程實(shí)質(zhì)上是利用了微積分中所謂“分割、求和、取極限”的方法，也是利用“離散量”研究“連續(xù)量”的過程。[6]

“變教為學(xué)”主旨在于讓學(xué)生自己經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)與發(fā)明，這就要求教師備課中需要認(rèn)真研究并且辨別新知識(shí)，進(jìn)而溝通其與舊知識(shí)的聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上為學(xué)生設(shè)計(jì)有效的學(xué)習(xí)任務(wù)和學(xué)習(xí)活動(dòng)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 郜舒竹. “變教為學(xué)”說備課[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）. 2014，（1/2）.

[2] Anna O. Graeber and Dina Tirosh. Insights Fourth and Fifth Graders Bring to Multiplication and Division with Decimals[J]. Educational Studies in Mathematics， Vol. 21， No. 6 （Dec.， 1990）， pp. 565-588.

[3] Margaret Rathouz.Visualizing Decimal Mulyiplication with Drea Models：Oppor Tuniies and Challengesc.[J]. IUMPST： The Journal. Vol 2 （Pedagogy）， August， 2011. [www.k-12prep.math.ttu.edu].

[4]郜舒竹，夏寶霞. “幾何直觀”觀什么[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）. 2013，（4）.

[5]郜舒竹. 由此及彼，探索規(guī)律[[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）. 2013，（12）.

[6]郜舒竹. 為教師的微積分[M]. 北京：首都師范大學(xué)出版社，2012.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）

然后想象將這些同心圓逐一取出：

接下來想象將圖9中所有同心圓從某處剪開并拉直，依次擺放在一起：

這樣就形成了一個(gè)兩條直角邊分別為半徑“r”和圓周長(zhǎng)“2πr”的直角三角形。

所有變換過程并沒有使得面積發(fā)生改變，因此圖11三角形的面積與原來圖8圓形面積相等，因此利用三角形面積公式就可以求出圓的面積為πr2了。這樣的過程與之前學(xué)生所熟悉的將“平行四邊形”轉(zhuǎn)化為“長(zhǎng)方形”求出平行四邊形面積公式的過程是一樣的。[5]另外，這樣的過程實(shí)質(zhì)上是利用了微積分中所謂“分割、求和、取極限”的方法，也是利用“離散量”研究“連續(xù)量”的過程。[6]

“變教為學(xué)”主旨在于讓學(xué)生自己經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)與發(fā)明，這就要求教師備課中需要認(rèn)真研究并且辨別新知識(shí)，進(jìn)而溝通其與舊知識(shí)的聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上為學(xué)生設(shè)計(jì)有效的學(xué)習(xí)任務(wù)和學(xué)習(xí)活動(dòng)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 郜舒竹. “變教為學(xué)”說備課[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）. 2014，（1/2）.

[2] Anna O. Graeber and Dina Tirosh. Insights Fourth and Fifth Graders Bring to Multiplication and Division with Decimals[J]. Educational Studies in Mathematics， Vol. 21， No. 6 （Dec.， 1990）， pp. 565-588.

[3] Margaret Rathouz.Visualizing Decimal Mulyiplication with Drea Models：Oppor Tuniies and Challengesc.[J]. IUMPST： The Journal. Vol 2 （Pedagogy）， August， 2011. [www.k-12prep.math.ttu.edu].

[4]郜舒竹，夏寶霞. “幾何直觀”觀什么[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）. 2013，（4）.

[5]郜舒竹. 由此及彼，探索規(guī)律[[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)）. 2013，（12）.

[6]郜舒竹. 為教師的微積分[M]. 北京：首都師范大學(xué)出版社，2012.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）