郁紅

源起·追溯·思索

【源起】“9加幾”作為20以內(nèi)進位加法的第一課時，歷來受到教師們的青睞，經(jīng)常用于展示課、研討課的教學。然而，筆者在聽了多位教師對這一內(nèi)容的課堂教學后發(fā)現(xiàn)他們之間都或多或少地存在著一些共同的問題。

（1） 9加幾內(nèi)容簡單，很難上出層次感。

（2）計算方法單一，就是“湊十法”，課堂重復性高，趣味性因而不夠強。即使有多樣的算法也是為迎合教師的需求而出現(xiàn)。

（3）很多學生在學習“湊十法”之前已經(jīng)會計算9加幾，倘若根據(jù)教材編排先動手擺一擺再提煉方法，顯得有點滯后，學生的操作沒有實際意義。

（4）一節(jié)課下來，學生未能體會“湊十法”的優(yōu)越性。

翻閱資料，筆者發(fā)現(xiàn)專家們對此課爭論最多的是“9加幾算法多樣化與最優(yōu)化”這一問題。一部分人認為，“湊十法”是最優(yōu)化的方法，其他許多方法的實質(zhì)往往只是“湊十法”的衍生。因此，在“9加幾”的起始課中，教師應千方百計地將學生引導到“湊十法”上來。也有一部分人認為，由于學生生活背景和思維發(fā)展水平存在著比較大的差異，在起始課硬要拉學生學習“湊十法”，容易挫傷他們的學習積極性，應該讓學生自主選擇合適的方法相對比較合理。那么，這節(jié)課到底該教些什么？如何教呢？

【追溯】新課程倡導數(shù)學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數(shù)學知識之間的關聯(lián)?！?加幾”作為一節(jié)技能課，不僅要使學生掌握基本技能操作的程序，還要使學生理解程序和步驟的道理。作為教師，首先要做的是熟悉教材中的每個知識點、清楚知識鏈接的邏輯體系。此課的算理算法是什么、知識生長點在哪里，這些都是我們一線教師需要研究和分析的。為此筆者翻閱了相關資料，對算理、算法、十進制等文化進行了追溯。

算理就是計算過程中的道理，是指計算過程中的思維方式，解決為什么這樣算的問題。算法就是計算的方法，主要是指計算的法則，是簡約了復雜的思維過程，添加了人為規(guī)則后的程式化的操作步驟，解決如何算得方便、準確的問題。算理為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性和正確性，算法為計算提供了快捷的操作方法，提高了計算的速度；算理是算法的理論依據(jù)，算法是算理的提煉和概括，兩者相輔相成。

十進制計數(shù)法包括十進位和位值制兩條原則，“十進”即滿十進一；“位值”則是同一個數(shù)字由于所在位置的不同，表示的數(shù)值也不同。亞里士多德稱人類普遍使用十進制，只不過是絕大多數(shù)人生來就有10根手指這樣一個解剖學事實的結(jié)果。實際上，在古代世界獨立開發(fā)的有文字的計數(shù)體系中，除了巴比倫文明的楔形數(shù)字為六十進制、瑪雅數(shù)字為二十進制外，幾乎全部為十進制。

這些數(shù)學文化都是需要我們教師在課前就理解與明了的。

【思索】

（1）未學習之前，孩子們對“9加幾”的掌握程度如何？是僅會背答案式的計算，還是已初步掌握了算理與算法？

（2）除了人教版教材外，其他版本教材中對“9加幾”的內(nèi)容是如何設置、編排的？

（3）教師該如何辯證地使用教材，才有利于學生的體驗與探索？

前測·實施·剖析

【前測】本次前測分師生兩個層面展開。

教師層面：在區(qū)教師學科培訓時以“人教版9加幾”的教材為載體，采用訪談與問卷相結(jié)合的形式進行調(diào)研。主要目的是全面了解全區(qū)小學數(shù)學教師對教材的分析水平與教材缺失的補充能力。

學生層面：在中心城區(qū)小學與農(nóng)村小學各隨機抽測了部分一年級的學生（在“9加幾”教學前），分兩個梯度前測。梯度一，全員參與，口算9加幾；梯度二，訪談口算正確的學生，怎樣算、為什么這樣算？目的是較全面地了解一年級學生“9加幾”計算的一般狀態(tài)，為教學提供一個有效數(shù)據(jù)及錯例借鑒，也為下階段進一步學習相關內(nèi)容提供前位服務。

【剖析】結(jié)合前測的實施過程以及數(shù)據(jù)的收集匯總，筆者從師生兩個層次對“9加幾”的教材編排與教學策略進行了剖析。

教師層面：筆者專門就“9加幾”這課主題圖中直接提出“湊十法”、缺乏主動構(gòu)建以及此課的算理、算法、認知基點等問題和參加學科培訓的教師代表進行了交流，將教師們的意見匯總?cè)缦拢?/p>

表一：區(qū)學科培訓教師“9加幾”相關內(nèi)容調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計表（共計92人）

內(nèi)容 算理、算法 知識構(gòu)建 主題圖

情況 熟知 基本了解 茫然 完全清晰 部分清晰 茫然 完全認同 似有疑問 需要修改

人數(shù) 90 1 1 41 49 2 30 35 27

1.算理、算法清晰明了

分析上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)，我們不難發(fā)現(xiàn)，一線教師對于計算課中必須要掌握的算理與算法情況樂觀。他們基本上都能準確地說出“因為9加1可以湊成十，所以把4分成1和3，9加1等于10，10加3等于13”。可以說，我們一線教師對于“9加幾”這一課的算理與算法是胸有成竹的。

2.知識構(gòu)建喜憂參半

從知識構(gòu)建的經(jīng)緯度分析：知識構(gòu)建的經(jīng)度指的是同類知識間的縱向聯(lián)系（即前后聯(lián)系），比如此課的基礎是不進位加法，為以后進一步學習進位加法及退位減法等做好準備。知識構(gòu)建的緯度則是指跨類別知識的橫向溝通，如此課的知識生長點即是十進制與計數(shù)。

從上述統(tǒng)計表的第二欄“知識構(gòu)建”中我們可以發(fā)現(xiàn)，完全清晰與部分清晰的比例基本對等。這里的完全清晰是指知識的縱向聯(lián)系與橫向溝通均一清二楚（至少經(jīng)過提示可以想到），而部分清晰的49位教師一般是只能從縱向角度講出的是知識間的前后聯(lián)系，他們心目中此課的知識生長點一般是前面學習的不進位加法與數(shù)的認識，對于十進制、位值制這些橫向溝通則較少涉及。

從教材處理的能動性分析：不少教師認為教材是專家編的，而專家都是高水平的，所以教學過程只要按照教材內(nèi)容執(zhí)行即可。如此這般照本宣科，久而久之師生成了教材的“奴隸”。從統(tǒng)計表的第三欄就可以看出，依然有33%的教師對教材執(zhí)膜拜的態(tài)度；67%的教師則開始有辯證看教材的意識，并且在這部分教師中有近一半明確提出主題圖需要修改。endprint

學生層面：本次抽測共收回有效問卷582份，其中中心城區(qū)小學400份，農(nóng)村小學182份。筆者整理匯總了參測學生 “9加幾” 的口算情況及口算正確學生對“9加幾”算理、算法的了解程度，分析匯總?cè)缦拢〝?shù)據(jù)精確到小數(shù)點后一位）：

表二：“9加幾”口算情況統(tǒng)計表（5分鐘20題）

答對情況

地域 20題 15～19題 10～14題 5～9題 5題以下

中心城區(qū)小學 40.0% 35.0% 17.5% 5.0% 2.5%

農(nóng)村小學 26.9% 36.8% 14.8% 12.1% 9.4%

表三：“9加幾”算法、算理了解情況統(tǒng)計表

地域 算法 會表達算理

湊十法 背答案 扳手指

中心城區(qū)小學 47.0% 33.0% 20.0% 8.0%

農(nóng)村小學 31.9% 29.1% 39.0% 2.2%

1. 現(xiàn)實起點分析

隨著學前教育的逐步規(guī)范與家庭教育的日益重視，孩子們認知的現(xiàn)實起點也日漸提升。從上述兩個統(tǒng)計表中我們可以對比看到，無論是中心城區(qū)小學的孩子，還是農(nóng)村小學的學生，他們基本都在學習之前已經(jīng)會算9加幾的題目，而且計算正確的題數(shù)在15道及以上的學生也占了64% ～75%的比例。其他的學生也基本會算，只是速度較慢。因此，可以看出，學生已有“9加幾”的認知基礎，而且現(xiàn)實起點是高于邏輯起點的。

2. 內(nèi)涵達成解剖

同時我們也對計算正確率較高的學生進行了訪談。首先，從算法上看，除了“湊十法”外，有很多孩子是在背結(jié)果寫答案，而通過扳手指的辦法數(shù)出來的學生也不在少數(shù)；其次，從算理上說，基本沒有學生能清楚明白地表達計算過程中的思維方式，對于為什么可以這樣算的認識是混沌的。

這說明，學生前期對“9加幾”的掌握，在很大程度上是依賴于成人的告知，然后被動地記憶。所以算法即便是有，大多也只是來源于被動的獲取，而對算理的認知就基本上是空白的了。因此，算理與算法作為本課的重難點，急需教師提供給學生一個主動建構(gòu)與領悟的過程。

研究·解讀·架構(gòu)

【研究本質(zhì)——把握知識間多維度的內(nèi)在聯(lián)系】

1.把握基本線索，理清知識之間的內(nèi)在聯(lián)系

綜觀各版本教材，“9加幾”是計算教學的一個分水嶺，此前的“10以內(nèi)的加減法”和“10加幾及相應的減法”都是借助加減法的意義來進行計算的?！?加幾”第一次呈現(xiàn)抽象的計算方法——“湊十法”，其后續(xù)的教學內(nèi)容無非是加數(shù)數(shù)量的增加或進位次數(shù)的增多，它是計算教學算法上的一次擴充，表明計算是有方法可循的。本節(jié)課在計算教學上從算法角度來說起著承前啟后的作用。

再看“湊十法”本身，它的計算原理是先湊十，再加余，即“9加1變成10，10個一可以綁成一捆變成1個十，1個十和幾個一可以組成十幾”?？梢?，其基本結(jié)構(gòu)是數(shù)的“十進制計數(shù)法”。

2.總覽知識全局，把握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系

數(shù)概念是按照10以內(nèi)、20以內(nèi)、100以內(nèi)、萬以內(nèi)……這樣的方式編排的，計算也是按照10以內(nèi)數(shù)的計算、20以內(nèi)數(shù)的計算、100以內(nèi)數(shù)的計算、萬以內(nèi)數(shù)的計算……來編排。這樣，先學數(shù)的概念，再學相應的計算，將計算與數(shù)的概念的學習緊密地結(jié)合在一起。教學“9加幾”時，要將數(shù)概念與相應的計算相互溝通起來，使學生對它們有整體性的認識，進而有助于學生對數(shù)學知識形成一個合理的認知結(jié)構(gòu)。

【對比解讀——加強各版本教材間縱橫交錯的聯(lián)系】

筆者通過觀察各版本教材，發(fā)現(xiàn)“9加幾”這一課在編排上除了單元分布、課時次序有所差異外，教材提供的主題圖也有微小的調(diào)整。那么主題圖的引領和教學縱向的調(diào)整對孩子學習有怎樣的影響呢？為此，筆者對人教版、蘇教版、北師大版、滬教版相關內(nèi)容進行了比較分析和解讀。

表四：各版本教材“9加幾”內(nèi)容編排的比較概述

內(nèi)

容

版

本 單元分布 主題圖引領 知識基礎

一年級上期中前 一年級上期中后 多種方法 湊十法 數(shù)的認識 不進位加法 十進制

直接 間接 20以內(nèi) 100以內(nèi)

人教版 單元

第一課時√ √ √ √ √ √

蘇教版 單元

第一課時√ √ √ √ √ √

北師大版 單元

第四課時√ √ √ √ √ √

滬教版 單元

第六課時√ √ √ √ √

從上面的統(tǒng)計表與各版本教材截圖中我們可以解讀到以下幾點教材編排意圖：

（1）各版本都在一年級上冊中安排了“9加幾”的教學，都是在20以內(nèi)數(shù)的認識、10的組成、10加幾以后教學。

（2）各版本教材都將“湊十法”定為了重要的計算方法。人教版、蘇教版和北師大版都呈現(xiàn)接著數(shù)和“湊十法”兩種方法，以體現(xiàn)算法多樣化，滬教版只有“湊十法”一種。人教版和蘇教版對“湊十法”的教學采用拆小數(shù)湊大數(shù)的方法，北師大版和滬教版則將拆大數(shù)湊小數(shù)與拆小數(shù)湊大數(shù)同時呈現(xiàn)。

（3）在算法、算理的呈現(xiàn)上面，人教版和蘇教版都是將盒子外的一個物體移進盒子內(nèi)湊成一盒，形成湊十的思路，注重湊十的形象思維。北師大版和滬教版則是通過擺小棒、圈點子圖、用計數(shù)器等方法，在注重湊十的形象思維外，還突出滿十進一的十進制計數(shù)法，詮釋了“湊十法”與十進制計數(shù)法之間的聯(lián)系。

綜上，各版本教材在知識技能層面，都要求學生掌握“湊十法”，強調(diào)通過動手操作理解湊十的過程；在內(nèi)涵達成層面上，蘇教版和人教版更側(cè)重算法的抽象概括，滬教版和北師大版更側(cè)重“湊十法”的生長點。

【有效架構(gòu)——利用知識生長點促進學生主動構(gòu)建】endprint

在教學實踐中，常常會出現(xiàn)學生對“湊十法”排斥的情況，一方面是一部分學生已經(jīng)能計算9加幾，另一方面是教材在編排上有一定的缺陷。首先，人教版教材在10的組成和10加幾后，加入了鐘表的認識這一單元，再出現(xiàn)9加幾，這樣的編排從某種程度上割裂了計算教學之間的連貫性。其次，在9加幾的教材主題圖中，教材以實物、語言敘述、在9+4算式下面注出湊十的過程及相對照的方式，呈現(xiàn)“湊十”和口算的過程。體現(xiàn)的僅僅是用“湊十法”計算的示范與學法指導，沒有涉及“湊十法”所需求的知識生長點，致使教師在教學時為了讓學生少走彎路，硬生生把學生往“湊十法”一條羊腸小道趕，忽視了學生自主構(gòu)建的需求，也就無法體會“湊十法”的優(yōu)越性。

1. 借助數(shù)的組成進行構(gòu)建

首先，課件出示均勻擺放的小棒：左邊10根，右邊5根。請學生說是多少根小棒、怎么知道的；接著出示14根均勻擺放的小棒圖，讓學生想用什么辦法能很快看出是多少根小棒，引導學生操作、討論，總結(jié)出分成10和4兩部分。

利用數(shù)的組成讓學生在原有的經(jīng)驗基礎上，通過操作討論、觀察比較、歸納總結(jié)，促使學生主動積極地參與到“湊十法”的探尋過程中。

2. 結(jié)合十進制計數(shù)法進行構(gòu)建

首先，呈現(xiàn)左邊9根小棒、右邊5根小棒，讓學生思考：怎樣一眼看出是多少根小棒？學生經(jīng)過操作、討論，總結(jié)得出：從右邊5根小棒里移1根到左邊來與9湊成10，一眼就能看出是14根；或是將左邊的9根小棒移出5根到右邊與5湊成10，再與剩下的4根合起來。接著，呈現(xiàn)左邊8根小棒、右邊5根小棒，左邊7根小棒、右邊5根小棒，讓學生也按照上面的要求操作，使學生主動構(gòu)建湊十的過程。最后讓學生比較兩種拆分方法，得出：拆小數(shù)比較方便。通過操作、演示，幫助學生形成湊十法的表象，再通過口述湊十的過程，把表象轉(zhuǎn)化成學生頭腦中的思維程序，使學生不僅知其然，還要知其所以然，從而保證了在進位加法中的有效遷移。

3.在知識的溝通中進行構(gòu)建

教學中，除了讓學生會計算“9加幾”外，還要將“9加幾”與“9加1加幾”進行溝通，讓學生自主構(gòu)建“9加1變成10，10個一可以綁成一捆變成1個十，1個十和幾個一可以組成十幾”這個過程，進而實現(xiàn)將“9加幾”轉(zhuǎn)化為“10加幾”。促使學生用變化與聯(lián)系的眼光體會知識間的聯(lián)系，既有利于學生主動構(gòu)建“湊十法”，又幫助學生形成轉(zhuǎn)化思想。

4.在規(guī)律的探索中自主建構(gòu)

在學生發(fā)現(xiàn)“9加幾”所得的結(jié)果“十位上都是1，個位上的數(shù)比加數(shù)少1”這一規(guī)律后，教師設問：“為什么少1？”引導學生總結(jié)出少了的1與9湊成了10，將“9加幾”的算法與算理自主融合。

行文至此，筆者對“9加幾”的教材進行了對比分析，結(jié)合學生實際，整體改進、架構(gòu)，以“知識生長點”有效促進學生整體構(gòu)建知識。

（浙江省寧波市鄞州區(qū)宋詔橋小學 315100）endprint

在教學實踐中，常常會出現(xiàn)學生對“湊十法”排斥的情況，一方面是一部分學生已經(jīng)能計算9加幾，另一方面是教材在編排上有一定的缺陷。首先，人教版教材在10的組成和10加幾后，加入了鐘表的認識這一單元，再出現(xiàn)9加幾，這樣的編排從某種程度上割裂了計算教學之間的連貫性。其次，在9加幾的教材主題圖中，教材以實物、語言敘述、在9+4算式下面注出湊十的過程及相對照的方式，呈現(xiàn)“湊十”和口算的過程。體現(xiàn)的僅僅是用“湊十法”計算的示范與學法指導，沒有涉及“湊十法”所需求的知識生長點，致使教師在教學時為了讓學生少走彎路，硬生生把學生往“湊十法”一條羊腸小道趕，忽視了學生自主構(gòu)建的需求，也就無法體會“湊十法”的優(yōu)越性。

1. 借助數(shù)的組成進行構(gòu)建

首先，課件出示均勻擺放的小棒：左邊10根，右邊5根。請學生說是多少根小棒、怎么知道的；接著出示14根均勻擺放的小棒圖，讓學生想用什么辦法能很快看出是多少根小棒，引導學生操作、討論，總結(jié)出分成10和4兩部分。

利用數(shù)的組成讓學生在原有的經(jīng)驗基礎上，通過操作討論、觀察比較、歸納總結(jié)，促使學生主動積極地參與到“湊十法”的探尋過程中。

2. 結(jié)合十進制計數(shù)法進行構(gòu)建

首先，呈現(xiàn)左邊9根小棒、右邊5根小棒，讓學生思考：怎樣一眼看出是多少根小棒？學生經(jīng)過操作、討論，總結(jié)得出：從右邊5根小棒里移1根到左邊來與9湊成10，一眼就能看出是14根；或是將左邊的9根小棒移出5根到右邊與5湊成10，再與剩下的4根合起來。接著，呈現(xiàn)左邊8根小棒、右邊5根小棒，左邊7根小棒、右邊5根小棒，讓學生也按照上面的要求操作，使學生主動構(gòu)建湊十的過程。最后讓學生比較兩種拆分方法，得出：拆小數(shù)比較方便。通過操作、演示，幫助學生形成湊十法的表象，再通過口述湊十的過程，把表象轉(zhuǎn)化成學生頭腦中的思維程序，使學生不僅知其然，還要知其所以然，從而保證了在進位加法中的有效遷移。

3.在知識的溝通中進行構(gòu)建

教學中，除了讓學生會計算“9加幾”外，還要將“9加幾”與“9加1加幾”進行溝通，讓學生自主構(gòu)建“9加1變成10，10個一可以綁成一捆變成1個十，1個十和幾個一可以組成十幾”這個過程，進而實現(xiàn)將“9加幾”轉(zhuǎn)化為“10加幾”。促使學生用變化與聯(lián)系的眼光體會知識間的聯(lián)系，既有利于學生主動構(gòu)建“湊十法”，又幫助學生形成轉(zhuǎn)化思想。

4.在規(guī)律的探索中自主建構(gòu)

在學生發(fā)現(xiàn)“9加幾”所得的結(jié)果“十位上都是1，個位上的數(shù)比加數(shù)少1”這一規(guī)律后，教師設問：“為什么少1？”引導學生總結(jié)出少了的1與9湊成了10，將“9加幾”的算法與算理自主融合。

行文至此，筆者對“9加幾”的教材進行了對比分析，結(jié)合學生實際，整體改進、架構(gòu)，以“知識生長點”有效促進學生整體構(gòu)建知識。

（浙江省寧波市鄞州區(qū)宋詔橋小學 315100）endprint

在教學實踐中，常常會出現(xiàn)學生對“湊十法”排斥的情況，一方面是一部分學生已經(jīng)能計算9加幾，另一方面是教材在編排上有一定的缺陷。首先，人教版教材在10的組成和10加幾后，加入了鐘表的認識這一單元，再出現(xiàn)9加幾，這樣的編排從某種程度上割裂了計算教學之間的連貫性。其次，在9加幾的教材主題圖中，教材以實物、語言敘述、在9+4算式下面注出湊十的過程及相對照的方式，呈現(xiàn)“湊十”和口算的過程。體現(xiàn)的僅僅是用“湊十法”計算的示范與學法指導，沒有涉及“湊十法”所需求的知識生長點，致使教師在教學時為了讓學生少走彎路，硬生生把學生往“湊十法”一條羊腸小道趕，忽視了學生自主構(gòu)建的需求，也就無法體會“湊十法”的優(yōu)越性。

1. 借助數(shù)的組成進行構(gòu)建

首先，課件出示均勻擺放的小棒：左邊10根，右邊5根。請學生說是多少根小棒、怎么知道的；接著出示14根均勻擺放的小棒圖，讓學生想用什么辦法能很快看出是多少根小棒，引導學生操作、討論，總結(jié)出分成10和4兩部分。

利用數(shù)的組成讓學生在原有的經(jīng)驗基礎上，通過操作討論、觀察比較、歸納總結(jié)，促使學生主動積極地參與到“湊十法”的探尋過程中。

2. 結(jié)合十進制計數(shù)法進行構(gòu)建

首先，呈現(xiàn)左邊9根小棒、右邊5根小棒，讓學生思考：怎樣一眼看出是多少根小棒？學生經(jīng)過操作、討論，總結(jié)得出：從右邊5根小棒里移1根到左邊來與9湊成10，一眼就能看出是14根；或是將左邊的9根小棒移出5根到右邊與5湊成10，再與剩下的4根合起來。接著，呈現(xiàn)左邊8根小棒、右邊5根小棒，左邊7根小棒、右邊5根小棒，讓學生也按照上面的要求操作，使學生主動構(gòu)建湊十的過程。最后讓學生比較兩種拆分方法，得出：拆小數(shù)比較方便。通過操作、演示，幫助學生形成湊十法的表象，再通過口述湊十的過程，把表象轉(zhuǎn)化成學生頭腦中的思維程序，使學生不僅知其然，還要知其所以然，從而保證了在進位加法中的有效遷移。

3.在知識的溝通中進行構(gòu)建

教學中，除了讓學生會計算“9加幾”外，還要將“9加幾”與“9加1加幾”進行溝通，讓學生自主構(gòu)建“9加1變成10，10個一可以綁成一捆變成1個十，1個十和幾個一可以組成十幾”這個過程，進而實現(xiàn)將“9加幾”轉(zhuǎn)化為“10加幾”。促使學生用變化與聯(lián)系的眼光體會知識間的聯(lián)系，既有利于學生主動構(gòu)建“湊十法”，又幫助學生形成轉(zhuǎn)化思想。

4.在規(guī)律的探索中自主建構(gòu)

在學生發(fā)現(xiàn)“9加幾”所得的結(jié)果“十位上都是1，個位上的數(shù)比加數(shù)少1”這一規(guī)律后，教師設問：“為什么少1？”引導學生總結(jié)出少了的1與9湊成了10，將“9加幾”的算法與算理自主融合。

行文至此，筆者對“9加幾”的教材進行了對比分析，結(jié)合學生實際，整體改進、架構(gòu)，以“知識生長點”有效促進學生整體構(gòu)建知識。

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