胡志坤， 劉斌， 林勇， 王文祥， 彭小奇

(1.中南大學(xué)物理與電子學(xué)院，湖南長沙410083;2.湖南科力遠高技術(shù)股份有限公司，湖南長沙410083)

0 引言

電池的荷電狀態(tài)(state of charge，SOC)估計對電池的有效使用具有重要的意義，也是電池管理系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)之一。由于SOC是不可直接測量，且是非線性量，還受許多其他因素的影響，因此對其估計的難度很大，提高估計精確度很難。

目前在工程上常用的方法是電流積分法(安時法)［1］，但該方法對SOC的初值敏感且容易產(chǎn)生累積誤差;實驗上采用的開路電壓法有較好的確精度，但是需要電池長時間的靜置，在車況中難以實現(xiàn)［2］;神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法可以應(yīng)用于任何電池，但需要大量的訓(xùn)練數(shù)據(jù)［3－4］。擴展的卡爾曼濾波(extended Kalman filter，EKF)算法需要計算Jacobians矩陣使模型線性化，從而引入了不必要的線性化誤差，無極卡爾曼濾波(unscented Kalman filter，UKF)算法是一種新的非線性濾波方法，相對EKF精確度得到了提高，但有數(shù)字不穩(wěn)定性的缺點，而平方根無極卡爾曼濾波(square root unscented Kalman filter，SR － UKF)算法不僅與UKF有相同的精確度且增加了數(shù)字穩(wěn)定性和狀態(tài)協(xié)方差的半正定性［5］，但是SR－UKF算法把噪聲協(xié)方差看作常量，不能滿足噪聲的實時更新特性，從而影響了估計精確度。

為了解決噪聲協(xié)方差的時變性帶來的誤差，本文在SR－UKF算法的基礎(chǔ)上進行了改進，將每次測量的輸出值與模型估計得到的輸出值的殘差及各狀態(tài)Sigma點估算得到的輸出值的殘差的加權(quán)和作為新息來估計當(dāng)前時刻的噪聲協(xié)方差，讓其隨時間而更新，實時反饋，從而提高精確度。本文以目前仍在混合動力汽車上廣泛使用的鎳氫電池為實驗對象，利用改進(平方根無極卡爾曼濾波)算法——自適應(yīng)平方根無極卡爾曼濾波算法(adpatived square root unscented Kalman filter，ASR －UKF)對其放電過程中的SOC進行了估計。

1 自適應(yīng)平方根無極卡爾曼濾波算法

自適應(yīng)平方根無極卡爾曼濾波是在SR－UKF的基礎(chǔ)上利用模型輸出的殘差序列作為新息估算當(dāng)前的噪聲的協(xié)方差的方法［6－7］，使得噪聲協(xié)方差隨著時間的更新而更新，實時反饋，從而提高了算法精確度。

首先給定離散非線性動態(tài)系統(tǒng)模型的基本結(jié)構(gòu)，其形式為

式中:xk為系統(tǒng)狀態(tài)向量;uk為已知的外部輸人;yk為系統(tǒng)的觀測向量;wk為動態(tài)系統(tǒng)的過程噪聲;vk為觀測噪聲，它們都是高斯白噪聲(協(xié)方差矩陣為半正定性矩陣)，F(xiàn)(xk，uk)和 H(xk，uk)都是 xk和uk的函數(shù)。平方根無極卡爾曼濾波算法使用了3種強大的線性代數(shù)方法，即QR分解，Cholesky因式分解，最小二乘法［8］。

自適應(yīng)平方根無極卡爾曼濾波算法同SRUKF一樣包含了4個部分:初始化、Sigma點的計算、時間更新方程和測量更新方程，測量更新方程包括計算卡爾曼增益、狀態(tài)估計和狀態(tài)協(xié)方差及噪聲處理?？捎糜谙到y(tǒng)的狀態(tài)估計和參數(shù)估計。

算法描述如下:

1)初始化

2)計算Sigma點

每個Sigma點表示在估計值的小零域內(nèi)的有效值，χk－1表示各 Sigma 點的集合。

3)時間更新

利用k－1時刻的狀態(tài)估計的Sigma點估算得到的 k時刻的狀態(tài)向量 χk|k－1，即

式中 χi，k|k－1表示第 i個由 k －1 時刻的狀態(tài)估計的Sigma點估算得到的k時刻的狀態(tài)值表示各狀態(tài)估計值的加權(quán)和。然后計算k時刻的狀態(tài)估計誤差的協(xié)方差的平方根，即UKF算法的狀態(tài)估計誤差協(xié)方差的各部分平方根，由式(8)、式(9)求得。

輸出的更新值為

式中:yk|k－1表示由狀態(tài)量的各sigma點算出的k時刻的輸出值向量;yi，k|k－1表示第 i個 sigma點計算得到的k時刻的輸出估計值，即yk|k－1中的元素表示各估計值的加權(quán)和，用來作為新時刻的輸出估計值。

4)測量更新

同式(8)、式(9)一樣，式(13)、式(14)用來計算輸出殘差的協(xié)方差的平方根Syk，Pxk，yk表示狀態(tài)估計誤差和輸出值估計誤差的互協(xié)方差。

(a)計算卡爾曼增益［8］

(b)狀態(tài)估計

由式(15)和式(16)可得

(c)狀態(tài)誤差協(xié)方差更新

式中:U表示狀態(tài)估計誤差的協(xié)方差加權(quán)和，用來計算狀態(tài)誤差協(xié)方差更新。

由于過程噪聲和測量噪聲都是實時的，為了讓噪聲協(xié)方差實時更新，做了如下改進，即

其中 μk和(yi，k|k－1－ yk)分別是測量輸出量的殘差和各Sigma點估算得到的測量輸出量的殘差，

下面證明式(21)～式(23)。

由式(2)可知

則式(20)、式(25)是vk的估計值。Fk是測量量的殘差協(xié)方差，各殘差的協(xié)方差和的均值Rvk便可以作為測量噪聲協(xié)方差的估計值。由式(1)可知

而式(17)可化為

又因為

所以

證畢。

ASR－UKF算法具有SR－UKF算法的優(yōu)點且有自適應(yīng)的調(diào)節(jié)過程值和測量噪聲的協(xié)方差的能力，克服了SR－UKF算法的不足，剔除了EKF的線性化帶來的誤差，UKF的數(shù)字不穩(wěn)定性，提高了估算精確度。

2 建立電池模型

2.1 模型結(jié)構(gòu)

零狀態(tài)滯后電池模型常用來描述電池電壓特性的，該模型是一組合模型［9］，優(yōu)點在于無需考慮電池使用過程中其他因素的影響，常被用在基于卡爾曼濾波算法的電池SOC的估計中。其離散的狀態(tài)方程和輸出方程為

式中:S表示SOC;Cn為電池的額定容量;Δt是采樣時間間隔;下標(biāo)k表示第k個采樣點;U和I分別代表輸出電壓和電流;R表示電池內(nèi)阻;w和ν分別表示過程噪聲和測量噪聲且均是高斯白噪聲;H是充放電變換時的滯后參數(shù);hk是滯后參數(shù)的系數(shù)，其取值為

K0，K1，K2，K3，K4是描述電池開路電壓(OCV)與SOC關(guān)系的5個未知參數(shù)。

2.2 模型參數(shù)的辨識

模型參數(shù)辨識是估計SOC關(guān)鍵的一步。通過用10節(jié)額定電壓為1.2 V，額定容量為30 Ah的鎳氫電池串聯(lián)組成測試對象。在常溫下對電池進行間歇性(周期20 min)恒流放電實驗，計算電池荷電狀態(tài)(SOC)值和靜置狀態(tài)下記錄電池OCV，得到SOC的實驗值如圖1所示，OCV與SOC的關(guān)系如圖2所示。

圖1 SOC實驗值Fig.1 Experimental values of SOC

圖2 開路電壓與SOC的關(guān)系Fig.2 Relationship between open-circuit voltage and SOC

利用開路電壓與SOC的關(guān)系，采用最小二乘法可以辨識出參數(shù) K0，K1，K2，K3，K4［9］。然后對電池組充電，再進行放電測試，對其放電過程的電流和端電壓進行采樣，采樣時間間隔為0.5 s，采樣得到的數(shù)據(jù)分別如圖3和圖4所示。

圖3 電流與時間的關(guān)系Fig.3 Relation between current and time

圖4 端電壓與時間的關(guān)系Fig.4 Relationship between voltage and time

在已知過程電流和端電壓的情況下聯(lián)立開路電壓與SOC的函數(shù)關(guān)系，同樣利用最小二乘法便可得出內(nèi)阻R和滯后參數(shù)H。

辨識算法如下:

圖5 開路電壓擬合圖Fig.5 Fitting chart of open-circuit voltage

另設(shè):

則

辨識的效果如圖6和圖7所示。

圖6 辨識輸出值與測量值Fig.6 Measured and identified voltages

圖7 輸出電壓辨識誤差Fig.7 Output voltage errors

由圖7可以看出，辨識的誤差在0.12 V以內(nèi)，達到了所需精確度。

辨識的結(jié)果如表1所示。

表1 模型參數(shù)辨識結(jié)果Table 1 Identification results of model parameter

3 實驗與分析

為了驗證改進的算法估計SOC的精確度相對原算法有所提高，本文利用10節(jié)額定電壓為1.2 V，額定容量為30 Ah的鎳氫電池串聯(lián)在常溫下進行恒流放電實驗。放電的時間間隔為20 min;放電過程中通過51單片機對電流和端電壓進行周期為0.5 s的A/D采樣，將采樣值通過串口傳輸?shù)诫娔X并保存;同時將靜置時的開路電壓和積分法算出每個靜置時的電池SOC值也保存到電腦。通過電流檢測電路(使用霍爾傳感器)對電池放電電流進行檢測，檢測結(jié)果送給PWM控制芯片，控制芯片輸出適當(dāng)寬度的脈沖，由開關(guān)管工作執(zhí)行，達到控制電流恒定的目的。

估算SOC時必須先設(shè)定初值，即初始化。設(shè)定的初值如表2所示。

表2 算法初值Table 2 Initial value of the algorithm

分別利用SR－UKF算法和ASR－UKF算法對鎳氫電池常溫下放電過程中的SOC進行估計。由模型的狀態(tài)方程可知算法中的L=1。得到的結(jié)果與實驗值比較如圖8所示。

圖8 SR-UKF和ASR-UKF估算SOC的結(jié)果與實驗值Fig.8 SOC estimation results of SR-UKF and ASR-UKF

實驗表明ASR－UKF算法相對SR－UKF算法提高了估算SOC的精確度(0.3≤YSOC≤0.9)，在區(qū)間0.2≤YSOC≤0.9內(nèi)誤差在1.5%以內(nèi)，如圖9所示。

圖9 SR－UKF和ASR－UKF估算SOC的誤差Fig.9 Estimation errors of SR-UKF and ASR-UKF

4 結(jié)語

利用自適應(yīng)平方根卡爾曼濾波算法對在常溫下進行放電的鎳氫電池的SOC估算，結(jié)果表明ISRUKF算法相對SR－UKF算法的精確度在0.3≤YSOC≤0.9范圍內(nèi)得到了明顯提高。在電池工作區(qū)間0.2≤YSOC≤0.9內(nèi)誤差在1.5%以內(nèi)。另外算法是遞歸形式，滿足SOC的實時估計。

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