劉耀兵

“概念”是反映事物本質(zhì)屬性的思維產(chǎn)物，數(shù)學(xué)教材中反映數(shù)和形本質(zhì)屬性的數(shù)字、圖形、符號、定義、法則等都是數(shù)學(xué)概念。許多老師認(rèn)為，在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)只要簡單“告訴”，讓學(xué)生記住，并能運(yùn)用就可以了。殊不知，這樣會(huì)造成學(xué)生只會(huì)依樣畫葫蘆地用概念而不能靈活理解、掌握概念。筆者認(rèn)為，教師在教學(xué)中要讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟概念的內(nèi)涵，注重學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。

一、數(shù)形結(jié)合，開闊思維的廣度

所謂思維的廣度，是指某些知識縱向和橫向聯(lián)系的范圍。在概念教學(xué)中，教師要解放學(xué)生的眼睛，鼓勵(lì)學(xué)生敢于觀察、善于觀察，不能讓學(xué)生局限于教材，學(xué)一知一，而應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生善于分析、總結(jié)、比較，找出學(xué)習(xí)的規(guī)律，做到觸類旁通。另一方面，兒童思維正處于以直觀形象為主向抽象思維為主的過渡階段，他們要有所感才能有所思，然后才有所知。

【案例1】《認(rèn)識假分?jǐn)?shù)》

（1）每個(gè)分?jǐn)?shù)各表示什么意思？

（2）上面的三個(gè)分?jǐn)?shù)在這條直線上用點(diǎn)該怎么表示呢？

（3）結(jié)合上圖想一想，與剛才所認(rèn)識的真分?jǐn)?shù)相比，這些分?jǐn)?shù)有什么不同？

我發(fā)現(xiàn)：

（4）像這樣的分?jǐn)?shù)，我們把它叫作（ ）。

（5）想一想，這些分?jǐn)?shù)比1大，還是比1??？

（6）你還能任意寫出幾個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)并在數(shù)軸上表示出來嗎？試試看。

學(xué)生的概念學(xué)習(xí)總是基于對學(xué)習(xí)材料的思考而建構(gòu)的，而這種數(shù)學(xué)建構(gòu)活動(dòng)離不開學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)背景和直觀材料。案例中，教師精細(xì)地組織好感知過程，不是簡單地出示幾個(gè)分?jǐn)?shù)，比較分子與分母的大小即得出假分?jǐn)?shù)的意義，而是始終讓學(xué)生依憑對圖形的觀察，對分子、分母的觀察，對各分?jǐn)?shù)與1的大小觀察和比較，在對假分?jǐn)?shù)的感性經(jīng)驗(yàn)十分豐滿后實(shí)現(xiàn)知識的自主建構(gòu)。

二、動(dòng)手操作，挖掘思維深度

思維的深度是指考慮問題時(shí)，要深入到客觀事物的內(nèi)部，抓住問題的關(guān)鍵、核心進(jìn)行由遠(yuǎn)到近、由表及里、層層遞進(jìn)、步步深入的思考。陶行知認(rèn)為：要解放學(xué)生的雙手，就要鼓勵(lì)學(xué)生敢干、善干，敢于動(dòng)手，善于動(dòng)手，在實(shí)踐操作中獲知、明理、頓悟。

【案例2】《長方形、正方形的特征》

（1）師：剛才，我們認(rèn)識了長方形、正方形的特征，你能在方格紙上畫出一個(gè)長方形和一個(gè)正方形嗎？

生上臺展示：

師：為什么畫出的長方形、正方形大小不一樣呢？

生1：因?yàn)槭侨我猱嫷?，有的大，有的小?/p>

生2：沒有規(guī)定大小，畫出的圖形只要是長方形或是正方形就行了。

師：看來，沒有一定的條件限制，得到的長方形、正方形會(huì)不一樣。

師：現(xiàn)在給你一條邊，再試著畫一畫。

（2）根據(jù)下面的線段（略），分別畫一個(gè)長方形和正方形。（學(xué)生在作業(yè)紙上畫）

生畫圖，師行間巡視，收集孩子的不同作品。

師：你們畫出的長方形還是有大有小，但正方形卻驚人的一致，這是一種巧合嗎？

生1：不是，因?yàn)轭}目告訴我們一條邊是4厘米，那么正方形的其他三條邊也都是4厘米，所以畫出的正方形是一樣大的。

生2：因?yàn)檎叫蔚乃臈l邊都相等，知道一條邊是4厘米，那么這個(gè)正方形就是唯一的了。

師：說得好，正方形的四條邊都相等，一條邊的長度就決定了正方形的大小，我們把其中一條邊的長度叫作“邊長”。這個(gè)正方形的邊長是多少厘米？

生（齊）：4厘米。

師：同樣給你一條邊，長方形的大小為什么還不一樣？

生1：你只告訴我們一條邊，但左邊還不知道。

生2：長方形是對邊相等，上邊和下邊我們知道了，是4厘米，但還有一組對邊不知道，我就畫了2厘米。

生3：我也是這樣想的，上邊和下邊是4厘米，左邊和右邊我畫了5厘米。

師：看來，只知道一條邊的長度還不能確定長方形的大小，你們認(rèn)為要知道幾條邊才行？

生：2條。

師：2條，是這樣的兩條嗎？（師指上下兩條或左右兩條）

生：不是的，應(yīng)該是相鄰的兩條。（生迫不及待地上臺指）

師：我們把這相鄰兩條中較長的一條叫作長方形的長，較短的叫作寬。

師：說一說，你們所畫的長方形長是幾厘米？寬是幾厘米？

（3）師：接下來請同學(xué)們畫一個(gè)長5厘米、寬2厘米的長方形和邊長為3厘米的正方形。

心理學(xué)家皮亞杰指出：“活動(dòng)是認(rèn)識的基礎(chǔ)，智慧從動(dòng)作開始?！碧招兄壬摹皩W(xué)、教、做合一”思想也認(rèn)為：學(xué)生的“學(xué)”和老師的“教”是統(tǒng)一的，都是以“做”為中心。書本上“長”“寬”“邊長”這些概念是平面的，若老師只是照本宣科，自然無法成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的堅(jiān)固基石。上述案例中，教者別出心裁地設(shè)計(jì)了三次畫圖。第一次任意畫，在畫圖中進(jìn)一步認(rèn)識和鞏固長方形和正方形的特征，第二次根據(jù)一條邊來畫，學(xué)生在畫的過程中驚奇地發(fā)現(xiàn)，所畫的正方形大小一致，而長方形有大有小，進(jìn)而引發(fā)沖突：為什么會(huì)這樣？學(xué)生在揣度、思忖中感悟到正方形只要知道一條邊就能確定它的形狀和大小，而長方形卻不行，需要知道兩條相鄰的邊才能確定。此時(shí)，邊長、長、寬的揭示水到渠成。最后，再讓孩子畫指定長度的長方形和正方形。這樣的教學(xué)過程讓平面的書本知識變得多維、立體，充分調(diào)動(dòng)了孩子的多種感官參與學(xué)習(xí)，讓感覺和思維同步，在簡單的概念教學(xué)中不斷提升孩子思維的深度。

三、爭辯質(zhì)疑，提升思維高度

思維的高度是在思維廣度和深度的基礎(chǔ)上，根據(jù)具體目的，綜合一般性認(rèn)識，達(dá)到兩種境界，一是高度綜合一般性認(rèn)識，形成凝練的核心知識，二是超越一般認(rèn)識，形成創(chuàng)新認(rèn)識。

【案例3】《平移與旋轉(zhuǎn)》

學(xué)生研究了纜車、小火車、旋轉(zhuǎn)木馬、摩天輪、滑滑梯、風(fēng)車的運(yùn)動(dòng)方式，初步了解了平移與旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)。（出示下圖）endprint

師：仔細(xì)觀察，邊看邊做動(dòng)作，說說哪些是平移，哪些是旋轉(zhuǎn)。

生快樂地做著動(dòng)作，很快得出答案。

生1：撥珠子是平移，方向盤是旋轉(zhuǎn)，時(shí)針、分針的轉(zhuǎn)動(dòng)是旋轉(zhuǎn)。

生2：我同意他的觀點(diǎn)，但我要補(bǔ)充一下，第三幅圖的鐘擺是平移。

生3：我反對，我認(rèn)為鐘擺也是旋轉(zhuǎn)。

師：看來，我們對撥珠、方向盤、時(shí)針、分針的運(yùn)動(dòng)方式?jīng)]有疑問，焦點(diǎn)在鐘擺上?，F(xiàn)在有兩個(gè)觀點(diǎn)，請各派一些代表上臺辯論。

生1：我認(rèn)為鐘擺是平移，你看，旋轉(zhuǎn)它要轉(zhuǎn)起來，可鐘擺沒有轉(zhuǎn)。

生2：反對，平移要沿著直線離開原來的位置，可鐘擺它繞著一個(gè)點(diǎn)，還會(huì)回到原來的位置上的。

教室里有人附和，更多的人在緊鎖眉頭思考著……

生1：（指著屏幕上的一段）你看，它不是在左右移動(dòng)嗎？

生2：平移是直直地行動(dòng)，可鐘擺動(dòng)的時(shí)候劃出的是一條弧線。

（兩個(gè)人爭得面紅耳赤）生3：可像風(fēng)車、時(shí)針等要轉(zhuǎn)圈圈才是旋轉(zhuǎn)啊！鐘擺沒有轉(zhuǎn)圈。

生4：（迫不及待，手中拿著一根橡皮筋，下面掛著一個(gè)筆套）老師，我有辦法反駁他的觀點(diǎn)了。如果我們讓鐘擺擺動(dòng)的幅度大一些，你們看（學(xué)生邊說邊演示），它是不是旋轉(zhuǎn)？（教室里響起了熱烈的掌聲……）

學(xué)生獲得了概念的共同本質(zhì)屬性后，從嚴(yán)格意義上來講，還沒有真正習(xí)得概念，因?yàn)楦拍盍?xí)得的理想終點(diǎn)是學(xué)習(xí)者能利用所學(xué)的概念去做事，去解決問題，上述案例中，教師解放了學(xué)生的嘴巴，鼓勵(lì)學(xué)生敢說、善說，敢于提問、善于提問，把探索的主動(dòng)權(quán)完全交給學(xué)生，讓學(xué)生自主建構(gòu)“旋轉(zhuǎn)與平移”的理解，這是一個(gè)有趣味的思考過程，這個(gè)過程充滿了爭執(zhí)、矛盾、反思、改變、修正……雖然是幾個(gè)同學(xué)在爭論，但他們帶動(dòng)了所有同學(xué)深入思考，經(jīng)歷的這個(gè)過程，正折射出學(xué)生建立概念的艱難過程，排除背景干擾，不斷完善對知識的最初建構(gòu)，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性和批判性。

四、思想方法，指引思維遠(yuǎn)度

思維的遠(yuǎn)度是針對某一事項(xiàng)引入時(shí)間概念，從長遠(yuǎn)角度去思考發(fā)展性、變異性，從而補(bǔ)充和修正目前的認(rèn)識或結(jié)論。

【案例4】《圖形的密鋪》

出示正三角形、平行四邊形、等腰梯形、正五邊形、圓。

師：這是我們熟悉的幾種平面圖形，猜一猜，它們能密鋪嗎？誰來匯報(bào)一下你的猜測？還有不同意見嗎？

師：實(shí)踐出真知，讓我們通過操作來進(jìn)行驗(yàn)證。

生操作，驗(yàn)證。

師：從特例中形成猜想，并進(jìn)行驗(yàn)證，是一種獲取結(jié)論的方法。但有時(shí)，從已有的結(jié)論中通過適當(dāng)變換、猜想，同樣可以形成新的猜想，進(jìn)而形成新的結(jié)論。比如：“正三角形能密鋪?！蹦敲矗?/p>

生1：任意三角形都能密鋪嗎？

生2：任意四邊形都能密鋪嗎？

……

師：現(xiàn)在，同學(xué)們又有了不少新的猜想。這些猜想對嗎？又該如何去驗(yàn)證呢？選擇一個(gè)，用合適的方法試著進(jìn)行驗(yàn)證。

生驗(yàn)證、展示。

師：通過猜想、驗(yàn)證、新猜想、再驗(yàn)證，數(shù)學(xué)就是這樣在不斷猜想、質(zhì)疑、驗(yàn)證中一路前行。

數(shù)學(xué)教育家米山國藏認(rèn)為，對學(xué)生而言，作為知識的數(shù)學(xué)，通常在出校門后不到一兩年，很快就忘記了。然而，不管他們從事什么工作，那些深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想、研究方法……隨時(shí)隨地發(fā)生作用，讓他們受益終生。上述案例中，教師在處理圖形密鋪概念時(shí)，看到顯性的知識與技能的背后，暗藏著的豐富的數(shù)學(xué)思想方法。先猜想、后驗(yàn)證，這是一切發(fā)明之道。正如牛頓所說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)?！睂W(xué)生通過猜想、驗(yàn)證、歸納，得出一些圖形能否密鋪后，在新的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上，運(yùn)用類比的方法，引出新的猜想再進(jìn)行驗(yàn)證。在這個(gè)過程中，學(xué)生獲得的概念，不再是孤立的、片面的、靜止的，而是聯(lián)系的、全面的、發(fā)展的活知識、活概念。

鄭毓信教授認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)通過數(shù)學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思考，即將數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)與具體數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)很好地結(jié)合起來，用思維方法的分析帶動(dòng)具體知識的教學(xué)。只有將數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)滲透于具體的概念教學(xué)中，才能使學(xué)生真正看到數(shù)學(xué)思維的力量，也才能真正做到將數(shù)學(xué)概念“講活”“講懂”“講透”。endprint

師：仔細(xì)觀察，邊看邊做動(dòng)作，說說哪些是平移，哪些是旋轉(zhuǎn)。

生快樂地做著動(dòng)作，很快得出答案。

生1：撥珠子是平移，方向盤是旋轉(zhuǎn)，時(shí)針、分針的轉(zhuǎn)動(dòng)是旋轉(zhuǎn)。

生2：我同意他的觀點(diǎn)，但我要補(bǔ)充一下，第三幅圖的鐘擺是平移。

生3：我反對，我認(rèn)為鐘擺也是旋轉(zhuǎn)。

師：看來，我們對撥珠、方向盤、時(shí)針、分針的運(yùn)動(dòng)方式?jīng)]有疑問，焦點(diǎn)在鐘擺上。現(xiàn)在有兩個(gè)觀點(diǎn)，請各派一些代表上臺辯論。

生1：我認(rèn)為鐘擺是平移，你看，旋轉(zhuǎn)它要轉(zhuǎn)起來，可鐘擺沒有轉(zhuǎn)。

生2：反對，平移要沿著直線離開原來的位置，可鐘擺它繞著一個(gè)點(diǎn)，還會(huì)回到原來的位置上的。

教室里有人附和，更多的人在緊鎖眉頭思考著……

生1：（指著屏幕上的一段）你看，它不是在左右移動(dòng)嗎？

生2：平移是直直地行動(dòng)，可鐘擺動(dòng)的時(shí)候劃出的是一條弧線。

（兩個(gè)人爭得面紅耳赤）生3：可像風(fēng)車、時(shí)針等要轉(zhuǎn)圈圈才是旋轉(zhuǎn)??！鐘擺沒有轉(zhuǎn)圈。

生4：（迫不及待，手中拿著一根橡皮筋，下面掛著一個(gè)筆套）老師，我有辦法反駁他的觀點(diǎn)了。如果我們讓鐘擺擺動(dòng)的幅度大一些，你們看（學(xué)生邊說邊演示），它是不是旋轉(zhuǎn)？（教室里響起了熱烈的掌聲……）

學(xué)生獲得了概念的共同本質(zhì)屬性后，從嚴(yán)格意義上來講，還沒有真正習(xí)得概念，因?yàn)楦拍盍?xí)得的理想終點(diǎn)是學(xué)習(xí)者能利用所學(xué)的概念去做事，去解決問題，上述案例中，教師解放了學(xué)生的嘴巴，鼓勵(lì)學(xué)生敢說、善說，敢于提問、善于提問，把探索的主動(dòng)權(quán)完全交給學(xué)生，讓學(xué)生自主建構(gòu)“旋轉(zhuǎn)與平移”的理解，這是一個(gè)有趣味的思考過程，這個(gè)過程充滿了爭執(zhí)、矛盾、反思、改變、修正……雖然是幾個(gè)同學(xué)在爭論，但他們帶動(dòng)了所有同學(xué)深入思考，經(jīng)歷的這個(gè)過程，正折射出學(xué)生建立概念的艱難過程，排除背景干擾，不斷完善對知識的最初建構(gòu)，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性和批判性。

四、思想方法，指引思維遠(yuǎn)度

思維的遠(yuǎn)度是針對某一事項(xiàng)引入時(shí)間概念，從長遠(yuǎn)角度去思考發(fā)展性、變異性，從而補(bǔ)充和修正目前的認(rèn)識或結(jié)論。

【案例4】《圖形的密鋪》

出示正三角形、平行四邊形、等腰梯形、正五邊形、圓。

師：這是我們熟悉的幾種平面圖形，猜一猜，它們能密鋪嗎？誰來匯報(bào)一下你的猜測？還有不同意見嗎？

師：實(shí)踐出真知，讓我們通過操作來進(jìn)行驗(yàn)證。

生操作，驗(yàn)證。

師：從特例中形成猜想，并進(jìn)行驗(yàn)證，是一種獲取結(jié)論的方法。但有時(shí)，從已有的結(jié)論中通過適當(dāng)變換、猜想，同樣可以形成新的猜想，進(jìn)而形成新的結(jié)論。比如：“正三角形能密鋪?！蹦敲矗?/p>

生1：任意三角形都能密鋪嗎？

生2：任意四邊形都能密鋪嗎？

……

師：現(xiàn)在，同學(xué)們又有了不少新的猜想。這些猜想對嗎？又該如何去驗(yàn)證呢？選擇一個(gè)，用合適的方法試著進(jìn)行驗(yàn)證。

生驗(yàn)證、展示。

師：通過猜想、驗(yàn)證、新猜想、再驗(yàn)證，數(shù)學(xué)就是這樣在不斷猜想、質(zhì)疑、驗(yàn)證中一路前行。

數(shù)學(xué)教育家米山國藏認(rèn)為，對學(xué)生而言，作為知識的數(shù)學(xué)，通常在出校門后不到一兩年，很快就忘記了。然而，不管他們從事什么工作，那些深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想、研究方法……隨時(shí)隨地發(fā)生作用，讓他們受益終生。上述案例中，教師在處理圖形密鋪概念時(shí)，看到顯性的知識與技能的背后，暗藏著的豐富的數(shù)學(xué)思想方法。先猜想、后驗(yàn)證，這是一切發(fā)明之道。正如牛頓所說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)?！睂W(xué)生通過猜想、驗(yàn)證、歸納，得出一些圖形能否密鋪后，在新的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上，運(yùn)用類比的方法，引出新的猜想再進(jìn)行驗(yàn)證。在這個(gè)過程中，學(xué)生獲得的概念，不再是孤立的、片面的、靜止的，而是聯(lián)系的、全面的、發(fā)展的活知識、活概念。

鄭毓信教授認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)通過數(shù)學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思考，即將數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)與具體數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)很好地結(jié)合起來，用思維方法的分析帶動(dòng)具體知識的教學(xué)。只有將數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)滲透于具體的概念教學(xué)中，才能使學(xué)生真正看到數(shù)學(xué)思維的力量，也才能真正做到將數(shù)學(xué)概念“講活”“講懂”“講透”。endprint

師：仔細(xì)觀察，邊看邊做動(dòng)作，說說哪些是平移，哪些是旋轉(zhuǎn)。

生快樂地做著動(dòng)作，很快得出答案。

生1：撥珠子是平移，方向盤是旋轉(zhuǎn)，時(shí)針、分針的轉(zhuǎn)動(dòng)是旋轉(zhuǎn)。

生2：我同意他的觀點(diǎn)，但我要補(bǔ)充一下，第三幅圖的鐘擺是平移。

生3：我反對，我認(rèn)為鐘擺也是旋轉(zhuǎn)。

師：看來，我們對撥珠、方向盤、時(shí)針、分針的運(yùn)動(dòng)方式?jīng)]有疑問，焦點(diǎn)在鐘擺上。現(xiàn)在有兩個(gè)觀點(diǎn)，請各派一些代表上臺辯論。

生1：我認(rèn)為鐘擺是平移，你看，旋轉(zhuǎn)它要轉(zhuǎn)起來，可鐘擺沒有轉(zhuǎn)。

生2：反對，平移要沿著直線離開原來的位置，可鐘擺它繞著一個(gè)點(diǎn)，還會(huì)回到原來的位置上的。

教室里有人附和，更多的人在緊鎖眉頭思考著……

生1：（指著屏幕上的一段）你看，它不是在左右移動(dòng)嗎？

生2：平移是直直地行動(dòng)，可鐘擺動(dòng)的時(shí)候劃出的是一條弧線。

（兩個(gè)人爭得面紅耳赤）生3：可像風(fēng)車、時(shí)針等要轉(zhuǎn)圈圈才是旋轉(zhuǎn)?。＄姅[沒有轉(zhuǎn)圈。

生4：（迫不及待，手中拿著一根橡皮筋，下面掛著一個(gè)筆套）老師，我有辦法反駁他的觀點(diǎn)了。如果我們讓鐘擺擺動(dòng)的幅度大一些，你們看（學(xué)生邊說邊演示），它是不是旋轉(zhuǎn)？（教室里響起了熱烈的掌聲……）

學(xué)生獲得了概念的共同本質(zhì)屬性后，從嚴(yán)格意義上來講，還沒有真正習(xí)得概念，因?yàn)楦拍盍?xí)得的理想終點(diǎn)是學(xué)習(xí)者能利用所學(xué)的概念去做事，去解決問題，上述案例中，教師解放了學(xué)生的嘴巴，鼓勵(lì)學(xué)生敢說、善說，敢于提問、善于提問，把探索的主動(dòng)權(quán)完全交給學(xué)生，讓學(xué)生自主建構(gòu)“旋轉(zhuǎn)與平移”的理解，這是一個(gè)有趣味的思考過程，這個(gè)過程充滿了爭執(zhí)、矛盾、反思、改變、修正……雖然是幾個(gè)同學(xué)在爭論，但他們帶動(dòng)了所有同學(xué)深入思考，經(jīng)歷的這個(gè)過程，正折射出學(xué)生建立概念的艱難過程，排除背景干擾，不斷完善對知識的最初建構(gòu)，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性和批判性。

四、思想方法，指引思維遠(yuǎn)度

思維的遠(yuǎn)度是針對某一事項(xiàng)引入時(shí)間概念，從長遠(yuǎn)角度去思考發(fā)展性、變異性，從而補(bǔ)充和修正目前的認(rèn)識或結(jié)論。

【案例4】《圖形的密鋪》

出示正三角形、平行四邊形、等腰梯形、正五邊形、圓。

師：這是我們熟悉的幾種平面圖形，猜一猜，它們能密鋪嗎？誰來匯報(bào)一下你的猜測？還有不同意見嗎？

師：實(shí)踐出真知，讓我們通過操作來進(jìn)行驗(yàn)證。

生操作，驗(yàn)證。

師：從特例中形成猜想，并進(jìn)行驗(yàn)證，是一種獲取結(jié)論的方法。但有時(shí)，從已有的結(jié)論中通過適當(dāng)變換、猜想，同樣可以形成新的猜想，進(jìn)而形成新的結(jié)論。比如：“正三角形能密鋪?！蹦敲?，

生1：任意三角形都能密鋪嗎？

生2：任意四邊形都能密鋪嗎？

……

師：現(xiàn)在，同學(xué)們又有了不少新的猜想。這些猜想對嗎？又該如何去驗(yàn)證呢？選擇一個(gè)，用合適的方法試著進(jìn)行驗(yàn)證。

生驗(yàn)證、展示。

師：通過猜想、驗(yàn)證、新猜想、再驗(yàn)證，數(shù)學(xué)就是這樣在不斷猜想、質(zhì)疑、驗(yàn)證中一路前行。

數(shù)學(xué)教育家米山國藏認(rèn)為，對學(xué)生而言，作為知識的數(shù)學(xué)，通常在出校門后不到一兩年，很快就忘記了。然而，不管他們從事什么工作，那些深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想、研究方法……隨時(shí)隨地發(fā)生作用，讓他們受益終生。上述案例中，教師在處理圖形密鋪概念時(shí)，看到顯性的知識與技能的背后，暗藏著的豐富的數(shù)學(xué)思想方法。先猜想、后驗(yàn)證，這是一切發(fā)明之道。正如牛頓所說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”學(xué)生通過猜想、驗(yàn)證、歸納，得出一些圖形能否密鋪后，在新的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上，運(yùn)用類比的方法，引出新的猜想再進(jìn)行驗(yàn)證。在這個(gè)過程中，學(xué)生獲得的概念，不再是孤立的、片面的、靜止的，而是聯(lián)系的、全面的、發(fā)展的活知識、活概念。

鄭毓信教授認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)通過數(shù)學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思考，即將數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)與具體數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)很好地結(jié)合起來，用思維方法的分析帶動(dòng)具體知識的教學(xué)。只有將數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)滲透于具體的概念教學(xué)中，才能使學(xué)生真正看到數(shù)學(xué)思維的力量，也才能真正做到將數(shù)學(xué)概念“講活”“講懂”“講透”。endprint