羅銳

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，因此教師在課堂上要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，讓學(xué)生通過參與一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)，聯(lián)系與運(yùn)用自己已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和熟悉的生活情景，通過操作、觀察、猜測(cè)、比較、嘗試、計(jì)算、畫圖、推理、抽象、交流等活動(dòng)，把課堂中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象和事實(shí)不斷地進(jìn)行數(shù)學(xué)化，從而掌握一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，形成一定的數(shù)學(xué)能力，獲得一定的數(shù)學(xué)思想方法，積累一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)思維。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的綜合實(shí)踐活動(dòng)就是為了鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)、豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)而安排的，本文擬以數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)《釘子板上的多邊形》為例，談?wù)剶?shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)與組織。

一、讓學(xué)生在有趣而扎實(shí)的感知活動(dòng)中明確學(xué)習(xí)目標(biāo)

小學(xué)數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)應(yīng)圍繞明確的教學(xué)任務(wù)和目標(biāo)展開。一節(jié)課要解決什么問題，達(dá)成什么目標(biāo)，應(yīng)該讓學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)的開始階段就有明確的感知，有了學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)生才能有的放失地投入到學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)習(xí)效果才能更有效。教學(xué)中可以通過創(chuàng)設(shè)一定的教學(xué)情境，提出一些數(shù)學(xué)問題和一系列學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生在情境中發(fā)現(xiàn)問題、在分析問題的過程中明確目標(biāo)任務(wù)，引起學(xué)生探究的興趣和積極性。

1.提供對(duì)比素材，讓學(xué)生在觀察活動(dòng)中感悟?qū)W習(xí)

內(nèi)容

教師出示下面一組釘子板上圍成的多邊形，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考：你覺得釘子板上圍成的多邊形的面積可能與什么有關(guān)系？

根據(jù)老師提供的學(xué)習(xí)素材，學(xué)生可能會(huì)有三種體會(huì)：①面積與圖形的底和高有關(guān)系；②面積與空格有關(guān)系；③面積與點(diǎn)有關(guān)系。在組織學(xué)生觀察思考的過程中，當(dāng)學(xué)生說出第1種情況后教師要引導(dǎo)學(xué)生明白，釘子板上圍成的圖形底和高的長(zhǎng)短是由點(diǎn)之間的距離確定的，我們研究的這些釘子板上的點(diǎn)之間的距離都是1厘米，然后讓學(xué)生數(shù)出底和高，并用計(jì)算公式算出這兩個(gè)圖形的面積。當(dāng)學(xué)生說出第2種情況時(shí)，讓學(xué)生觀察釘子板上每格面積是多少？體會(huì)釘子板上的圖形面積還可以看它占幾格，占幾格就是幾平方厘米。當(dāng)學(xué)生說出第3種情況時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生觀察釘子板上圍成的多邊形，看看每個(gè)多邊形把釘子板上的釘子分成幾部分，體會(huì)多邊形內(nèi)的釘子、多邊形外的釘子和邊上的釘子，再讓學(xué)生數(shù)一數(shù)①②這兩個(gè)多邊形內(nèi)有幾個(gè)點(diǎn)，邊上有幾個(gè)點(diǎn)。

2.動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)素材，引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)比活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)任務(wù)

繼續(xù)觀察①②兩個(gè)多邊形，引導(dǎo)學(xué)生猜想，這些多邊形的面積可能與哪些釘子數(shù)有關(guān)？讓學(xué)生算出它們的面積，體驗(yàn)并發(fā)現(xiàn)，邊上的釘子數(shù)多面積就大，然后增加一個(gè)圖形，讓學(xué)生對(duì)比第③個(gè)多邊形與第②個(gè)多邊形有什么相同和不同，再算出第③個(gè)多邊形的面積，體會(huì)并發(fā)現(xiàn)當(dāng)邊上的釘子數(shù)一樣多時(shí)，多邊形內(nèi)的釘子數(shù)多面積就大。

分步、動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)習(xí)素材，引導(dǎo)學(xué)生抓住關(guān)鍵觀察，把握重點(diǎn)分析，可打開學(xué)生思路，能引發(fā)學(xué)生的思維，有助于學(xué)生思考和解決數(shù)學(xué)問題。

3.創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生在問題解決活動(dòng)中明確學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）基本計(jì)算，收集需要的數(shù)據(jù)。出示釘子板上圍成的中間只有一個(gè)點(diǎn)的多邊形。

引導(dǎo)學(xué)生先觀察，發(fā)現(xiàn)它們的共同點(diǎn)。讓學(xué)生找出圍成的多邊形內(nèi)都有一個(gè)釘子，接著思考：它們邊上的釘子數(shù)一樣多嗎？然后讓學(xué)生自由計(jì)算出每個(gè)多邊形的面積，再匯報(bào)整理計(jì)算結(jié)果（老師把每個(gè)多邊形的面積記錄在圖形下面），在這個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)中還相機(jī)復(fù)習(xí)了基本圖形的面積計(jì)算方法，重點(diǎn)指導(dǎo)交流第⑥個(gè)多邊形面積計(jì)算的方法，幫助學(xué)生梳理出：釘子板上多邊形的面積可用“面積計(jì)算公式”“數(shù)方格”和“轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形”等方法來獲得。

（2）設(shè)置沖突，發(fā)現(xiàn)研究的關(guān)鍵。在上圖中再出示第⑦個(gè)多邊形，讓學(xué)生說說它的面積，當(dāng)學(xué)生用上面的基本方法無法快速解決時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：剛才大家就猜想過釘子板上的多邊形的面積可能與多邊形邊上的釘子數(shù)有關(guān)系。那么，它們之間有什么樣的規(guī)律呢？我們來深入研究這方面的知識(shí)——揭示課題，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)。

認(rèn)知沖突是指認(rèn)知主體已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知識(shí)或新情境之間不能包容?？鬃釉f“不憤不啟，不悱不發(fā)”，老師就應(yīng)該在學(xué)生知與不知之間為學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)活動(dòng)啟發(fā)點(diǎn)撥、解疑釋難、鋪路架橋。課堂上用學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和生活實(shí)際選擇和呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)學(xué)生已識(shí)與未知之間的沖突，引起學(xué)生對(duì)新知識(shí)的注意，激發(fā)學(xué)生對(duì)新學(xué)內(nèi)容的興趣，使學(xué)生產(chǎn)生自主探究的動(dòng)機(jī)，從而促使學(xué)生積極主動(dòng)地投入到新知學(xué)習(xí)活動(dòng)的全過程。

二、讓學(xué)生在有效而豐富的探究活動(dòng)中構(gòu)建學(xué)習(xí)內(nèi)容

1.扶——老師指導(dǎo)下的自主探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)有一個(gè)釘子的多邊形的面積與邊上釘子數(shù)的關(guān)系

（1）填表、分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。讓學(xué)生把上圖中前4個(gè)多邊形的面積和邊上的釘子數(shù)填寫在規(guī)律探究表1內(nèi)。

規(guī)律探究1

我的發(fā)現(xiàn)是：多邊形的面積是（ ）釘子數(shù)的（ ）。

然后教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，找出兩組數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，小組同學(xué)合作探究，在小組內(nèi)說說自己的發(fā)現(xiàn)，找出規(guī)律“多邊形的面積是邊上釘子數(shù)的一半”，師生合作，寫出公式：S=n÷2。

（2）自由構(gòu)圖，驗(yàn)證規(guī)律。你們發(fā)現(xiàn)的這個(gè)規(guī)律對(duì)不對(duì)呢？我們可以驗(yàn)證一下，請(qǐng)你在釘子板上圍一個(gè)這樣的多邊形，算一算，數(shù)一數(shù)，驗(yàn)證這個(gè)規(guī)律“S=n÷2”是不是正確的。

（3）運(yùn)用規(guī)律，解決疑問。請(qǐng)你用這個(gè)規(guī)律算出第⑦個(gè)多邊形的面積。

“從問題中來，到問題中去”，探索起源于疑問，結(jié)論服務(wù)于問題的解決，這個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)符合科學(xué)探究的規(guī)律，符合知識(shí)形成的規(guī)律，也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能讓學(xué)生體會(huì)探索成功的樂趣，強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，激發(fā)進(jìn)一步探究的動(dòng)力。

2.放——同伴合作的自主探究活動(dòng)，學(xué)生獨(dú)立研究多邊形內(nèi)有兩個(gè)釘子的面積與邊上釘子數(shù)的關(guān)系

（1）創(chuàng)設(shè)矛盾，再次產(chǎn)生疑問。先出示？輥？輯？訛？輥？輰？訛兩個(gè)多邊形。

請(qǐng)你用剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，說出？輥？輯？訛？輥？輰？訛兩個(gè)多邊形的面積，再用以前學(xué)過的面積計(jì)算公式算出它們的面積，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)剛才的規(guī)律不能用于這兩個(gè)多邊形，引導(dǎo)學(xué)生辨析：為什么規(guī)律在這里又不適用了呢？用課件動(dòng)態(tài)出示⑧—⑩讓學(xué)生觀察對(duì)比兩組圖，得出：S=n÷2是圖內(nèi)有1個(gè)釘子的規(guī)律，結(jié)合板書形成完整的規(guī)律“當(dāng)a=1時(shí)，S=n÷2”。endprint

（2）同伴合作，共同研究。老師提出能激發(fā)學(xué)生思考的問題：“大家通過剛才的研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a=1時(shí)，釘子板上的多邊形面積正好是邊上釘子數(shù)的一半；那么當(dāng)a=2時(shí)，多邊形的面積又是什么呢？”請(qǐng)每小組4名同學(xué)合作研究，其中3人在釘子板上圍一個(gè)多邊形內(nèi)有2個(gè)釘子的圖形，算出面積，數(shù)數(shù)邊上釘子數(shù)，組長(zhǎng)觀察每一人的操作過程，幫助他們核查，然后把得到的數(shù)據(jù)報(bào)給組長(zhǎng)填寫在規(guī)律探究表2內(nèi)，共同研究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

規(guī)律探究表2

我的發(fā)現(xiàn)是：多邊形的面積是（ ）釘子數(shù)的（ ）。

（3）展示交流，師生共同研討。讓小組代表展示他們圍成的圖形和表中數(shù)據(jù)，交流他們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，師生共同總結(jié)得出：

當(dāng)a=2時(shí)，S=n÷2+1。

（4）驗(yàn)證規(guī)律。你發(fā)現(xiàn)的這個(gè)規(guī)律可以求釘子板上哪一類多邊形的面積，請(qǐng)你快速算出？輥？輯？訛？輥？輰？訛兩個(gè)多邊形的面積。

這個(gè)教學(xué)活動(dòng)，教師應(yīng)充分相信學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，完全放手讓學(xué)生自己構(gòu)圖，用自己創(chuàng)造的素材進(jìn)行相關(guān)的研究，把學(xué)生置于學(xué)習(xí)的主體地位，增強(qiáng)他們自主探索的信心，也增強(qiáng)新知獲得的認(rèn)同感，并提高小組合作的效率。小組合作如何有效，不是小組四名同伴重復(fù)做一樣的事，而是讓每一位成員分工協(xié)作，搜集不同的素材，提供有用的數(shù)據(jù)，然后匯總進(jìn)行合作研究，這也符合科學(xué)研究的方法。

3.引——大膽猜想的自主探索活動(dòng)，師生共同完善知識(shí)的整體建構(gòu)

（1）老師結(jié)合下面兩個(gè)已知結(jié)論，指導(dǎo)學(xué)生思考：

當(dāng)a=1時(shí)，S=n÷2，當(dāng)a=2時(shí)，S=n÷2+1。

那么，請(qǐng)你大膽猜一猜，當(dāng)a=3時(shí)，S= ；當(dāng)a=4時(shí)，S= 。請(qǐng)男生猜想a=3的規(guī)律，女生猜想a=4的規(guī)律，然后把你們的猜想寫在規(guī)律探究表3上，再想辦法驗(yàn)證自己的猜想。

規(guī)律探究表3

我圍成的多邊形內(nèi)有（ ）個(gè)釘子，邊上有（ ）個(gè)釘子。用猜想的規(guī)律算出的面積是S=（ ）÷2+（ ），用面積計(jì)算公式算：S= 。兩次算的面積 （相等，不等），規(guī)律是 （正確，錯(cuò)誤）。

（2）展示交流，形成共同的認(rèn)識(shí)。讓男、女生代表分別展示自己圍成的多邊形、面積等相關(guān)數(shù)據(jù)，分別得出：

當(dāng)a=3時(shí)，S=n÷2+2；當(dāng)a=4時(shí)，S=n÷2+3。

引導(dǎo)學(xué)生觀察已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的4道公式，接著追問：a=5呢？a=8呢？a=100呢？

最后思考：當(dāng)a不確定時(shí)，多邊形的面積S等于什么？得出：S=n÷2+a-1。接著教師引導(dǎo)學(xué)生思考：“這些規(guī)律這樣寫顯然有些復(fù)雜，請(qǐng)你從中選一個(gè)簡(jiǎn)單地表示這個(gè)規(guī)律，并說說它的意思。”

（3）用公式解釋前面的發(fā)現(xiàn)，促進(jìn)對(duì)知識(shí)的深入理解和整體把握。為什么當(dāng)a=1時(shí)，S=n÷2，其實(shí)就是當(dāng)a=1時(shí)，S=n÷2+1-1=n÷2；接著讓學(xué)生推導(dǎo)當(dāng)a=0時(shí)，S=n÷2=0-1=n÷2-1。

這一教學(xué)過程，學(xué)生在老師的引導(dǎo)下，通過猜想、討論、整理探究成果、回顧學(xué)習(xí)過程，對(duì)獲得的知識(shí)進(jìn)行總結(jié)與梳理。學(xué)生在猜想中模仿，在模仿中應(yīng)用，在應(yīng)用中認(rèn)知，不斷推進(jìn)和深化學(xué)習(xí)過程。

三、讓學(xué)生在有效而實(shí)用的實(shí)踐中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

知識(shí)要在應(yīng)用中才能得到鞏固與深化，技能要在應(yīng)用中才能形成與熟練，思想方法要在應(yīng)用中才能得到理解和升華，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)要在應(yīng)用中才能得到積累與豐富，思維水平要在應(yīng)用中才能得到激發(fā)與提升。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)既要重視學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得過程，也要重視數(shù)學(xué)練習(xí)的訓(xùn)練過程，讓學(xué)生在練習(xí)中提高數(shù)學(xué)能力。

（1）應(yīng)用公式解決問題，出示不規(guī)則圖形，算出它的面積。

本組練習(xí)只能用本節(jié)課學(xué)習(xí)的規(guī)律解決問題，既鞏固新知，也讓學(xué)生體會(huì)到新知的作用，體驗(yàn)探索成功的價(jià)值，品味學(xué)習(xí)的樂趣。

（2）在點(diǎn)子圖中畫兩個(gè)形狀不同、面積相等的不規(guī)則圖形，讓學(xué)生在實(shí)踐中進(jìn)一步積累實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)創(chuàng)造意識(shí)。

（3）介紹皮克定理，讓學(xué)生體會(huì)自己在課堂上的研究與發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)家的偉大發(fā)現(xiàn)是如此相似，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。

（4）介紹數(shù)學(xué)科普讀物《格點(diǎn)和面積》，引導(dǎo)學(xué)生課后深入學(xué)習(xí)。

學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不僅包括數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，還應(yīng)該包括數(shù)學(xué)史與文化等背景知識(shí)，課堂上我們不但要讓學(xué)生獲得知識(shí)，形成能力，還應(yīng)該結(jié)合教學(xué)內(nèi)容有機(jī)地進(jìn)行數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的滲透，從而豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。

這節(jié)課在設(shè)計(jì)與組織活動(dòng)過程中始終不忘“我是誰”“依靠誰”和“為了誰”的理念，努力提升課堂效率。

課堂教學(xué)中“我是誰”應(yīng)從兩個(gè)層面落實(shí)：一是教師層面，教師是課堂教學(xué)的組織者、引導(dǎo)者、合作者。在課堂上，教師要?jiǎng)?chuàng)造性地用好教材，整合優(yōu)化教學(xué)資源；在學(xué)生認(rèn)知的關(guān)鍵點(diǎn)，為學(xué)生提供豐富多彩而有價(jià)值的學(xué)習(xí)材料；在學(xué)生認(rèn)知的疑惑處，為學(xué)生指引點(diǎn)撥；在學(xué)生成功時(shí)，給學(xué)生鼓勵(lì)與表揚(yáng)，給學(xué)生學(xué)習(xí)不斷地輸送“助推劑”。二是學(xué)生層面，學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主人，教師要引導(dǎo)學(xué)生全程參與學(xué)習(xí)，在操作、思考、觀察、實(shí)驗(yàn)、交流等活動(dòng)中獲得知識(shí)。

課堂教學(xué)“依靠誰”？課堂教學(xué)的主人既然是學(xué)生，學(xué)習(xí)過程中各種活動(dòng)的設(shè)計(jì)就要考慮學(xué)生的情，教學(xué)活動(dòng)的組織與實(shí)施要依靠學(xué)生。本課教學(xué)中，疑問讓學(xué)生自己產(chǎn)生和提出，問題讓學(xué)生自己分析解決，學(xué)習(xí)素材讓學(xué)生自己收集，數(shù)據(jù)讓學(xué)生自己整理，規(guī)律讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證和理解，小組活動(dòng)讓學(xué)生自己參與、自己分工、自己完成，充分體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位。

課堂教學(xué)“為了誰”？課堂教學(xué)是為了學(xué)生的發(fā)展。課堂上的活動(dòng)應(yīng)始終圍繞學(xué)生開展，提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生在操作中獲得研究素材，在觀察對(duì)比中抽象概括，在展示交流中表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)，說明自己的觀點(diǎn)，解釋自己的認(rèn)知，在討論中驗(yàn)證自己的猜想，質(zhì)疑別人的想法，在師生合作中不斷糾正自己的認(rèn)識(shí)偏差，實(shí)現(xiàn)自覺發(fā)展。endprint

（2）同伴合作，共同研究。老師提出能激發(fā)學(xué)生思考的問題：“大家通過剛才的研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a=1時(shí)，釘子板上的多邊形面積正好是邊上釘子數(shù)的一半；那么當(dāng)a=2時(shí)，多邊形的面積又是什么呢？”請(qǐng)每小組4名同學(xué)合作研究，其中3人在釘子板上圍一個(gè)多邊形內(nèi)有2個(gè)釘子的圖形，算出面積，數(shù)數(shù)邊上釘子數(shù)，組長(zhǎng)觀察每一人的操作過程，幫助他們核查，然后把得到的數(shù)據(jù)報(bào)給組長(zhǎng)填寫在規(guī)律探究表2內(nèi)，共同研究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

規(guī)律探究表2

我的發(fā)現(xiàn)是：多邊形的面積是（ ）釘子數(shù)的（ ）。

（3）展示交流，師生共同研討。讓小組代表展示他們圍成的圖形和表中數(shù)據(jù)，交流他們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，師生共同總結(jié)得出：

當(dāng)a=2時(shí)，S=n÷2+1。

（4）驗(yàn)證規(guī)律。你發(fā)現(xiàn)的這個(gè)規(guī)律可以求釘子板上哪一類多邊形的面積，請(qǐng)你快速算出？輥？輯？訛？輥？輰？訛兩個(gè)多邊形的面積。

這個(gè)教學(xué)活動(dòng)，教師應(yīng)充分相信學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，完全放手讓學(xué)生自己構(gòu)圖，用自己創(chuàng)造的素材進(jìn)行相關(guān)的研究，把學(xué)生置于學(xué)習(xí)的主體地位，增強(qiáng)他們自主探索的信心，也增強(qiáng)新知獲得的認(rèn)同感，并提高小組合作的效率。小組合作如何有效，不是小組四名同伴重復(fù)做一樣的事，而是讓每一位成員分工協(xié)作，搜集不同的素材，提供有用的數(shù)據(jù)，然后匯總進(jìn)行合作研究，這也符合科學(xué)研究的方法。

3.引——大膽猜想的自主探索活動(dòng)，師生共同完善知識(shí)的整體建構(gòu)

（1）老師結(jié)合下面兩個(gè)已知結(jié)論，指導(dǎo)學(xué)生思考：

當(dāng)a=1時(shí)，S=n÷2，當(dāng)a=2時(shí)，S=n÷2+1。

那么，請(qǐng)你大膽猜一猜，當(dāng)a=3時(shí)，S= ；當(dāng)a=4時(shí)，S= 。請(qǐng)男生猜想a=3的規(guī)律，女生猜想a=4的規(guī)律，然后把你們的猜想寫在規(guī)律探究表3上，再想辦法驗(yàn)證自己的猜想。

規(guī)律探究表3

我圍成的多邊形內(nèi)有（ ）個(gè)釘子，邊上有（ ）個(gè)釘子。用猜想的規(guī)律算出的面積是S=（ ）÷2+（ ），用面積計(jì)算公式算：S= 。兩次算的面積 （相等，不等），規(guī)律是 （正確，錯(cuò)誤）。

（2）展示交流，形成共同的認(rèn)識(shí)。讓男、女生代表分別展示自己圍成的多邊形、面積等相關(guān)數(shù)據(jù)，分別得出：

當(dāng)a=3時(shí)，S=n÷2+2；當(dāng)a=4時(shí)，S=n÷2+3。

引導(dǎo)學(xué)生觀察已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的4道公式，接著追問：a=5呢？a=8呢？a=100呢？

最后思考：當(dāng)a不確定時(shí)，多邊形的面積S等于什么？得出：S=n÷2+a-1。接著教師引導(dǎo)學(xué)生思考：“這些規(guī)律這樣寫顯然有些復(fù)雜，請(qǐng)你從中選一個(gè)簡(jiǎn)單地表示這個(gè)規(guī)律，并說說它的意思。”

（3）用公式解釋前面的發(fā)現(xiàn)，促進(jìn)對(duì)知識(shí)的深入理解和整體把握。為什么當(dāng)a=1時(shí)，S=n÷2，其實(shí)就是當(dāng)a=1時(shí)，S=n÷2+1-1=n÷2；接著讓學(xué)生推導(dǎo)當(dāng)a=0時(shí)，S=n÷2=0-1=n÷2-1。

這一教學(xué)過程，學(xué)生在老師的引導(dǎo)下，通過猜想、討論、整理探究成果、回顧學(xué)習(xí)過程，對(duì)獲得的知識(shí)進(jìn)行總結(jié)與梳理。學(xué)生在猜想中模仿，在模仿中應(yīng)用，在應(yīng)用中認(rèn)知，不斷推進(jìn)和深化學(xué)習(xí)過程。

三、讓學(xué)生在有效而實(shí)用的實(shí)踐中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

知識(shí)要在應(yīng)用中才能得到鞏固與深化，技能要在應(yīng)用中才能形成與熟練，思想方法要在應(yīng)用中才能得到理解和升華，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)要在應(yīng)用中才能得到積累與豐富，思維水平要在應(yīng)用中才能得到激發(fā)與提升。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)既要重視學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得過程，也要重視數(shù)學(xué)練習(xí)的訓(xùn)練過程，讓學(xué)生在練習(xí)中提高數(shù)學(xué)能力。

（1）應(yīng)用公式解決問題，出示不規(guī)則圖形，算出它的面積。

本組練習(xí)只能用本節(jié)課學(xué)習(xí)的規(guī)律解決問題，既鞏固新知，也讓學(xué)生體會(huì)到新知的作用，體驗(yàn)探索成功的價(jià)值，品味學(xué)習(xí)的樂趣。

（2）在點(diǎn)子圖中畫兩個(gè)形狀不同、面積相等的不規(guī)則圖形，讓學(xué)生在實(shí)踐中進(jìn)一步積累實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)創(chuàng)造意識(shí)。

（3）介紹皮克定理，讓學(xué)生體會(huì)自己在課堂上的研究與發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)家的偉大發(fā)現(xiàn)是如此相似，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。

（4）介紹數(shù)學(xué)科普讀物《格點(diǎn)和面積》，引導(dǎo)學(xué)生課后深入學(xué)習(xí)。

學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不僅包括數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，還應(yīng)該包括數(shù)學(xué)史與文化等背景知識(shí)，課堂上我們不但要讓學(xué)生獲得知識(shí)，形成能力，還應(yīng)該結(jié)合教學(xué)內(nèi)容有機(jī)地進(jìn)行數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的滲透，從而豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。

這節(jié)課在設(shè)計(jì)與組織活動(dòng)過程中始終不忘“我是誰”“依靠誰”和“為了誰”的理念，努力提升課堂效率。

課堂教學(xué)中“我是誰”應(yīng)從兩個(gè)層面落實(shí)：一是教師層面，教師是課堂教學(xué)的組織者、引導(dǎo)者、合作者。在課堂上，教師要?jiǎng)?chuàng)造性地用好教材，整合優(yōu)化教學(xué)資源；在學(xué)生認(rèn)知的關(guān)鍵點(diǎn)，為學(xué)生提供豐富多彩而有價(jià)值的學(xué)習(xí)材料；在學(xué)生認(rèn)知的疑惑處，為學(xué)生指引點(diǎn)撥；在學(xué)生成功時(shí)，給學(xué)生鼓勵(lì)與表揚(yáng)，給學(xué)生學(xué)習(xí)不斷地輸送“助推劑”。二是學(xué)生層面，學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主人，教師要引導(dǎo)學(xué)生全程參與學(xué)習(xí)，在操作、思考、觀察、實(shí)驗(yàn)、交流等活動(dòng)中獲得知識(shí)。

課堂教學(xué)“依靠誰”？課堂教學(xué)的主人既然是學(xué)生，學(xué)習(xí)過程中各種活動(dòng)的設(shè)計(jì)就要考慮學(xué)生的情，教學(xué)活動(dòng)的組織與實(shí)施要依靠學(xué)生。本課教學(xué)中，疑問讓學(xué)生自己產(chǎn)生和提出，問題讓學(xué)生自己分析解決，學(xué)習(xí)素材讓學(xué)生自己收集，數(shù)據(jù)讓學(xué)生自己整理，規(guī)律讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證和理解，小組活動(dòng)讓學(xué)生自己參與、自己分工、自己完成，充分體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位。

課堂教學(xué)“為了誰”？課堂教學(xué)是為了學(xué)生的發(fā)展。課堂上的活動(dòng)應(yīng)始終圍繞學(xué)生開展，提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生在操作中獲得研究素材，在觀察對(duì)比中抽象概括，在展示交流中表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)，說明自己的觀點(diǎn)，解釋自己的認(rèn)知，在討論中驗(yàn)證自己的猜想，質(zhì)疑別人的想法，在師生合作中不斷糾正自己的認(rèn)識(shí)偏差，實(shí)現(xiàn)自覺發(fā)展。endprint

（2）同伴合作，共同研究。老師提出能激發(fā)學(xué)生思考的問題：“大家通過剛才的研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a=1時(shí)，釘子板上的多邊形面積正好是邊上釘子數(shù)的一半；那么當(dāng)a=2時(shí)，多邊形的面積又是什么呢？”請(qǐng)每小組4名同學(xué)合作研究，其中3人在釘子板上圍一個(gè)多邊形內(nèi)有2個(gè)釘子的圖形，算出面積，數(shù)數(shù)邊上釘子數(shù)，組長(zhǎng)觀察每一人的操作過程，幫助他們核查，然后把得到的數(shù)據(jù)報(bào)給組長(zhǎng)填寫在規(guī)律探究表2內(nèi)，共同研究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

規(guī)律探究表2

我的發(fā)現(xiàn)是：多邊形的面積是（ ）釘子數(shù)的（ ）。

（3）展示交流，師生共同研討。讓小組代表展示他們圍成的圖形和表中數(shù)據(jù)，交流他們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，師生共同總結(jié)得出：

當(dāng)a=2時(shí)，S=n÷2+1。

（4）驗(yàn)證規(guī)律。你發(fā)現(xiàn)的這個(gè)規(guī)律可以求釘子板上哪一類多邊形的面積，請(qǐng)你快速算出？輥？輯？訛？輥？輰？訛兩個(gè)多邊形的面積。

這個(gè)教學(xué)活動(dòng)，教師應(yīng)充分相信學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，完全放手讓學(xué)生自己構(gòu)圖，用自己創(chuàng)造的素材進(jìn)行相關(guān)的研究，把學(xué)生置于學(xué)習(xí)的主體地位，增強(qiáng)他們自主探索的信心，也增強(qiáng)新知獲得的認(rèn)同感，并提高小組合作的效率。小組合作如何有效，不是小組四名同伴重復(fù)做一樣的事，而是讓每一位成員分工協(xié)作，搜集不同的素材，提供有用的數(shù)據(jù)，然后匯總進(jìn)行合作研究，這也符合科學(xué)研究的方法。

3.引——大膽猜想的自主探索活動(dòng)，師生共同完善知識(shí)的整體建構(gòu)

（1）老師結(jié)合下面兩個(gè)已知結(jié)論，指導(dǎo)學(xué)生思考：

當(dāng)a=1時(shí)，S=n÷2，當(dāng)a=2時(shí)，S=n÷2+1。

那么，請(qǐng)你大膽猜一猜，當(dāng)a=3時(shí)，S= ；當(dāng)a=4時(shí)，S= 。請(qǐng)男生猜想a=3的規(guī)律，女生猜想a=4的規(guī)律，然后把你們的猜想寫在規(guī)律探究表3上，再想辦法驗(yàn)證自己的猜想。

規(guī)律探究表3

我圍成的多邊形內(nèi)有（ ）個(gè)釘子，邊上有（ ）個(gè)釘子。用猜想的規(guī)律算出的面積是S=（ ）÷2+（ ），用面積計(jì)算公式算：S= 。兩次算的面積 （相等，不等），規(guī)律是 （正確，錯(cuò)誤）。

（2）展示交流，形成共同的認(rèn)識(shí)。讓男、女生代表分別展示自己圍成的多邊形、面積等相關(guān)數(shù)據(jù)，分別得出：

當(dāng)a=3時(shí)，S=n÷2+2；當(dāng)a=4時(shí)，S=n÷2+3。

引導(dǎo)學(xué)生觀察已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的4道公式，接著追問：a=5呢？a=8呢？a=100呢？

最后思考：當(dāng)a不確定時(shí)，多邊形的面積S等于什么？得出：S=n÷2+a-1。接著教師引導(dǎo)學(xué)生思考：“這些規(guī)律這樣寫顯然有些復(fù)雜，請(qǐng)你從中選一個(gè)簡(jiǎn)單地表示這個(gè)規(guī)律，并說說它的意思?！?/p>

（3）用公式解釋前面的發(fā)現(xiàn)，促進(jìn)對(duì)知識(shí)的深入理解和整體把握。為什么當(dāng)a=1時(shí)，S=n÷2，其實(shí)就是當(dāng)a=1時(shí)，S=n÷2+1-1=n÷2；接著讓學(xué)生推導(dǎo)當(dāng)a=0時(shí)，S=n÷2=0-1=n÷2-1。

這一教學(xué)過程，學(xué)生在老師的引導(dǎo)下，通過猜想、討論、整理探究成果、回顧學(xué)習(xí)過程，對(duì)獲得的知識(shí)進(jìn)行總結(jié)與梳理。學(xué)生在猜想中模仿，在模仿中應(yīng)用，在應(yīng)用中認(rèn)知，不斷推進(jìn)和深化學(xué)習(xí)過程。

三、讓學(xué)生在有效而實(shí)用的實(shí)踐中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

知識(shí)要在應(yīng)用中才能得到鞏固與深化，技能要在應(yīng)用中才能形成與熟練，思想方法要在應(yīng)用中才能得到理解和升華，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)要在應(yīng)用中才能得到積累與豐富，思維水平要在應(yīng)用中才能得到激發(fā)與提升。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)既要重視學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得過程，也要重視數(shù)學(xué)練習(xí)的訓(xùn)練過程，讓學(xué)生在練習(xí)中提高數(shù)學(xué)能力。

（1）應(yīng)用公式解決問題，出示不規(guī)則圖形，算出它的面積。

本組練習(xí)只能用本節(jié)課學(xué)習(xí)的規(guī)律解決問題，既鞏固新知，也讓學(xué)生體會(huì)到新知的作用，體驗(yàn)探索成功的價(jià)值，品味學(xué)習(xí)的樂趣。

（2）在點(diǎn)子圖中畫兩個(gè)形狀不同、面積相等的不規(guī)則圖形，讓學(xué)生在實(shí)踐中進(jìn)一步積累實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)創(chuàng)造意識(shí)。

（3）介紹皮克定理，讓學(xué)生體會(huì)自己在課堂上的研究與發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)家的偉大發(fā)現(xiàn)是如此相似，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。

（4）介紹數(shù)學(xué)科普讀物《格點(diǎn)和面積》，引導(dǎo)學(xué)生課后深入學(xué)習(xí)。

學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不僅包括數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，還應(yīng)該包括數(shù)學(xué)史與文化等背景知識(shí)，課堂上我們不但要讓學(xué)生獲得知識(shí)，形成能力，還應(yīng)該結(jié)合教學(xué)內(nèi)容有機(jī)地進(jìn)行數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的滲透，從而豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。

這節(jié)課在設(shè)計(jì)與組織活動(dòng)過程中始終不忘“我是誰”“依靠誰”和“為了誰”的理念，努力提升課堂效率。

課堂教學(xué)中“我是誰”應(yīng)從兩個(gè)層面落實(shí)：一是教師層面，教師是課堂教學(xué)的組織者、引導(dǎo)者、合作者。在課堂上，教師要?jiǎng)?chuàng)造性地用好教材，整合優(yōu)化教學(xué)資源；在學(xué)生認(rèn)知的關(guān)鍵點(diǎn)，為學(xué)生提供豐富多彩而有價(jià)值的學(xué)習(xí)材料；在學(xué)生認(rèn)知的疑惑處，為學(xué)生指引點(diǎn)撥；在學(xué)生成功時(shí)，給學(xué)生鼓勵(lì)與表揚(yáng)，給學(xué)生學(xué)習(xí)不斷地輸送“助推劑”。二是學(xué)生層面，學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主人，教師要引導(dǎo)學(xué)生全程參與學(xué)習(xí)，在操作、思考、觀察、實(shí)驗(yàn)、交流等活動(dòng)中獲得知識(shí)。

課堂教學(xué)“依靠誰”？課堂教學(xué)的主人既然是學(xué)生，學(xué)習(xí)過程中各種活動(dòng)的設(shè)計(jì)就要考慮學(xué)生的情，教學(xué)活動(dòng)的組織與實(shí)施要依靠學(xué)生。本課教學(xué)中，疑問讓學(xué)生自己產(chǎn)生和提出，問題讓學(xué)生自己分析解決，學(xué)習(xí)素材讓學(xué)生自己收集，數(shù)據(jù)讓學(xué)生自己整理，規(guī)律讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證和理解，小組活動(dòng)讓學(xué)生自己參與、自己分工、自己完成，充分體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位。

課堂教學(xué)“為了誰”？課堂教學(xué)是為了學(xué)生的發(fā)展。課堂上的活動(dòng)應(yīng)始終圍繞學(xué)生開展，提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生在操作中獲得研究素材，在觀察對(duì)比中抽象概括，在展示交流中表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)，說明自己的觀點(diǎn)，解釋自己的認(rèn)知，在討論中驗(yàn)證自己的猜想，質(zhì)疑別人的想法，在師生合作中不斷糾正自己的認(rèn)識(shí)偏差，實(shí)現(xiàn)自覺發(fā)展。endprint