盧君娥

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）在說明解釋“經(jīng)歷”“體驗”“探索”這三個過程目標(biāo)行為動詞的含義時，都把“特定的數(shù)學(xué)活動”作為關(guān)鍵要素。由此可見，數(shù)學(xué)活動是實現(xiàn)過程目標(biāo)的基本途徑。蘇聯(lián)著名教育家斯托利亞爾在《數(shù)學(xué)教育學(xué)》一書中指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。”也就是說，數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程都是某種形式的數(shù)學(xué)活動，它主要是通過對學(xué)生學(xué)習(xí)活動的結(jié)果來考察衡量的。

數(shù)學(xué)是一門思維的科學(xué)。作為結(jié)果的數(shù)學(xué)，其呈現(xiàn)的往往是“既定的形式”，只有有過程的數(shù)學(xué)才能體現(xiàn)“鮮活的數(shù)學(xué)”。因此，數(shù)學(xué)的特質(zhì)在于過程，教學(xué)就是一種過程性的存在。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展并非單純通過接受數(shù)學(xué)事實來體現(xiàn)，而更多地需要在數(shù)學(xué)活動的過程中來實現(xiàn)。

一、操作性活動要有助于經(jīng)歷知識形成的過程

數(shù)學(xué)知識作為結(jié)果的呈現(xiàn)，往往只是一種符號，但其背后隱含著豐富的過程。只有在過程中引導(dǎo)學(xué)生自己理解，才能使學(xué)生建構(gòu)起知識的意義，體會知識背后的內(nèi)涵。為此，在教學(xué)中，特別是幾何直觀的教學(xué)中，要科學(xué)設(shè)計活動，通過充分的操作感知，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識形成的過程，溝通知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識內(nèi)在本質(zhì)的互通性，從而完善學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，促進過程性目標(biāo)的達成。

例如，人教版六年級《圓的認識》一課的教學(xué)，筆者在教學(xué)前進行了如下思考：從“生活中的圓”到“數(shù)學(xué)中的圓”，應(yīng)該設(shè)計怎樣的操作活動，才能促進學(xué)生把“經(jīng)驗”發(fā)展為“知識”？半徑、直徑等數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和認識，學(xué)生需要經(jīng)歷怎樣的學(xué)習(xí)過程才能真正感知并理解？基于上述兩點思考，筆者設(shè)計了如下系列活動：首先，通過“看圓”活動，引導(dǎo)學(xué)生找尋、欣賞生活中圓形的物體，讓學(xué)生體驗生活中處處有圓，圓無處不在，從而產(chǎn)生認識探究圓的心理需求；其次，通過“說圓”活動，讓學(xué)生分享課前所得圓形紙片的操作過程，對比已經(jīng)學(xué)過的平面圖形，體驗圓與其他直線圖形的區(qū)別——圓是平面上的一個曲線圖形；最后在“折圓”的活動中，通過操作、觀察、質(zhì)疑、討論、測量、驗證等系列活動，讓學(xué)生操作與全班互動交流和諧統(tǒng)一，在不斷追問中逐步理解、明晰、構(gòu)建、完善對圓的認識，理解圓的特征，半徑與直徑之間的關(guān)系，真正使概念的建構(gòu)過程成為一個“意義賦予”的過程，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的層次，培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括、判斷、推理等數(shù)學(xué)能力?！爱媹A”活動，首先要求同桌兩人交換嘗試用圓規(guī)畫圓，一個同學(xué)畫圓，另一個仔細觀察同桌的畫法，然后分別口述同桌畫圓的過程及其優(yōu)缺點。在操作、比較、交流的過程中，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)不規(guī)則的圓是如何被“創(chuàng)造”出來的，讓出現(xiàn)類似問題的學(xué)生引起注意，交流、分享畫出又快又好的圓的方法和竅門，在不斷糾錯、交流、分享的過程中完善用圓規(guī)畫圓的方法，接著讓學(xué)生用自己總結(jié)出的畫法畫指定大小的圓，鞏固驗證畫圓的方法，在比較中發(fā)現(xiàn)圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小這一特點?！稗q圓”活動，讓學(xué)生內(nèi)化圓的特征和圓的本質(zhì)——“圓，一中同長也”，溝通圓心、半徑、直徑的關(guān)系，從而由知識點→知識鏈→知識網(wǎng)，完善學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)。

“看圓—說圓—折圓—畫圓—辯圓—賞圓”等系列活動過程，不僅順應(yīng)了知識發(fā)生、發(fā)展的過程，也體現(xiàn)了概念構(gòu)建的全過程。

二、體驗性活動要有助于經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)模型”是指用數(shù)學(xué)的方式、方法刻畫現(xiàn)實問題，從而形成解決這類問題的特定的“模型”。在教學(xué)中，教師要有“模型”意識，設(shè)計體驗性活動，引導(dǎo)學(xué)生把“生活問題”上升為“數(shù)學(xué)問題”，從“生活世界”逐步走向“數(shù)學(xué)世界”，進而上升為“符號世界”，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例如，人教版三年級《面積和面積單位》一課，要建立“面積”這一數(shù)學(xué)模型，需要理解“物體表面的大小”“封閉圖形”“封閉圖形的大小”等概念。“物體表面的大小”可以讓學(xué)生借助生活經(jīng)驗進行感知和理解，而“封閉圖形”則需要學(xué)生依靠體驗直觀圖形來建立概念。因此，設(shè)計體驗性活動，要為學(xué)生的認知創(chuàng)設(shè)必要的活動情境，提供觀察和研究的對象，才能引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建立過程。第一個環(huán)節(jié)：充分感知——觀察、感受“物體表面的大小”。指一指：我們身邊有很多物體，如黑板、幕布、書本、課桌等，它們的表面在哪？摸一摸：摸一摸這些物體的表面，有什么感覺？比一比：這些物體的表面，哪個大一些？哪個小一些呢？在大量直觀、實踐、體驗活動中，學(xué)生能充分感知“面”是什么，進而建立“物體表面的大小”這一概念的表象；接著運用“面積”說一說：黑板的表面比課桌的表面大，現(xiàn)在還可以怎么說？生活中還在哪里聽到過面積？這一環(huán)節(jié)讓學(xué)生經(jīng)歷了從生活直觀認識到較為深入理解這一過程。第二個環(huán)節(jié)：提煉抽象——建立“封閉圖形”的概念，并在此基礎(chǔ)上觀察、感受“封閉圖形”的大小。物體表面有面積，圖形是否也有面積呢？教師出示5個圖形，并編上序號。

提問：你覺得這五個圖形中，哪些圖形是有面積的？為什么④、⑤號沒有面積？能給⑤號動個小手術(shù)，讓它有面積嗎？通過剛才的活動，說說怎樣的圖形才有面積。這一直觀情境的創(chuàng)設(shè)，看似簡單，但其內(nèi)涵豐富，特別是“給圖形動個手術(shù)”這一體驗性活動，強化了學(xué)生對“圍成”“封閉圖形”及“面積”概念的理解，是學(xué)生自我感悟的重要環(huán)節(jié)，能有效地反映學(xué)生提煉與抽象的過程，提升學(xué)生的認知能力。

建構(gòu)主義認為：學(xué)生的建構(gòu)不是教師傳授的結(jié)果，而是通過親身體驗，通過與學(xué)習(xí)環(huán)境的交互作用來實現(xiàn)的。“物體的表面及大小”是什么？說不清，道不明，但只要動手通過“指一指”“摸一摸”“比一比”等活動體驗，學(xué)生就能做到心中有數(shù)了。通過給圖形做手術(shù)，將④、⑤兩個圖加上線“圍”起來這一直觀動態(tài)的過程，讓學(xué)生形象理解“面積是指一個確定區(qū)域（封閉圖形內(nèi)）的大小”。通過科學(xué)設(shè)計體驗性活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從“生活經(jīng)驗”上升到“數(shù)學(xué)抽象”的過程，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的“產(chǎn)生、抽象與完善”的過程，有利于學(xué)生建構(gòu)完整的數(shù)學(xué)模型。

三、探究性活動要有助于經(jīng)歷思維發(fā)展的過程

小學(xué)生的思維是從形象思維向抽象思維不斷發(fā)展的。數(shù)學(xué)概念的抽象決定了教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“動作表征—圖形表征—符號表征”的過程。不同思維層次的提升，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象化程度的不斷提高，使數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)更具有一般性和普遍性。因此，教師要把握好學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，挖掘教材的思維內(nèi)涵，設(shè)計探究性活動，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。endprint

例如，人教版四年級《三角形邊的關(guān)系》一課的教學(xué)，教材從小明上學(xué)走哪條路最近出發(fā)，引入新課。根據(jù)學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和思維習(xí)慣，走直線最近這是理所當(dāng)然的。因此，從情境圖到探究“三角形三邊的關(guān)系”的數(shù)學(xué)問題，是老師要學(xué)生研究的，而非學(xué)生自己要研究的。筆者認為，可以重組教材，首先創(chuàng)設(shè)矛盾沖突，激發(fā)學(xué)生對三邊關(guān)系這一問題的探究需求和欲望，然后再引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“合理猜測—探究驗證—分析說理—歸納提煉”等探究活動過程，讓學(xué)生從直覺感受上升到理性認識，最后完整歸納得出三角形三邊的關(guān)系，這樣更有利于培養(yǎng)學(xué)生歸納、判斷和推理的能力。于是筆者設(shè)計了如下活動：

首先談話激疑，創(chuàng)設(shè)矛盾：什么是三角形？給你三根小棒，你能圍成一個三角形嗎？小組合作，每位同學(xué)在各自小組選一組小棒來擺一擺。每個小組內(nèi)提供四套不同顏色的小棒，規(guī)格分別是：①6cm、7cm、8cm，②5cm、5cm、5cm，③4cm、5cm、9cm，④3cm、6cm、10cm。

選中①②組小棒的同學(xué)能擺成三角形，而選中③④組的卻怎么也擺不成?！罢f能圍成，做卻不能；同伴能圍，我卻不能?！痹谶@雙重矛盾的強烈沖擊下，學(xué)生產(chǎn)生迫不及待的探究欲望，變“要我研究”為“我要研究”；接著引發(fā)猜想、操作驗證：“有三根小棒卻擺不成三角形，這是為什么呢？”分兩個層面提問學(xué)生，一是圍不成的同學(xué)：“你圍成了三角形嗎？為什么沒有圍成？”二是圍成的同學(xué)：“你圍成了三角形嗎？你知道圍成的原因嗎？”在交流與探究中逐步引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生猜想：“任意兩根小棒長度的和一定比第三根長”，培養(yǎng)學(xué)生的合理猜想與判斷能力；“有什么辦法可以說明你們的猜想是正確的？”小組討論、反饋驗證方法：直接比較法、增長法、剪短法、數(shù)據(jù)分析驗證法等。教師提供表格，學(xué)生選擇數(shù)據(jù)分析法開展驗證，通過小組匯報自己的發(fā)現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生具體分析，同一組小棒中要任意兩根小棒的長度和大于第三根才能圍成三角形，明白只要其中兩根的和等于或小于第三根，都不能圍成三角形，有效突破對“任意”二字的理解。然后引導(dǎo)學(xué)生從三角形實物轉(zhuǎn)化到三角形圖形，從直覺感受上升到理性認識；最后從“任意兩根小棒的長度和大于第三根才能圍成三角形”完整歸納得出三角形三邊的關(guān)系：“三角形任意兩邊的和大于第三邊”，培養(yǎng)學(xué)生的歸納、推理能力。

整個活動設(shè)計中，教師以學(xué)生的學(xué)習(xí)心理為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生通過大膽猜想，積極驗證和合理歸納，使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識的同時，學(xué)習(xí)了猜想、驗證、歸納、推理等科學(xué)探究方法，有效激活了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升了學(xué)生的思維品質(zhì)。

數(shù)學(xué)的發(fā)展過程，大致可分為三個階段：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程—數(shù)學(xué)完善過程—數(shù)學(xué)應(yīng)用過程。由以上幾個案例的探討可見，針對每個過程，我們都應(yīng)精心設(shè)計與其水平相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動。實踐表明：充分考慮有效數(shù)學(xué)活動的組織策略，才能使我們的課堂教學(xué)在不同水平的數(shù)學(xué)活動的相互交融遞進中更好地達成課程標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)的過程性目標(biāo)。endprint

例如，人教版四年級《三角形邊的關(guān)系》一課的教學(xué)，教材從小明上學(xué)走哪條路最近出發(fā)，引入新課。根據(jù)學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和思維習(xí)慣，走直線最近這是理所當(dāng)然的。因此，從情境圖到探究“三角形三邊的關(guān)系”的數(shù)學(xué)問題，是老師要學(xué)生研究的，而非學(xué)生自己要研究的。筆者認為，可以重組教材，首先創(chuàng)設(shè)矛盾沖突，激發(fā)學(xué)生對三邊關(guān)系這一問題的探究需求和欲望，然后再引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“合理猜測—探究驗證—分析說理—歸納提煉”等探究活動過程，讓學(xué)生從直覺感受上升到理性認識，最后完整歸納得出三角形三邊的關(guān)系，這樣更有利于培養(yǎng)學(xué)生歸納、判斷和推理的能力。于是筆者設(shè)計了如下活動：

首先談話激疑，創(chuàng)設(shè)矛盾：什么是三角形？給你三根小棒，你能圍成一個三角形嗎？小組合作，每位同學(xué)在各自小組選一組小棒來擺一擺。每個小組內(nèi)提供四套不同顏色的小棒，規(guī)格分別是：①6cm、7cm、8cm，②5cm、5cm、5cm，③4cm、5cm、9cm，④3cm、6cm、10cm。

選中①②組小棒的同學(xué)能擺成三角形，而選中③④組的卻怎么也擺不成?！罢f能圍成，做卻不能；同伴能圍，我卻不能。”在這雙重矛盾的強烈沖擊下，學(xué)生產(chǎn)生迫不及待的探究欲望，變“要我研究”為“我要研究”；接著引發(fā)猜想、操作驗證：“有三根小棒卻擺不成三角形，這是為什么呢？”分兩個層面提問學(xué)生，一是圍不成的同學(xué)：“你圍成了三角形嗎？為什么沒有圍成？”二是圍成的同學(xué)：“你圍成了三角形嗎？你知道圍成的原因嗎？”在交流與探究中逐步引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生猜想：“任意兩根小棒長度的和一定比第三根長”，培養(yǎng)學(xué)生的合理猜想與判斷能力；“有什么辦法可以說明你們的猜想是正確的？”小組討論、反饋驗證方法：直接比較法、增長法、剪短法、數(shù)據(jù)分析驗證法等。教師提供表格，學(xué)生選擇數(shù)據(jù)分析法開展驗證，通過小組匯報自己的發(fā)現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生具體分析，同一組小棒中要任意兩根小棒的長度和大于第三根才能圍成三角形，明白只要其中兩根的和等于或小于第三根，都不能圍成三角形，有效突破對“任意”二字的理解。然后引導(dǎo)學(xué)生從三角形實物轉(zhuǎn)化到三角形圖形，從直覺感受上升到理性認識；最后從“任意兩根小棒的長度和大于第三根才能圍成三角形”完整歸納得出三角形三邊的關(guān)系：“三角形任意兩邊的和大于第三邊”，培養(yǎng)學(xué)生的歸納、推理能力。

整個活動設(shè)計中，教師以學(xué)生的學(xué)習(xí)心理為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生通過大膽猜想，積極驗證和合理歸納，使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識的同時，學(xué)習(xí)了猜想、驗證、歸納、推理等科學(xué)探究方法，有效激活了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升了學(xué)生的思維品質(zhì)。

數(shù)學(xué)的發(fā)展過程，大致可分為三個階段：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程—數(shù)學(xué)完善過程—數(shù)學(xué)應(yīng)用過程。由以上幾個案例的探討可見，針對每個過程，我們都應(yīng)精心設(shè)計與其水平相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動。實踐表明：充分考慮有效數(shù)學(xué)活動的組織策略，才能使我們的課堂教學(xué)在不同水平的數(shù)學(xué)活動的相互交融遞進中更好地達成課程標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)的過程性目標(biāo)。endprint

例如，人教版四年級《三角形邊的關(guān)系》一課的教學(xué)，教材從小明上學(xué)走哪條路最近出發(fā)，引入新課。根據(jù)學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和思維習(xí)慣，走直線最近這是理所當(dāng)然的。因此，從情境圖到探究“三角形三邊的關(guān)系”的數(shù)學(xué)問題，是老師要學(xué)生研究的，而非學(xué)生自己要研究的。筆者認為，可以重組教材，首先創(chuàng)設(shè)矛盾沖突，激發(fā)學(xué)生對三邊關(guān)系這一問題的探究需求和欲望，然后再引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“合理猜測—探究驗證—分析說理—歸納提煉”等探究活動過程，讓學(xué)生從直覺感受上升到理性認識，最后完整歸納得出三角形三邊的關(guān)系，這樣更有利于培養(yǎng)學(xué)生歸納、判斷和推理的能力。于是筆者設(shè)計了如下活動：

首先談話激疑，創(chuàng)設(shè)矛盾：什么是三角形？給你三根小棒，你能圍成一個三角形嗎？小組合作，每位同學(xué)在各自小組選一組小棒來擺一擺。每個小組內(nèi)提供四套不同顏色的小棒，規(guī)格分別是：①6cm、7cm、8cm，②5cm、5cm、5cm，③4cm、5cm、9cm，④3cm、6cm、10cm。

選中①②組小棒的同學(xué)能擺成三角形，而選中③④組的卻怎么也擺不成?！罢f能圍成，做卻不能；同伴能圍，我卻不能?！痹谶@雙重矛盾的強烈沖擊下，學(xué)生產(chǎn)生迫不及待的探究欲望，變“要我研究”為“我要研究”；接著引發(fā)猜想、操作驗證：“有三根小棒卻擺不成三角形，這是為什么呢？”分兩個層面提問學(xué)生，一是圍不成的同學(xué)：“你圍成了三角形嗎？為什么沒有圍成？”二是圍成的同學(xué)：“你圍成了三角形嗎？你知道圍成的原因嗎？”在交流與探究中逐步引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生猜想：“任意兩根小棒長度的和一定比第三根長”，培養(yǎng)學(xué)生的合理猜想與判斷能力；“有什么辦法可以說明你們的猜想是正確的？”小組討論、反饋驗證方法：直接比較法、增長法、剪短法、數(shù)據(jù)分析驗證法等。教師提供表格，學(xué)生選擇數(shù)據(jù)分析法開展驗證，通過小組匯報自己的發(fā)現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生具體分析，同一組小棒中要任意兩根小棒的長度和大于第三根才能圍成三角形，明白只要其中兩根的和等于或小于第三根，都不能圍成三角形，有效突破對“任意”二字的理解。然后引導(dǎo)學(xué)生從三角形實物轉(zhuǎn)化到三角形圖形，從直覺感受上升到理性認識；最后從“任意兩根小棒的長度和大于第三根才能圍成三角形”完整歸納得出三角形三邊的關(guān)系：“三角形任意兩邊的和大于第三邊”，培養(yǎng)學(xué)生的歸納、推理能力。

整個活動設(shè)計中，教師以學(xué)生的學(xué)習(xí)心理為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生通過大膽猜想，積極驗證和合理歸納，使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識的同時，學(xué)習(xí)了猜想、驗證、歸納、推理等科學(xué)探究方法，有效激活了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升了學(xué)生的思維品質(zhì)。

數(shù)學(xué)的發(fā)展過程，大致可分為三個階段：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程—數(shù)學(xué)完善過程—數(shù)學(xué)應(yīng)用過程。由以上幾個案例的探討可見，針對每個過程，我們都應(yīng)精心設(shè)計與其水平相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動。實踐表明：充分考慮有效數(shù)學(xué)活動的組織策略，才能使我們的課堂教學(xué)在不同水平的數(shù)學(xué)活動的相互交融遞進中更好地達成課程標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)的過程性目標(biāo)。endprint