詹森，王輝豐

30廣東技術師范學院計算機科學系，廣東廣州510665；2.海南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，海南?？?71158

構造雙偶數(shù)階空間更完美幻立方的四步法

詹森1，王輝豐2

給出構造雙偶數(shù)n=4m（m=1，2，…為自然數(shù)）階空間更完美幻立方的四步法及其理論證明.這個方法可得到22m（（2m）!）個不同的n=4m（m=1，2，…為自然數(shù)）階空間更完美幻立方.

最完美幻方；幻立方；空間完美幻立方；空間更完美幻立方；四步法

文[1-16]研究了n×n的各種2維幻方，n×n×n的3維幻立方比2維幻方更復雜.文[17]討論了3維幻立方，提出了構造奇數(shù)階對稱幻立方及對稱完美幻立方的方法.下文將討論3維更完美幻立方.為了方便起見，首先將文[17]、[18]的一些有關概念及余函數(shù)的結果敘述如下：幻立方是指n×n×n的3維幻方，其n2個行，n2個列，n2個縱列上以及四條空間對角線上的n個元素之和都相等，即等于同一個常數(shù)，這個常數(shù)稱為幻立方常數(shù).如果幻立方是由1~n的連續(xù)自然數(shù)所組成，則幻立方常數(shù)為

空間完美幻立方是指空間四個方向的各條對角線上和泛對角線上n個元素之和都等于n階幻立方常數(shù)的幻立方.

空間更完美幻立方是指空間四個方向的各條對角線、泛對角線上任何相距2m個位置的兩個數(shù)之和都等于n3+1的空間完美幻立方.

預備定理對n=4m（m是m≠3t，t=1，2，…的自然數(shù)），則r（-3i）（i=1，2，…，n）是1~n的自然數(shù).

證明1）對m=3t+1（t=0，1，2，…為自然數(shù)），由余函數(shù)定義知，當i=1，2，…，4t+1時，r（-3i）是一個4m-3~1公差為3的等差有限數(shù)列；當i=4t+2，…，8t+ 2時，r（-3i）是一個4m-2~2公差為3的等差有限數(shù)列.當i=8t+3，…，12t+3時，r（-3i）是一個4m-1~3公差為3的等差有限數(shù)列；i=4m時，r（-3i）=4m=n.所以，r（-3i）（i=1，2，…，n）是1~n的自然數(shù).2）對m=3t+ 2（t=0，1，2，…為自然數(shù)），由余函數(shù)定義知，當i=1，2，…，4t+2時，r（-3i）是一個4m-3~2公差為3的等差有限數(shù)列；當i=4t+3，…，8t+5時，r（-3i）是一個4m-1~1公差為3的等差有限數(shù)列；當i=8t+6，…，12t+7時，r（-3i）是一個4m-2~3公差為3的等差有限數(shù)列；i=4m時，r（-3i）=4m=n.所以，r（-3i）（i=1，2，…，n）是1~n的自然數(shù).

推論對n=4m（m是自然數(shù)且m≠3t，t=1，2，…），則r（-3i+C）（i=1，2，…，n）是1~n的自然數(shù)（其中C為任意給定的自然數(shù)）.

1 構造雙偶數(shù)階空間更完美幻立方的四步法

第一步用文[14]的方法構造一個雙偶數(shù)n=4m（m=1，2，…為自然數(shù)）階由1~n2的連續(xù)自然數(shù)所組成的最完美幻方A，其相應的基方陣各列的n個數(shù)是按事先選定的順序安裝的.

最完美幻方A位于第i行、第j列的元素記為a（i，j）（i，j=1，2，…，n），其每一行，每一列上n個元素之和都等于雙偶數(shù)階幻方的幻方常數(shù)，即

兩個方向上所有對角線上或泛對角線上任何相距2m個位置的兩個數(shù)之和都等于n2+1，即

很明顯，上面這一等式已保證了幻方的完美性.

即兩個方向上所有對角線上或泛對角線上n個元素之和都等于n=4m（m=1，2，…為自然數(shù)）階幻方的幻方常數(shù)

第二步構造第k（k=1，2，…，n）個截面的基方陣（簡稱截面基陣）Bk，Bk位于第i行、第j列的元素記為b（k，i，j）（i，j=1，2，…，n）.

對i=1，2，…，n，取

此處的di（i=1，2，…，n與構造最完美幻方A的基方陣時所取的di（i=1，2，…，n）是相同的.即Bk各列的n個數(shù)是按第一步中，最完美幻方的基方陣A的各列n個數(shù)同樣的順序安裝的.

第三步對第k（k=1，2，…，n）個截面基陣Bk作行變換，所得方陣記為Ck.基方陣Bk上半部分的行不變，笫2m+1~4m行依次作為方陣Ck的第4m~2m+1行.

設n階方陣Ck位于第i行、第j列的元素記為c（k，i，j）（i，j=1，2，…，n），則

即

方陣Ck第i（i=1，2，…，2m）行元素之和為

當i=2m+1，…，4m時，有

即方陣Ck第i（i=1，2，…，n）行元素之和為

第四步第k（k=1，2，…，n）個截面的方陣Ck第i（i=1，2，…，n）行向右順移3（i+k-2）個位置得方陣Dk.

設n階方陣Dk位于第i行、第j列的元素記為d（k，i，j）（i，j=1，2，…，n），則

由此n個截面Dk（k=1，2，…，n）組成的數(shù)字立方陣D就是一個雙偶數(shù)n=4m（m是自然數(shù)且m≠3t，t= 1，2，…）階空間更完美幻立方（見定理證明）.

1）當i=1，2，…，2m時，若s為奇數(shù)，則

若s為偶數(shù)，則

2）當i=2m+1，…，4m時，若s為奇數(shù)，則

若s為偶數(shù)，則

2 定理及證明

定理1由上述四步法得到的數(shù)字立方陣D是一個雙偶數(shù)n=4m（m是自然數(shù)且m≠3t，t=1，2，…）階空間更完美幻立方.

證明分三步進行證明

1）數(shù)字立方陣D以k軸為法線方向的k（k=1，2，…，n）個截面Dk，其各行和各列上n個元素的和都等于幻立方常數(shù)?

事實上，因Dk與Ck（k=1，2，…，n）的每一行由同樣的元素組成，由四步法的第三步知

即截面Dk第i行（i=1，2，…，n）n個元素的和都等于幻立方常數(shù).

當k、j同為奇數(shù)或同為偶數(shù)時，對給定的k、j，有

這里，s與i的奇偶相同，又由預備定理，當i=1，2，…，n時，s取遍1~n=4m的自然數(shù)，所以

當k、j一個為奇數(shù)另一個為偶數(shù)時，對給定的k、j，有

這里，s與i的奇偶相反，有

即截面Dk第j列（j=1，2，…，n）n個元素的和為

2）數(shù)字立方陣D以j軸為法線方向的j（j=1，2，…，n）個截面Dj，其各行和各列上n個元素的和都等于幻立方常數(shù)，即每一縱列n個元素之和都等于.

當i、j同為奇數(shù)或同為偶數(shù)時，對給定的i、j，有

這里，s與k的奇偶相同，又由預備定理，當k=1，2，…，n時，s取遍1~n=4m的自然數(shù)，當i=1，2，…，2m，有

當i=2m+1，…，4m，有

當i、j一個為奇數(shù)另一個為偶數(shù)時，對給定的i、j，有

這里，s與k的奇偶相反，同理可證

即數(shù)字立方陣D每一縱列n個元素之和為

由式（1），（2）和（3）知，數(shù)字立方陣D的所有行，列和縱列上n個元素之和都等于

3）考察d（k，i，j）與d（r（2m+k），r（2m+i），r（2m+ j））之和

當s為奇數(shù)時，r（2m+s）同為奇數(shù)，當i=1，2，…，2m，有

當i=2m+1，…，4m，有

當s為偶數(shù)時，同理可證

由四步法得到的n個截面Dk（k=1，2，…，n）組成的立方陣D其空間四個方向的各對角線、泛對角線上任何相距2m個位置的兩個數(shù)之和都等于n3+1.由此，其空間四個方向的各對角線、泛對角線上n個元素之和都等于.所以，D是一個雙偶數(shù)n=4m（m是自然數(shù)且m≠3t，t=1，2，…）階空間更完美幻立方.

因構造最完美幻方A是由1~n3的連續(xù)自然數(shù)所組成的，故空間更完美幻立方D是由（1-1）n+1~（n2+ 1）n-n，即由1~n3的連續(xù)自然數(shù)所組成，定理證畢.

定理2用上述四步法得到的數(shù)字立方陣D是一個雙偶數(shù)n=4m（m=1，2，…為自然數(shù)）階空間更完美幻立方.

證明類似定理1的證明，考察n=4m（m是自然數(shù)且m≠5t，t=1，2，…、m≠15t，t=1，2，…等）情況.在四步法的第四步中,若第k（k=1，2，…，n）個截面的方陣Ck第i行（i=1，2，…，n）向右分別順移5（i+k-2）、

15（i+k-2）…個位置得方陣Dk.由此k個截面Dk（k=1，2，…，n）所組成的方陣D，同理可證：D是一個雙偶數(shù)n=4m（m是自然數(shù)且m≠5t，t=1，2，…、m≠15t，t=1，2，…等）階空間更完美幻立方.對于其他各種情況，只要簡單地調整一下第四步中的順移位置，就可構造出任何雙偶數(shù)n=4m（m=1，2，…為自然數(shù)）階空間更完美幻立方.定理證畢.

一個最完美幻方可構造出一個雙偶數(shù)階空間更完美幻立方，所以，四步法可構造出22m（（2m）!）個不同的n=4m（m=1，2，…的自然數(shù)）階空間更完美幻立方.

例用四步法構造一個8階空間更完美幻立方

第一步根據(jù)文[14]中構造最完美幻方的三步法，構造一個8階最完美幻方A（見圖1）.

圖1 8階最完美幻方Fig.18-order the most perfect magic square

第二步構造第k（k=1，2，…，8）個截面基陣Bk由上至下依次為（見圖2~圖9）.

第三步第k（k=1，2，…，n）個截面的方陣Ck第i行（i=1，2，…，n）向右順移3（i+k-2）個位置得方陣Dk.（見圖10~圖17）

圖2 截面基陣1Fig.2Section array1

圖3 截面基陣2Fig.3Section array2

圖4 截面基陣3Fig.4Section array3

圖5 截面基陣4Fig.5Section array4

圖6 截面基陣5Fig.6Section array5

圖7 截面基陣6Fig.7Section array6

圖8 截面基陣7Fig.8Section array7

圖9 截面基陣8Fig.9Section array8

圖10 截面基陣1Fig.10Section array1

圖11 截面基陣2Fig.11Section array2

圖12 截面基陣3Fig.12Section array3

圖13 截面基陣4Fig.13Section array4

圖14 截面基陣5Fig.14Section array5

圖15 截面基陣6Fig.15Section array6

圖16 截面基陣7Fig.16Section array7

圖17 截面基陣8Fig.17Section array8

第四步由以上8個截面Dk（k=1，2，…，n）組成的數(shù)字立方陣D就是一個8階空間更完美幻立方（略）.

[1]詹森.關于構造幻方的新方法[J].海南師范大學學報:自然科學版,2009,22(2):133-134.

[2]詹森,王輝豐.關于構造高階幻方的新方法[J].海南師范大學學報:自然科學版,2009,22(3):250-254.

[3]詹森,王輝豐.奇數(shù)階對稱完美幻方的構造方法[J].海南師范大學學報:自然科學版,2009,22(4):396-402.

[4]王輝豐,詹森.關于構造三類奇數(shù)階幻方的新方法[J].海南師范大學學報:自然科學版,2010,23(1):12-15.

[5]詹森,王輝豐.構造鑲邊幻方的代碼法[J].海南師范大學學報:自然科學版,2010,23(2):152-157.

[6]詹森,王輝豐.構造奇數(shù)階幻方，完美幻方和對稱完美幻方的新方法[J].海南師范大學學報:自然科學版,2011,24(3): 265-269.

[7]詹森,王輝豐.構造奇數(shù)階對稱幻方及奇偶數(shù)分開對稱幻方的新方法[J].海南師范大學學報:自然科學版,2011,24 (4):395-399.

[8]王輝豐.構造奇數(shù)階完美幻方和對稱完美幻方的兩步法[J].海南師范大學學報:自然科學版,2012,25(1):28-31.

[9]詹森.關于構造k2階完美幻方的方法[J].海南師范大學學報:自然科學版,2012,25(2):147-157.

[10]詹森.構造高階f次幻方的加法[J].海南師范大學學報:自然科學版,2012,25(3):263-267.

[11]王輝豐.構造鑲邊幻方代碼法的代碼公式[J].海南師范大學學報:自然科學版,2012,25(3):269-273.

[12]詹森.你亦可以造幻方[M].北京:科學出版社,2012.

[13]詹森,王輝豐,黃瀾.構造單偶數(shù)階幻方的四步法[J].海南師范大學學報:自然科學版,2013,26(2):145-151.

[14]詹森,王輝豐.構造最完美幻方的三步法[J].海南師范大學學報:自然科學版,2013,26(4):387-392.

[15]詹森,王輝豐.構造3n階完美幻方的五步法[J].海南師范大學學報:自然科學版,2014,27(1):18-22.

[16]詹森,王輝豐.構造奇數(shù)3(2m+l)階完美幻方的方法[J].海南師范大學學報:自然科學版,2014,27(2):133-137.

[17]詹森,王輝豐.構造奇數(shù)階對稱幻立方及對稱完美幻立方的三步法[J].海南師范大學學報:自然科學版,2013,26(3): 266-273.

[18]吳鶴齡.幻方及其他[M].北京:科學出版社,2004:153-161.

責任編輯：黃瀾

Four Footwork’s Structure Methods about Double Even Order Space More Perfect Magic Cube

ZHAN Sen1，WANG Huifeng2
（1.Department of Computer Science，Guangdong Technical Normal University，Guangzhou 510665，China；2.College of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou 571158，China）

Four footwork’s structure methods and their theoretical proof were given These methods may obtain22m（（2m）!）different n=4m（m is natural number）order space more perfect magic cube.

the most perfect magic square；magic cube；space perfect magic cube；space more perfect magic cube；four foot?work method

O 157.6

A

1674-4942（2014）04-0389-07