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數(shù)學(xué)形象思維的層次及教育功能

2014-07-22 20:49蔣曉勇
理科考試研究·高中 2014年7期
關(guān)鍵詞:形象思維橢圓直觀

蔣曉勇

縱觀高中數(shù)學(xué)知識(shí),給老師、學(xué)生“抽象”、“概括”的感覺(jué),的確要學(xué)好高中數(shù)學(xué)需要學(xué)生具有很強(qiáng)的抽象思維能力.不過(guò)高中生的思維發(fā)展水平如何呢?從高中學(xué)生學(xué)齡特點(diǎn)來(lái)看,學(xué)生的抽象思維處于發(fā)展階段,還不夠成熟,尤其是剛剛步入高一時(shí),學(xué)生的思維主體還是形象思維.那么,我們的教學(xué)是不是一下子到達(dá)抽象思維要求呢?實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明,如果直接跳躍到抽象思維,不符合最近發(fā)展區(qū)原理,不僅僅不利于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí),還會(huì)影響高中生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展,造成嚴(yán)重的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),影響后續(xù)學(xué)習(xí).筆者認(rèn)為高中數(shù)學(xué)教學(xué)不可缺失了形象思維,應(yīng)重視形象思維的教育功能,促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展、數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的提升.本文結(jié)合案例就形象思維的層次及教育功能進(jìn)行分析,望能有助于教學(xué)實(shí)踐.

一、數(shù)學(xué)形象思維的層次

1.幾何思維

幾何思維是數(shù)學(xué)形象思維的第一個(gè)層次,包括函數(shù)圖象、平面幾何圖形和立體幾何圖形等.該層次的幾何思維涉及到的或是直觀的幾何問(wèn)題,或是在原有圖形上添加輔助線進(jìn)一步直觀化研究,或是將文字表征化為圖形表征進(jìn)行研究,或是把生活中實(shí)際問(wèn)題化為幾何問(wèn)題的研究.

例如,在立體幾何中存在著一類(lèi)問(wèn)題——折疊問(wèn)題,將某一平面圖形沿一條直線折起,從而形成一個(gè)空間圖形.接著探究折疊后的空間圖形中某些線或面之間的位置關(guān)系.解決這類(lèi)問(wèn)題就需要在原有圖形的基礎(chǔ)上做輔助線完成問(wèn)題的解答.

例1已知矩形ABCD的兩邊AB=3,BC=4,沿對(duì)角線AC將它折成一個(gè)直二面角,求折疊

后AC與BD所成角.

解如圖1所示,在折疊前的矩形ABCD中,作DF⊥AC于F,BE⊥AC于E,并延長(zhǎng)BE至點(diǎn)G,使EG=BE,連結(jié)DG,得EG∥DF,EG=DF,得四邊形EFDG為平行四邊形,得DG∥EF,∠BDG是異面直線AC與BD所成角.折疊后,如圖1所示,仍有EF⊥EG,EF⊥EB,則EF⊥平面BEG,所以∠BEG是折成的二面角的平面角,即∠BEG=90°.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,所以AC=5,BE=EG=DF=125,AE=FC=95.得DG=EF=5-2×95=75.在等腰Rt△BGD中,BG=2BE=1225,又DG∥EF,所以得DG⊥平面BEGDG⊥BG.得在Rt△BGD中,

tan∠BDG=BGDG=1227,即得∠BDG=arctan1227.

2.類(lèi)幾何思維

類(lèi)幾何思維要比幾何思維深一個(gè)層次,往往是要求學(xué)生將問(wèn)題與頭腦中的原有認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)形象進(jìn)行溝通.數(shù)學(xué)中的“式”、“形”或“結(jié)構(gòu)”通常是對(duì)應(yīng)著的,例如在解決代數(shù)問(wèn)題時(shí)運(yùn)用類(lèi)幾何思維或?qū)⒋鷶?shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題,或從代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征出發(fā),聯(lián)想與之相似、相近的結(jié)構(gòu),進(jìn)行問(wèn)題解決.例如tanα=ab和k=y1-y2x1-x2的結(jié)構(gòu)具有聯(lián)系.

例2已知點(diǎn)P(x,y)滿足x2+(y+3)2+x2+(y-3)2=4,求點(diǎn)P的軌跡方程.

解析解決這個(gè)問(wèn)題可以聯(lián)想到

點(diǎn)P(x,y)到兩個(gè)定點(diǎn)(0,-3),(0,3)的距離和為4.又因?yàn)?>23,聯(lián)系到橢圓的定義則可以知道,P點(diǎn)的軌跡應(yīng)該是橢圓,則其方程為y24+x2=1.

3.意會(huì)形象思維

這是形象思維的最高層次,著名數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(Hadamard)說(shuō):“在我所從事的全部數(shù)學(xué)研究中,我都會(huì)構(gòu)作這樣的圖像,它一定是一幅模糊的東西,有了這個(gè)圖,我才不會(huì)誤入歧途.”阿達(dá)瑪(Hadamard)所說(shuō)的“圖像”即是意會(huì)形象.

二、數(shù)學(xué)形象思維的教育功能

1.形象思維能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

教師應(yīng)注意在課堂教學(xué)中有效地使用形象思維,突出形象思維的直觀、形象的特點(diǎn),就會(huì)使更多的學(xué)生遠(yuǎn)離高度抽象的數(shù)學(xué).

例如:在介紹誘導(dǎo)公式時(shí),需要學(xué)生掌握六組基本公式,抽象而瑣碎.若在證得六組公式后,把其特點(diǎn)編成順口溜:“奇變偶不變,符號(hào)看象限”,實(shí)踐演練后會(huì)收到意想不到的效果.

學(xué)生在求知過(guò)程中,喜歡新鮮、有趣、多樣化.因此,學(xué)習(xí)時(shí)配以貼切形象的歌訣,能引起他們的興趣,且便于記憶.此外,我們還可以通過(guò)構(gòu)圖來(lái)實(shí)現(xiàn)形象化,使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)化抽象為具體、化深?yuàn)W為淺顯,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

2.形象思維能有效促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、記憶和提取

為什么學(xué)生感覺(jué)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)難,主要原因在于數(shù)學(xué)概念和法則都很抽象,表象都比較隱晦,學(xué)生需要借助于具體的模型和先行組織者,將學(xué)習(xí)內(nèi)容“翻譯”、“轉(zhuǎn)換”才能被學(xué)生直接感知,而要抽象成數(shù)學(xué)概念還必須借助于數(shù)學(xué)形象思維才行.

例如,和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“函數(shù)”概念時(shí),如果不注重實(shí)例分析,學(xué)生的思維是不積極的,知識(shí)理解程度低.筆者認(rèn)為應(yīng)該從學(xué)生所接觸現(xiàn)實(shí)生活中具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系的量、事物出發(fā),激活形象的思維,促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解.

數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)和證明同樣不應(yīng)該是純理性的,也需要數(shù)學(xué)形象思維的參與.我們?cè)诤蛯W(xué)生學(xué)習(xí)了一條數(shù)學(xué)定理及其證明后,學(xué)生是不是真的懂了呢?筆者認(rèn)為必須從概念的直觀含義出發(fā),我們教師要呈現(xiàn)出可視化的圖形,給學(xué)生展示證明的直觀思路.只有建立在直觀的思路上,學(xué)生的懂才是真正的懂.

其實(shí),從高中數(shù)學(xué)教材的安排來(lái)看,教材注重知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程形象思維的直觀呈現(xiàn).比如“加法原理”、“乘法原理”,教材首先從生活中實(shí)際例子出發(fā),激活學(xué)生頭腦中的已有經(jīng)驗(yàn),促進(jìn)學(xué)生問(wèn)題的解決.學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中對(duì)生活中的問(wèn)題有了一個(gè)整體認(rèn)識(shí),這個(gè)時(shí)候給出原理的內(nèi)容,實(shí)現(xiàn)從生活到知識(shí)的自然過(guò)渡,感受到生活是知識(shí)的本源,也體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)定理在現(xiàn)實(shí)生活中的價(jià)值,提升學(xué)生的學(xué)習(xí)情感.

3.形象思維推動(dòng)學(xué)生思維向深刻性、概括性方向發(fā)展

教學(xué)中有哪些形象的資源?筆者根據(jù)教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),將形象的資源分為三類(lèi):

(1)實(shí)物資源:教學(xué)中用到的實(shí)物、標(biāo)本,給學(xué)生演示的或是和學(xué)生一起完成的實(shí)驗(yàn)等.

例如,和學(xué)生一起學(xué)習(xí)橢圓的定義時(shí),可以給學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)演示:在豎直平面上固定兩個(gè)釘子A、B,取一根無(wú)彈力繩(繩子的長(zhǎng)度大于兩釘子的間距),將繩子的兩端分別系在A、B上,然后用粉筆拉緊繩在平面上移動(dòng),得到圖形,不是圓,卻又很規(guī)則,讓學(xué)生直觀地感受“橢圓”的形態(tài).接著要求學(xué)生自己去觀察、發(fā)現(xiàn)并用形象化的語(yǔ)言對(duì)橢圓的特點(diǎn)進(jìn)行描述,最后再用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行準(zhǔn)確地表達(dá).有了橢圓的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn),在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)散,“雙曲線”的學(xué)習(xí)變得簡(jiǎn)單了,最終掌握“圓錐曲線”的思想方法.

(2)模型資源:教學(xué)中用到的模型、掛圖、多媒體課件等.

例如,在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“集合間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算”時(shí),給學(xué)生提供韋恩圖(如圖2所示),學(xué)生可以十分直觀、清晰地看到集合間的關(guān)系,有利于知識(shí)的理解和運(yùn)用.

(3)語(yǔ)言資源:數(shù)學(xué)形象化語(yǔ)言,如概念、定理的文字、符號(hào)和圖形表征.

我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)科學(xué)地設(shè)置學(xué)習(xí)情境,借助于形象思維資源幫助學(xué)生從直觀的感性認(rèn)識(shí)逐步引導(dǎo)到抽象的數(shù)學(xué)理性認(rèn)識(shí).

在數(shù)學(xué)上,我們必須指出,數(shù)學(xué)中的形象已經(jīng)不是形象思維初級(jí)階段的那種形象,即單憑人的感官在所能感知閾限的限度以內(nèi)的形象,而是在前一步抽象的基礎(chǔ)上通過(guò)抽象邏輯思維的滲透和數(shù)學(xué)語(yǔ)言做物質(zhì)外殼,運(yùn)用典型化的手段概括出的理想化形象.因此對(duì)于數(shù)學(xué)形象的理解,絕不能僅僅的理解為幾何圖形,除幾何圖形之外,它還包括各種試驗(yàn)、實(shí)物、模型、表格等,甚至也不排除數(shù)學(xué)知識(shí)在頭腦中形成的記憶形象和較直觀地揭示問(wèn)題本質(zhì)的語(yǔ)言和符號(hào)等.如結(jié)合數(shù)軸解不等式中的數(shù)軸;利用圖形講解函數(shù)性質(zhì)的圖象;利用韋恩圖講解集合有關(guān)知識(shí)的韋恩圖等均屬于數(shù)學(xué)形象.因此,數(shù)學(xué)的形象大體屬于觀念形象的范疇.從這個(gè)意義上說(shuō),數(shù)學(xué)形象思維與抽象思維一樣屬于認(rèn)識(shí)的高級(jí)階段,同樣可以揭示、反映事物的本質(zhì)和規(guī)律.

縱觀高中數(shù)學(xué)知識(shí),給老師、學(xué)生“抽象”、“概括”的感覺(jué),的確要學(xué)好高中數(shù)學(xué)需要學(xué)生具有很強(qiáng)的抽象思維能力.不過(guò)高中生的思維發(fā)展水平如何呢?從高中學(xué)生學(xué)齡特點(diǎn)來(lái)看,學(xué)生的抽象思維處于發(fā)展階段,還不夠成熟,尤其是剛剛步入高一時(shí),學(xué)生的思維主體還是形象思維.那么,我們的教學(xué)是不是一下子到達(dá)抽象思維要求呢?實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明,如果直接跳躍到抽象思維,不符合最近發(fā)展區(qū)原理,不僅僅不利于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí),還會(huì)影響高中生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展,造成嚴(yán)重的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),影響后續(xù)學(xué)習(xí).筆者認(rèn)為高中數(shù)學(xué)教學(xué)不可缺失了形象思維,應(yīng)重視形象思維的教育功能,促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展、數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的提升.本文結(jié)合案例就形象思維的層次及教育功能進(jìn)行分析,望能有助于教學(xué)實(shí)踐.

一、數(shù)學(xué)形象思維的層次

1.幾何思維

幾何思維是數(shù)學(xué)形象思維的第一個(gè)層次,包括函數(shù)圖象、平面幾何圖形和立體幾何圖形等.該層次的幾何思維涉及到的或是直觀的幾何問(wèn)題,或是在原有圖形上添加輔助線進(jìn)一步直觀化研究,或是將文字表征化為圖形表征進(jìn)行研究,或是把生活中實(shí)際問(wèn)題化為幾何問(wèn)題的研究.

例如,在立體幾何中存在著一類(lèi)問(wèn)題——折疊問(wèn)題,將某一平面圖形沿一條直線折起,從而形成一個(gè)空間圖形.接著探究折疊后的空間圖形中某些線或面之間的位置關(guān)系.解決這類(lèi)問(wèn)題就需要在原有圖形的基礎(chǔ)上做輔助線完成問(wèn)題的解答.

例1已知矩形ABCD的兩邊AB=3,BC=4,沿對(duì)角線AC將它折成一個(gè)直二面角,求折疊

后AC與BD所成角.

解如圖1所示,在折疊前的矩形ABCD中,作DF⊥AC于F,BE⊥AC于E,并延長(zhǎng)BE至點(diǎn)G,使EG=BE,連結(jié)DG,得EG∥DF,EG=DF,得四邊形EFDG為平行四邊形,得DG∥EF,∠BDG是異面直線AC與BD所成角.折疊后,如圖1所示,仍有EF⊥EG,EF⊥EB,則EF⊥平面BEG,所以∠BEG是折成的二面角的平面角,即∠BEG=90°.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,所以AC=5,BE=EG=DF=125,AE=FC=95.得DG=EF=5-2×95=75.在等腰Rt△BGD中,BG=2BE=1225,又DG∥EF,所以得DG⊥平面BEGDG⊥BG.得在Rt△BGD中,

tan∠BDG=BGDG=1227,即得∠BDG=arctan1227.

2.類(lèi)幾何思維

類(lèi)幾何思維要比幾何思維深一個(gè)層次,往往是要求學(xué)生將問(wèn)題與頭腦中的原有認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)形象進(jìn)行溝通.數(shù)學(xué)中的“式”、“形”或“結(jié)構(gòu)”通常是對(duì)應(yīng)著的,例如在解決代數(shù)問(wèn)題時(shí)運(yùn)用類(lèi)幾何思維或?qū)⒋鷶?shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題,或從代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征出發(fā),聯(lián)想與之相似、相近的結(jié)構(gòu),進(jìn)行問(wèn)題解決.例如tanα=ab和k=y1-y2x1-x2的結(jié)構(gòu)具有聯(lián)系.

例2已知點(diǎn)P(x,y)滿足x2+(y+3)2+x2+(y-3)2=4,求點(diǎn)P的軌跡方程.

解析解決這個(gè)問(wèn)題可以聯(lián)想到

點(diǎn)P(x,y)到兩個(gè)定點(diǎn)(0,-3),(0,3)的距離和為4.又因?yàn)?>23,聯(lián)系到橢圓的定義則可以知道,P點(diǎn)的軌跡應(yīng)該是橢圓,則其方程為y24+x2=1.

3.意會(huì)形象思維

這是形象思維的最高層次,著名數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(Hadamard)說(shuō):“在我所從事的全部數(shù)學(xué)研究中,我都會(huì)構(gòu)作這樣的圖像,它一定是一幅模糊的東西,有了這個(gè)圖,我才不會(huì)誤入歧途.”阿達(dá)瑪(Hadamard)所說(shuō)的“圖像”即是意會(huì)形象.

二、數(shù)學(xué)形象思維的教育功能

1.形象思維能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

教師應(yīng)注意在課堂教學(xué)中有效地使用形象思維,突出形象思維的直觀、形象的特點(diǎn),就會(huì)使更多的學(xué)生遠(yuǎn)離高度抽象的數(shù)學(xué).

例如:在介紹誘導(dǎo)公式時(shí),需要學(xué)生掌握六組基本公式,抽象而瑣碎.若在證得六組公式后,把其特點(diǎn)編成順口溜:“奇變偶不變,符號(hào)看象限”,實(shí)踐演練后會(huì)收到意想不到的效果.

學(xué)生在求知過(guò)程中,喜歡新鮮、有趣、多樣化.因此,學(xué)習(xí)時(shí)配以貼切形象的歌訣,能引起他們的興趣,且便于記憶.此外,我們還可以通過(guò)構(gòu)圖來(lái)實(shí)現(xiàn)形象化,使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)化抽象為具體、化深?yuàn)W為淺顯,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

2.形象思維能有效促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、記憶和提取

為什么學(xué)生感覺(jué)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)難,主要原因在于數(shù)學(xué)概念和法則都很抽象,表象都比較隱晦,學(xué)生需要借助于具體的模型和先行組織者,將學(xué)習(xí)內(nèi)容“翻譯”、“轉(zhuǎn)換”才能被學(xué)生直接感知,而要抽象成數(shù)學(xué)概念還必須借助于數(shù)學(xué)形象思維才行.

例如,和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“函數(shù)”概念時(shí),如果不注重實(shí)例分析,學(xué)生的思維是不積極的,知識(shí)理解程度低.筆者認(rèn)為應(yīng)該從學(xué)生所接觸現(xiàn)實(shí)生活中具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系的量、事物出發(fā),激活形象的思維,促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解.

數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)和證明同樣不應(yīng)該是純理性的,也需要數(shù)學(xué)形象思維的參與.我們?cè)诤蛯W(xué)生學(xué)習(xí)了一條數(shù)學(xué)定理及其證明后,學(xué)生是不是真的懂了呢?筆者認(rèn)為必須從概念的直觀含義出發(fā),我們教師要呈現(xiàn)出可視化的圖形,給學(xué)生展示證明的直觀思路.只有建立在直觀的思路上,學(xué)生的懂才是真正的懂.

其實(shí),從高中數(shù)學(xué)教材的安排來(lái)看,教材注重知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程形象思維的直觀呈現(xiàn).比如“加法原理”、“乘法原理”,教材首先從生活中實(shí)際例子出發(fā),激活學(xué)生頭腦中的已有經(jīng)驗(yàn),促進(jìn)學(xué)生問(wèn)題的解決.學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中對(duì)生活中的問(wèn)題有了一個(gè)整體認(rèn)識(shí),這個(gè)時(shí)候給出原理的內(nèi)容,實(shí)現(xiàn)從生活到知識(shí)的自然過(guò)渡,感受到生活是知識(shí)的本源,也體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)定理在現(xiàn)實(shí)生活中的價(jià)值,提升學(xué)生的學(xué)習(xí)情感.

3.形象思維推動(dòng)學(xué)生思維向深刻性、概括性方向發(fā)展

教學(xué)中有哪些形象的資源?筆者根據(jù)教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),將形象的資源分為三類(lèi):

(1)實(shí)物資源:教學(xué)中用到的實(shí)物、標(biāo)本,給學(xué)生演示的或是和學(xué)生一起完成的實(shí)驗(yàn)等.

例如,和學(xué)生一起學(xué)習(xí)橢圓的定義時(shí),可以給學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)演示:在豎直平面上固定兩個(gè)釘子A、B,取一根無(wú)彈力繩(繩子的長(zhǎng)度大于兩釘子的間距),將繩子的兩端分別系在A、B上,然后用粉筆拉緊繩在平面上移動(dòng),得到圖形,不是圓,卻又很規(guī)則,讓學(xué)生直觀地感受“橢圓”的形態(tài).接著要求學(xué)生自己去觀察、發(fā)現(xiàn)并用形象化的語(yǔ)言對(duì)橢圓的特點(diǎn)進(jìn)行描述,最后再用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行準(zhǔn)確地表達(dá).有了橢圓的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn),在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)散,“雙曲線”的學(xué)習(xí)變得簡(jiǎn)單了,最終掌握“圓錐曲線”的思想方法.

(2)模型資源:教學(xué)中用到的模型、掛圖、多媒體課件等.

例如,在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“集合間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算”時(shí),給學(xué)生提供韋恩圖(如圖2所示),學(xué)生可以十分直觀、清晰地看到集合間的關(guān)系,有利于知識(shí)的理解和運(yùn)用.

(3)語(yǔ)言資源:數(shù)學(xué)形象化語(yǔ)言,如概念、定理的文字、符號(hào)和圖形表征.

我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)科學(xué)地設(shè)置學(xué)習(xí)情境,借助于形象思維資源幫助學(xué)生從直觀的感性認(rèn)識(shí)逐步引導(dǎo)到抽象的數(shù)學(xué)理性認(rèn)識(shí).

在數(shù)學(xué)上,我們必須指出,數(shù)學(xué)中的形象已經(jīng)不是形象思維初級(jí)階段的那種形象,即單憑人的感官在所能感知閾限的限度以內(nèi)的形象,而是在前一步抽象的基礎(chǔ)上通過(guò)抽象邏輯思維的滲透和數(shù)學(xué)語(yǔ)言做物質(zhì)外殼,運(yùn)用典型化的手段概括出的理想化形象.因此對(duì)于數(shù)學(xué)形象的理解,絕不能僅僅的理解為幾何圖形,除幾何圖形之外,它還包括各種試驗(yàn)、實(shí)物、模型、表格等,甚至也不排除數(shù)學(xué)知識(shí)在頭腦中形成的記憶形象和較直觀地揭示問(wèn)題本質(zhì)的語(yǔ)言和符號(hào)等.如結(jié)合數(shù)軸解不等式中的數(shù)軸;利用圖形講解函數(shù)性質(zhì)的圖象;利用韋恩圖講解集合有關(guān)知識(shí)的韋恩圖等均屬于數(shù)學(xué)形象.因此,數(shù)學(xué)的形象大體屬于觀念形象的范疇.從這個(gè)意義上說(shuō),數(shù)學(xué)形象思維與抽象思維一樣屬于認(rèn)識(shí)的高級(jí)階段,同樣可以揭示、反映事物的本質(zhì)和規(guī)律.

縱觀高中數(shù)學(xué)知識(shí),給老師、學(xué)生“抽象”、“概括”的感覺(jué),的確要學(xué)好高中數(shù)學(xué)需要學(xué)生具有很強(qiáng)的抽象思維能力.不過(guò)高中生的思維發(fā)展水平如何呢?從高中學(xué)生學(xué)齡特點(diǎn)來(lái)看,學(xué)生的抽象思維處于發(fā)展階段,還不夠成熟,尤其是剛剛步入高一時(shí),學(xué)生的思維主體還是形象思維.那么,我們的教學(xué)是不是一下子到達(dá)抽象思維要求呢?實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明,如果直接跳躍到抽象思維,不符合最近發(fā)展區(qū)原理,不僅僅不利于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí),還會(huì)影響高中生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展,造成嚴(yán)重的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),影響后續(xù)學(xué)習(xí).筆者認(rèn)為高中數(shù)學(xué)教學(xué)不可缺失了形象思維,應(yīng)重視形象思維的教育功能,促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展、數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的提升.本文結(jié)合案例就形象思維的層次及教育功能進(jìn)行分析,望能有助于教學(xué)實(shí)踐.

一、數(shù)學(xué)形象思維的層次

1.幾何思維

幾何思維是數(shù)學(xué)形象思維的第一個(gè)層次,包括函數(shù)圖象、平面幾何圖形和立體幾何圖形等.該層次的幾何思維涉及到的或是直觀的幾何問(wèn)題,或是在原有圖形上添加輔助線進(jìn)一步直觀化研究,或是將文字表征化為圖形表征進(jìn)行研究,或是把生活中實(shí)際問(wèn)題化為幾何問(wèn)題的研究.

例如,在立體幾何中存在著一類(lèi)問(wèn)題——折疊問(wèn)題,將某一平面圖形沿一條直線折起,從而形成一個(gè)空間圖形.接著探究折疊后的空間圖形中某些線或面之間的位置關(guān)系.解決這類(lèi)問(wèn)題就需要在原有圖形的基礎(chǔ)上做輔助線完成問(wèn)題的解答.

例1已知矩形ABCD的兩邊AB=3,BC=4,沿對(duì)角線AC將它折成一個(gè)直二面角,求折疊

后AC與BD所成角.

解如圖1所示,在折疊前的矩形ABCD中,作DF⊥AC于F,BE⊥AC于E,并延長(zhǎng)BE至點(diǎn)G,使EG=BE,連結(jié)DG,得EG∥DF,EG=DF,得四邊形EFDG為平行四邊形,得DG∥EF,∠BDG是異面直線AC與BD所成角.折疊后,如圖1所示,仍有EF⊥EG,EF⊥EB,則EF⊥平面BEG,所以∠BEG是折成的二面角的平面角,即∠BEG=90°.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,所以AC=5,BE=EG=DF=125,AE=FC=95.得DG=EF=5-2×95=75.在等腰Rt△BGD中,BG=2BE=1225,又DG∥EF,所以得DG⊥平面BEGDG⊥BG.得在Rt△BGD中,

tan∠BDG=BGDG=1227,即得∠BDG=arctan1227.

2.類(lèi)幾何思維

類(lèi)幾何思維要比幾何思維深一個(gè)層次,往往是要求學(xué)生將問(wèn)題與頭腦中的原有認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)形象進(jìn)行溝通.數(shù)學(xué)中的“式”、“形”或“結(jié)構(gòu)”通常是對(duì)應(yīng)著的,例如在解決代數(shù)問(wèn)題時(shí)運(yùn)用類(lèi)幾何思維或?qū)⒋鷶?shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題,或從代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征出發(fā),聯(lián)想與之相似、相近的結(jié)構(gòu),進(jìn)行問(wèn)題解決.例如tanα=ab和k=y1-y2x1-x2的結(jié)構(gòu)具有聯(lián)系.

例2已知點(diǎn)P(x,y)滿足x2+(y+3)2+x2+(y-3)2=4,求點(diǎn)P的軌跡方程.

解析解決這個(gè)問(wèn)題可以聯(lián)想到

點(diǎn)P(x,y)到兩個(gè)定點(diǎn)(0,-3),(0,3)的距離和為4.又因?yàn)?>23,聯(lián)系到橢圓的定義則可以知道,P點(diǎn)的軌跡應(yīng)該是橢圓,則其方程為y24+x2=1.

3.意會(huì)形象思維

這是形象思維的最高層次,著名數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(Hadamard)說(shuō):“在我所從事的全部數(shù)學(xué)研究中,我都會(huì)構(gòu)作這樣的圖像,它一定是一幅模糊的東西,有了這個(gè)圖,我才不會(huì)誤入歧途.”阿達(dá)瑪(Hadamard)所說(shuō)的“圖像”即是意會(huì)形象.

二、數(shù)學(xué)形象思維的教育功能

1.形象思維能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

教師應(yīng)注意在課堂教學(xué)中有效地使用形象思維,突出形象思維的直觀、形象的特點(diǎn),就會(huì)使更多的學(xué)生遠(yuǎn)離高度抽象的數(shù)學(xué).

例如:在介紹誘導(dǎo)公式時(shí),需要學(xué)生掌握六組基本公式,抽象而瑣碎.若在證得六組公式后,把其特點(diǎn)編成順口溜:“奇變偶不變,符號(hào)看象限”,實(shí)踐演練后會(huì)收到意想不到的效果.

學(xué)生在求知過(guò)程中,喜歡新鮮、有趣、多樣化.因此,學(xué)習(xí)時(shí)配以貼切形象的歌訣,能引起他們的興趣,且便于記憶.此外,我們還可以通過(guò)構(gòu)圖來(lái)實(shí)現(xiàn)形象化,使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)化抽象為具體、化深?yuàn)W為淺顯,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

2.形象思維能有效促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、記憶和提取

為什么學(xué)生感覺(jué)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)難,主要原因在于數(shù)學(xué)概念和法則都很抽象,表象都比較隱晦,學(xué)生需要借助于具體的模型和先行組織者,將學(xué)習(xí)內(nèi)容“翻譯”、“轉(zhuǎn)換”才能被學(xué)生直接感知,而要抽象成數(shù)學(xué)概念還必須借助于數(shù)學(xué)形象思維才行.

例如,和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“函數(shù)”概念時(shí),如果不注重實(shí)例分析,學(xué)生的思維是不積極的,知識(shí)理解程度低.筆者認(rèn)為應(yīng)該從學(xué)生所接觸現(xiàn)實(shí)生活中具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系的量、事物出發(fā),激活形象的思維,促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解.

數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)和證明同樣不應(yīng)該是純理性的,也需要數(shù)學(xué)形象思維的參與.我們?cè)诤蛯W(xué)生學(xué)習(xí)了一條數(shù)學(xué)定理及其證明后,學(xué)生是不是真的懂了呢?筆者認(rèn)為必須從概念的直觀含義出發(fā),我們教師要呈現(xiàn)出可視化的圖形,給學(xué)生展示證明的直觀思路.只有建立在直觀的思路上,學(xué)生的懂才是真正的懂.

其實(shí),從高中數(shù)學(xué)教材的安排來(lái)看,教材注重知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程形象思維的直觀呈現(xiàn).比如“加法原理”、“乘法原理”,教材首先從生活中實(shí)際例子出發(fā),激活學(xué)生頭腦中的已有經(jīng)驗(yàn),促進(jìn)學(xué)生問(wèn)題的解決.學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中對(duì)生活中的問(wèn)題有了一個(gè)整體認(rèn)識(shí),這個(gè)時(shí)候給出原理的內(nèi)容,實(shí)現(xiàn)從生活到知識(shí)的自然過(guò)渡,感受到生活是知識(shí)的本源,也體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)定理在現(xiàn)實(shí)生活中的價(jià)值,提升學(xué)生的學(xué)習(xí)情感.

3.形象思維推動(dòng)學(xué)生思維向深刻性、概括性方向發(fā)展

教學(xué)中有哪些形象的資源?筆者根據(jù)教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),將形象的資源分為三類(lèi):

(1)實(shí)物資源:教學(xué)中用到的實(shí)物、標(biāo)本,給學(xué)生演示的或是和學(xué)生一起完成的實(shí)驗(yàn)等.

例如,和學(xué)生一起學(xué)習(xí)橢圓的定義時(shí),可以給學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)演示:在豎直平面上固定兩個(gè)釘子A、B,取一根無(wú)彈力繩(繩子的長(zhǎng)度大于兩釘子的間距),將繩子的兩端分別系在A、B上,然后用粉筆拉緊繩在平面上移動(dòng),得到圖形,不是圓,卻又很規(guī)則,讓學(xué)生直觀地感受“橢圓”的形態(tài).接著要求學(xué)生自己去觀察、發(fā)現(xiàn)并用形象化的語(yǔ)言對(duì)橢圓的特點(diǎn)進(jìn)行描述,最后再用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行準(zhǔn)確地表達(dá).有了橢圓的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn),在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)散,“雙曲線”的學(xué)習(xí)變得簡(jiǎn)單了,最終掌握“圓錐曲線”的思想方法.

(2)模型資源:教學(xué)中用到的模型、掛圖、多媒體課件等.

例如,在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“集合間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算”時(shí),給學(xué)生提供韋恩圖(如圖2所示),學(xué)生可以十分直觀、清晰地看到集合間的關(guān)系,有利于知識(shí)的理解和運(yùn)用.

(3)語(yǔ)言資源:數(shù)學(xué)形象化語(yǔ)言,如概念、定理的文字、符號(hào)和圖形表征.

我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)科學(xué)地設(shè)置學(xué)習(xí)情境,借助于形象思維資源幫助學(xué)生從直觀的感性認(rèn)識(shí)逐步引導(dǎo)到抽象的數(shù)學(xué)理性認(rèn)識(shí).

在數(shù)學(xué)上,我們必須指出,數(shù)學(xué)中的形象已經(jīng)不是形象思維初級(jí)階段的那種形象,即單憑人的感官在所能感知閾限的限度以內(nèi)的形象,而是在前一步抽象的基礎(chǔ)上通過(guò)抽象邏輯思維的滲透和數(shù)學(xué)語(yǔ)言做物質(zhì)外殼,運(yùn)用典型化的手段概括出的理想化形象.因此對(duì)于數(shù)學(xué)形象的理解,絕不能僅僅的理解為幾何圖形,除幾何圖形之外,它還包括各種試驗(yàn)、實(shí)物、模型、表格等,甚至也不排除數(shù)學(xué)知識(shí)在頭腦中形成的記憶形象和較直觀地揭示問(wèn)題本質(zhì)的語(yǔ)言和符號(hào)等.如結(jié)合數(shù)軸解不等式中的數(shù)軸;利用圖形講解函數(shù)性質(zhì)的圖象;利用韋恩圖講解集合有關(guān)知識(shí)的韋恩圖等均屬于數(shù)學(xué)形象.因此,數(shù)學(xué)的形象大體屬于觀念形象的范疇.從這個(gè)意義上說(shuō),數(shù)學(xué)形象思維與抽象思維一樣屬于認(rèn)識(shí)的高級(jí)階段,同樣可以揭示、反映事物的本質(zhì)和規(guī)律.

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