王寶坤，毛范海，孫守林，王德倫

(大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116024)

軸承載荷分布是描述其力學特性的重要方法。盡管軸承零件具有較高的制造精度，但依然存在誤差，使載荷分布產(chǎn)生差異，導(dǎo)致軸承承受沖擊載荷，降低軸承壽命。

國外學者已經(jīng)做了大量有關(guān)軸承的研究工作，文獻[1]建立了不考慮誤差情況下的軸承載荷分布模型；文獻 [2]用有限元方法研究了圓柱滾子軸承套圈的應(yīng)力與變形分布；文獻[3]研究了滾動體誤差對保持架回轉(zhuǎn)中心軌跡及軸承振動的影響；文獻[4]研究了軸承零件形狀誤差與軸心軌跡的關(guān)系。國內(nèi)學者也對軸承做了深入研究。文獻 [5]研究了軸承載荷與變形的關(guān)系，建立軸承載荷分布計算模型。文獻 [6]研究了Hertz接觸理論，通過試驗得到圓柱滾子與滾道接觸的修正公式。文獻[7-8]研究了基于套圈輪廓的軸承旋轉(zhuǎn)精度預(yù)測。

引入函數(shù)描述零件幾何誤差，建立考慮幾何誤差的軸承力學模型。研究單一誤差及多種誤差對載荷分布的影響，探討不同類型誤差組合對軸承載荷分布的影響規(guī)律。

1 力學模型的假設(shè)與等效

1.1 模型假設(shè)

為簡化計算,建立軸承力學模型時假設(shè):

(1)滾子僅存在直徑尺寸誤差；

(2)套圈滾道存在尺寸誤差與幾何形狀誤差；

(3)采用剛性套圈，即滾子與滾道的接觸作用不會引起套圈整體變形；

(4)將軸承三維模型簡化為二維模型，不考慮零件軸向效應(yīng)及材料屬性(如晶粒不均勻等)的影響。

1.2 剛度等效

基于模型假設(shè)，將每個滾子等效為2根彈簧，2根彈簧通過滾子中心節(jié)點連接，彈簧剛度分別為滾子與內(nèi)、外圈滾道的接觸剛度。等效彈簧為非線性彈簧，彈簧剛度與接觸載荷有關(guān)。根據(jù)Hertz接觸理論，滾子與內(nèi)、外圈滾道的接觸關(guān)系為[6]

(1)

式中：Qi，Qe為內(nèi)、外圈滾道接觸載荷；δi，δe為內(nèi)、外圈滾道的接觸變形；K1，K2為滾子與內(nèi)、外圈接觸剛度系數(shù)。K1，K2計算式為[6]

(2)

(3)

式中：Ei，Er，Ee為內(nèi)圈、滾子、外圈的彈性模量；μi，μr，μe為內(nèi)圈、滾子、外圈的泊松比；Di，Dw，De為內(nèi)圈滾道直徑、滾子直徑、外圈滾道直徑；l為滾子的有效接觸長度。

剛度是指產(chǎn)生單位變形量所需的外載荷，對于滾子與滾道之間的接觸剛度，可定義為產(chǎn)生單位彈性趨近量所需的接觸載荷。由于接觸作用是非線性的，根據(jù)(1)式接觸載荷與變形量的關(guān)系，接觸載荷對彈性趨近量求導(dǎo)，則得到滾子與內(nèi)、外圈滾道間的接觸剛度為

(4)

(5)

式中:Ki，Ke分別為滾子與內(nèi)、外圈接觸等效彈簧剛度。無載情況下彈簧長度為滾子的實際半徑。接觸剛度公式體現(xiàn)了接觸載荷與變形量之間的關(guān)系，接觸剛度與接觸載荷有關(guān)，呈非線性變化關(guān)系。

2 等效模型的建立

2.1 零件幾何誤差

軸承零件幾何誤差具有不確定性，與制造精度有關(guān)。將滾子直徑尺寸誤差用離散的誤差值表示，各滾子具有獨立的直徑尺寸誤差。滾道形狀誤差用函數(shù)表示，函數(shù)表示輪廓上各點相對標準圓的偏差值。滾道幾何形狀誤差有以下特點：

(1)滾道幾何形狀誤差具有徑向性，反映不同角度的半徑變化；

(2)滾道幾何形狀誤差相對于滾道半徑很小，滾道基本保持為圓形；

(3)滾道實際輪廓為具有一定周期的閉合曲線，各點徑向偏差不同。

滾道實際輪廓可用Fourier級數(shù)表示為

(6)

αk=arctan(ak/bk)，

式中：θ為滾道位置角；R(θ)為θ處的半徑值；D為滾道標準圓直徑；ak，bk為滾道實際輪廓Fourier級數(shù)展開的第k階諧波分量的余弦項系數(shù)、正弦項系數(shù)；ck為滾道幾何形狀誤差幅值；k為滾道幾何形狀誤差階次；αk為滾道誤差函數(shù)初始相位；Ri,Re為內(nèi)、外圈滾道實際輪廓半徑。由(6)式可知滾道實際輪廓是由標準圓與若干個按不同周期變化的正弦波疊加形成。

2.2 坐標系的建立

模型需建立2個坐標系，坐標系1是以外圈滾道幾何中心為原點的固定坐標系；坐標系2是以內(nèi)圈滾道幾何中心為原點的運動坐標系，如圖1所示。

圖1 模型坐標系

Oe-xeye為固定坐標系，Oi-xiyi為運動坐標系，軸承在無載荷作用時，坐標原點Oe與Oi重合。固定坐標系保持靜止，運動坐標系相對于固定坐標系可移動。運動坐標系可繞其坐標原點轉(zhuǎn)動來計算內(nèi)圈在不同相位時的軸承載荷分布情況。

模型有2種狀態(tài)，第1種是初始狀態(tài)，即軸承未受外載荷作用，2坐標系原點重合；第2種是受載狀態(tài)，即軸承受載荷作用，內(nèi)圈與受載滾子發(fā)生偏移，軸承達到力平衡。

2.3 初始狀態(tài)計算

初始狀態(tài)時，內(nèi)、外圈滾道幾何中心重合，滾子與外圈滾道接觸；軸承有正游隙；引入滾道形狀誤差函數(shù)表示滾道輪廓。滾子理想直徑為Dr，其直徑尺寸誤差為Δδ(t)。固定坐標系中，將位于xe軸上的滾子定義為1號滾動體，其位置角為0°，滾子按逆時針方向分布，滾子位置角為θ(t)，滾子與外圈滾道接觸處的滾道半徑Re[θ(t)]是滾道誤差函數(shù)，如(6)式所示。根據(jù)參數(shù)計算相關(guān)坐標。

滾子實際直徑值為

Dw(t)=Dr+Δδ(t)。

(7)

滾子中心與固定坐標系原點的距離為

Rw(t)=Re[θ(t)]-0.5Dw(t)。

(8)

固定坐標系中，滾子中心節(jié)點坐標為

(9)

2.4 受載狀態(tài)計算

軸承受載時，內(nèi)圈與受載滾子偏移，承載區(qū)等效彈簧發(fā)生變形，總的彈簧力與外載荷平衡。以內(nèi)圈與受載滾子為研究對象，計算內(nèi)圈與受載滾子的偏移量。固定坐標系中，內(nèi)圈沿x，y方向偏移量為u，v。首先在滾子未偏移時，判斷滾子與內(nèi)圈是否接觸。運動坐標系中，滾子中心的坐標分別為

(10)

滾子位置角為

θ1(t)=arctan[Y1(t)/X1(t)]，

(11)

滾子中心至Oi距離為

L1(t)=X1(t)/cosθ1(t)，

(12)

滾子中心與Oi的連線與內(nèi)圈滾道交點處的半徑Ri[θ1(t)]是滾道誤差函數(shù)，如(6)式所示。

內(nèi)圈與滾子的接觸情況可分為3種，分別為不接觸、臨界接觸和有效接觸。臨界接觸指內(nèi)圈與滾子剛好接觸但二者之間沒有力的作用；有效接觸指內(nèi)圈與滾子接觸且二者之間產(chǎn)生力的作用。

運動坐標系中，滾子與內(nèi)圈滾道臨界接觸時，滾子中心與Oi間的距離為

L2(t)=Ri[θ1(t)]+0.5Dw(t) 。

(13)

滾子與內(nèi)滾道有效接觸的判定條件為

L3(t)=L2(t)-L1(t) ，

(14)

若L3(t)大于零，表示滾子與內(nèi)圈滾道接觸，滾子的偏移量為ε(t)≠0；若L3(t)小于零，表示滾子與內(nèi)圈滾道不接觸，滾子的偏移量為ε(t)=0。滾子沿內(nèi)圈滾道半徑方向偏移，如圖2所示。

圖2 滾子接觸變形

滾子中心(彈簧中心)偏移量通過彈簧與內(nèi)、外圈間的接觸力計算確定

(15)

式中：δ為滾子總變形量，即2根彈簧總變形量L3；ε為滾子中心的偏移量。

滾子偏移后，運動坐標系中，滾子中心至Oi距離為

L4(t)=L1(t)+ε(t) 。

(16)

彈簧Ki的變形量為

δi(t)=L2(t)-L4(t)=

(17)

從(17)式可看出，彈簧變形是關(guān)于零件誤差Δδ，Ri和Re的函數(shù)，可見零件幾何誤差影響滾子與滾道間的接觸變形。

軸承內(nèi)圈的平衡方程為

(18)

3 等效模型的求解與分析

3.1 求解方法

(18)式為內(nèi)圈平衡方程組，其求解可得內(nèi)圈的偏移量u和v，進而可計算得到軸承內(nèi)部各滾子承受的載荷。

內(nèi)圈平衡方程為

(19)

方程未知量為內(nèi)圈沿x,y方向偏移量

δ=(u,v)T。

(20)

平衡方程分別對未知量求偏導(dǎo)，得到平衡方程組的雅克比矩陣J

(21)

利用Newton-Raphson法進行迭代

δ(k+1)=δ(k)-J(x(k))-1f(x(k))，

(22)

當計算精度滿足計算要求后，即為平衡方程的數(shù)值解。通過內(nèi)圈偏移量計算各個滾子與內(nèi)圈的接觸變形及接觸載荷。

3.2 不考慮零件誤差時軸承載荷分布計算

不考慮軸承零件幾何誤差(情況1)，計算軸承內(nèi)部載荷分布情況。采用文獻[2]中的算例，軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料屬性及載荷見表1。

表1 軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)及材料屬性

根據(jù)所建立的力學等效模型，采用3.1節(jié)的求解方法，計算軸承載荷分布情況，提取各位置角處的滾子接觸載荷，并與文獻[2]中的計算結(jié)果對比(表2)。

表2 不考慮零件誤差的載荷分布計算結(jié)果 N

從表2可以看出，文中力學模型的計算結(jié)果與Harris模型計算結(jié)果吻合度高；與有限元計算結(jié)果基本吻合。有限元模型考慮了結(jié)構(gòu)剛度的影響，受載滾子接觸載荷差異為7.58%，3.76%，0.52%和1.41%。有限元計算需建立三維模型、劃分網(wǎng)格、施加邊界條件，而所建立的模型避免了有限元的大計算量，能夠準確地計算各個滾子的接觸載荷，將零件幾何誤差引入到力學模型中，分析誤差對載荷分布的影響。

3.3 考慮零件誤差時軸承載荷分布計算

分析零件幾何誤差對載荷分布的影響規(guī)律具有重要意義。以表1軸承為例，將零件幾何誤差引入模型中。分別考慮滾子直徑尺寸誤差(情況2)、內(nèi)滾道形狀誤差(情況3)、外滾道形狀誤差(情況4)以及綜合誤差(情況5)。內(nèi)、外滾道的初始相位均為0°。另外，為從理論上說明極端情況下誤差對載荷分布的影響，誤差值取大于實際軸承的誤差值。

滾子直徑尺寸誤差見表3，表中數(shù)據(jù)表示14個滾子的直徑尺寸誤差值，滾子從0°按逆時針方向均布?？紤]單一滾子與多個滾子直徑誤差是按照一定規(guī)律排列的，前4組為單一滾子直徑誤差，表示誤差滾子的實際尺寸逐漸增加；后4組為多個滾子直徑誤差，表示誤差滾子實際尺寸從0°向兩側(cè)逐漸增加或逐漸減小，能夠反映滾子不同排列順序?qū)d荷分布的影響。計算結(jié)果如圖3所示，載荷分布是關(guān)于0°對稱的。

表3 滾子直徑幾何尺寸誤差 μm

圖3 考慮滾子直徑尺寸誤差的載荷分布

從單一滾子存在誤差的計算結(jié)果可看出，當滾子直徑誤差為正時，且該滾子位于0°處，則其載荷將變大，并隨著誤差的增大滾子載荷增加，其他滾子載荷減小；當滾子直徑誤差為負時，且該滾子位于0°處，其載荷減小，并隨著誤差的增大載荷降低，其他滾子載荷增加。當單一誤差滾子位于0°處時，滾子直徑誤差對誤差滾子載荷影響較大，但承載滾子數(shù)目不變。當誤差滾子未處于承載區(qū)域時，其載荷分布與不考慮零件誤差時的載荷分布情況一致。

從多個滾子存在誤差的計算結(jié)果可看出，情況2-h的分布順序，即誤差由0°向兩側(cè)逐漸增大，0°處滾子載荷減小，承載滾子數(shù)目增加；情況2-e的分布，即誤差由0°向兩側(cè)逐漸減小，0°處滾子載荷增大?？梢?，滾子排列順序影響0°處滾子的載荷，并會改變承載滾子數(shù)目。

內(nèi)滾道形狀誤差見表4。前4組反映內(nèi)滾道形狀一定，形狀誤差幅值發(fā)生改變；后4組反映內(nèi)圈形狀誤差幅值一定，形狀改變，即階次改變。計算結(jié)果如圖4所示。

表4 內(nèi)滾道幾何形狀誤差

圖4 考慮內(nèi)滾道幾何形狀誤差的載荷分布

從計算結(jié)果可看出，改變形狀誤差幅值時，0°處滾子載荷增加120 N左右，不同誤差值所引起滾子載荷的變化不明顯。改變形狀階次時，0°處滾子載荷增加200 N左右，引起滾子載荷的變化較明顯。

外滾道形狀誤差見表5。前4組外滾道形狀一定，形狀誤差幅值改變；后4組內(nèi)圈形狀誤差幅值一定，形狀改變，即階次改變。計算結(jié)果如圖5所示。

圖5 考慮外滾道幾何形狀誤差的載荷分布

表5 外滾道幾何形狀誤差

從結(jié)果可看出，改變形狀誤差幅值時，0°處滾子載荷減小80 N左右，不同誤差值所引起滾子載荷的變化不明顯。改變形狀階次時，載荷分布變化明顯，隨著形狀階次的增加，0°處滾子載荷逐漸減小，有改變承載滾子數(shù)目的趨勢。

為更加真實地分析幾何誤差與載荷分布的關(guān)系，研究多個零件幾何誤差對載荷分布的影響。零件誤差見表6。計算結(jié)果如圖6所示。

表6 多個零件幾何誤差

圖6 考慮多個零件幾何誤差的載荷分布

從計算結(jié)果可看出，不同誤差組合對載荷分布的影響各異。情況5-a誤差組合能夠優(yōu)化載荷分布，減小0°處滾子載荷，增加承載滾子數(shù)目，避免內(nèi)部載荷沖擊。情況5-b誤差組合對載荷分布影響較小，0°處滾子載荷幾乎沒有變化，但承載滾子數(shù)目增加。

分析單一誤差對軸承載荷分布的影響，計算0°處滾子載荷變化規(guī)律，如圖7所示。不考慮誤差時，0°處滾子載荷為1 298.4 N。滾子載荷對單一滾子誤差敏感，變化幅度大，多個滾子誤差的影響與誤差排列有關(guān)；內(nèi)滾道形狀誤差使?jié)L子載荷增大；外滾道形狀誤差使?jié)L子載荷下降，但幅度不大。與形狀誤差幅值的影響相比，形狀誤差階次對峰值載荷的影響更大。零件誤差對載荷分布的影響，與誤差類型、大小及誤差組合有關(guān)。

圖7 峰值載荷變化曲線

4 結(jié)論

(1)單一滾子直徑誤差為正時，隨著誤差增大，峰值載荷增加；滾子直徑誤差為負時，隨誤差增大，載荷分布出現(xiàn)波谷，承載滾子數(shù)目增加，誤差增加到一定程度，滾子將不承受載荷，即出現(xiàn)“搭橋”現(xiàn)象。

(2)多個滾子存在誤差時，滾子由中間位置向兩邊逐漸變大時，承載滾子數(shù)目增加，峰值載荷減小；滾子由中間位置向兩邊逐漸減小時，承載滾子數(shù)減少，峰值載荷增加。

(3)內(nèi)滾道存在形狀誤差時，隨著誤差幅值的增大，峰值載荷增加，但增加幅度很小，承載滾子數(shù)幾乎不改變；隨著誤差階次的增加，峰值載荷增加，并有改變承載滾子數(shù)目的趨勢。誤差階次的影響大于誤差幅值。

(4)外滾道存在形狀誤差時，隨誤差幅值的增加，峰值載荷小幅減小，承載滾子數(shù)目變化不明顯；隨著誤差階次的增加，峰值載荷減小，改變承載滾子數(shù)目的趨勢明顯。

(5)各零件誤差通過一定的組合，可優(yōu)化載荷分布，降低峰值載荷、增加承載滾子數(shù)目。