常云

對圓錐曲線應用的考查歷來是高考中的重難點，在掌握圓錐曲線定義的基礎上做到結合定義巧妙應用進而解題，有助于學生在考試過程中把握分數(shù)，還能夠結合幾何元素與軌跡等考查學生應用性思維和發(fā)散性思維，培養(yǎng)其舉一反三的數(shù)學能力.下面我們針對圓錐曲線定義在高中數(shù)學解題中的應用做簡單分析探討.

圓錐曲線定義中主要以橢圓定義、雙曲線定義為主，圓錐曲線上的點與兩個焦點之間的關系是解題分析的關鍵，二者的關系決定了某點的運動軌跡是拋物線、橢圓或者雙曲線，所以在解題過程中，必須對三者定義有深入了解.假使圓錐曲線上的點與兩個焦點構成的是三角形，通常會使用第一定義結合正余弦定理來進行解題，涉及焦點或者準線時，解題可參考常用的統(tǒng)一定義.應用過程中的重難點在于讓學生養(yǎng)成巧妙運用定義深入剖析題目并解題的意識，所以，需要讓學生在學習和運用的過程中樹立等價轉換的思想，尤其注意數(shù)形結合，在解題中將圓錐曲線的各自定義和解題難點、切入點進行有效區(qū)別和聯(lián)系.

1.利用定義求軌跡

圓錐曲線定義的應用是解題中常用方法，也是求軌跡的典型方法.比如已知兩個定圓O1和O2，它們的半徑分別為a和b，且|O1O2|=c，動圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當?shù)淖鴺讼?，求動圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線.

這個題目的解決很明顯可以利用圓錐曲線的定義來解決，解題過程也并不復雜，以O1O2的中點O為原點，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標系，從而得到O1與O2坐標.然后我們假設動圓的半徑為r，由動圓M與圓O1內(nèi)切、與圓O2內(nèi)切得到|MO1|和 |MO2|值，最后利用其互相之間的關系來得到M點的軌跡，確定其以O1、O2為焦點，是雙曲線的坐支（x<0），根據(jù)半徑之間關系得到軌跡方程.

比如典型例題應用：F１、F２是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩焦點（見圖1），P是橢圓上任一點, 從任一焦點引∠F1PF2的外角平分線的垂線，求垂足Q的軌跡.

解延長垂線F1Q交F2P的延長線于點A，

等腰三角形APF1中

所以|PF1|=|AP|

從而|AF2|=|AP|+|PF|=|PF1|+|PF2|=2A

所以|OQ|=12|AP|=a

確定垂足為Q的軌跡為圓.這是圓錐曲線定義較為常見的考點應用題目.

2.利用定義和正余弦定理求焦點三角形

比如常見的求解焦點三角形面積問題.如下題：

已知雙曲線 （a＞０，b＞０），Ｐ為雙曲線上任一點，∠F1PF2=θ, 求ΔF1PF2的面積.

這個題目的解答需要在結合定義分析的基礎上熟知并巧用正余弦定理.利用面積公式和正余弦得到①和②，

ＳΔF1PF2＝12|PF1|·|PF2|sinθ①

(2c)2＝|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosθ ②

結合圓錐曲線中雙曲線定義得到

|PF1|-|PF2|=2a

即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2③

通過②與③得到|PF1|·|PF2|=2b21-cosθ④

代入①得出三角形面積ＳΔF1PF2＝b2sinθ1-cosθ=b2cotθ2，從而完成題目的解答.

在焦點三角形題目解答中，還有一類常見題目，即求某點的坐標.比如下題：

已知A(112，３)為一定點，Ｆ為雙曲線x29-y227=1的右焦點，Ｍ在雙曲線右支上移動，當|AM|＋12|MF|最小時，求Ｍ點的坐標.這種是常見的考察距離和最差值的問題，通常需要考慮三角形兩邊和與差同第三條邊之間的關系，其中利用定義來轉換12數(shù)量關系來解題是常見手法，這在本題目中也較為典型.

解過M作MP垂直準線于點Ｐ，則12|MF|＝|MP|，所以|AM|＋12|MF|＝|AM|＋|MP|≤|AP|.當A、M、P三點共線時，|AM|＋12|MF|最小.

我們以下面這道題為例，假設Ｐ（x,y）是橢圓x2a2+y2b2=1 （a>b>0）上一點，Ｆ１、Ｆ２為橢圓的兩焦點，求|PF1|·|PF2|的最大值和最小值.這道題可結合橢圓的第二定義得到|PF1|與|PF2|的表達式，根據(jù)0≤x2≤a2得到最大值與最小值.

3.利用定義解求證題

高考常見題目中，解求證類題目中經(jīng)常會遇到需要應用第二定義證明的求證拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切或以橢圓焦點弦為直徑的圓與相對應的準線相離、以雙曲線焦點弦為直徑的圓與相應的準線相交等題目.比如過拋物線y2=2px的焦點F任作一條直線m,交這拋物線于P1、P2兩點，求證以P1P2為直徑的圓和這拋物線的準線相切.這道題目就是運用拋物線的定義和平面幾何知識來證的典型題目.我們假設P1P2中點為P0，過P1、P2、P0分別向準線引垂線P1Q1、P2Q2、P0Q0，得到垂足Q1、Q2、Q0，則|P1F|=|P1Q1|，|P2F|=|P2Q2|，所以|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|=2|P0Q0|，從而確定P0Q0是以P1P2為直徑的圓P0的半徑，且P0Q0⊥l，證實圓與準線相切.

總之，利用圓錐曲線定義解決題目，對定義的了解和應用是根本，結合定義、正余弦定理等解決焦點、三角形、準線、圓錐曲線上的點等題目，可謂事半功倍.

endprint

對圓錐曲線應用的考查歷來是高考中的重難點，在掌握圓錐曲線定義的基礎上做到結合定義巧妙應用進而解題，有助于學生在考試過程中把握分數(shù)，還能夠結合幾何元素與軌跡等考查學生應用性思維和發(fā)散性思維，培養(yǎng)其舉一反三的數(shù)學能力.下面我們針對圓錐曲線定義在高中數(shù)學解題中的應用做簡單分析探討.

圓錐曲線定義中主要以橢圓定義、雙曲線定義為主，圓錐曲線上的點與兩個焦點之間的關系是解題分析的關鍵，二者的關系決定了某點的運動軌跡是拋物線、橢圓或者雙曲線，所以在解題過程中，必須對三者定義有深入了解.假使圓錐曲線上的點與兩個焦點構成的是三角形，通常會使用第一定義結合正余弦定理來進行解題，涉及焦點或者準線時，解題可參考常用的統(tǒng)一定義.應用過程中的重難點在于讓學生養(yǎng)成巧妙運用定義深入剖析題目并解題的意識，所以，需要讓學生在學習和運用的過程中樹立等價轉換的思想，尤其注意數(shù)形結合，在解題中將圓錐曲線的各自定義和解題難點、切入點進行有效區(qū)別和聯(lián)系.

1.利用定義求軌跡

圓錐曲線定義的應用是解題中常用方法，也是求軌跡的典型方法.比如已知兩個定圓O1和O2，它們的半徑分別為a和b，且|O1O2|=c，動圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當?shù)淖鴺讼?，求動圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線.

這個題目的解決很明顯可以利用圓錐曲線的定義來解決，解題過程也并不復雜，以O1O2的中點O為原點，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標系，從而得到O1與O2坐標.然后我們假設動圓的半徑為r，由動圓M與圓O1內(nèi)切、與圓O2內(nèi)切得到|MO1|和 |MO2|值，最后利用其互相之間的關系來得到M點的軌跡，確定其以O1、O2為焦點，是雙曲線的坐支（x<0），根據(jù)半徑之間關系得到軌跡方程.

比如典型例題應用：F１、F２是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩焦點（見圖1），P是橢圓上任一點, 從任一焦點引∠F1PF2的外角平分線的垂線，求垂足Q的軌跡.

解延長垂線F1Q交F2P的延長線于點A，

等腰三角形APF1中

所以|PF1|=|AP|

從而|AF2|=|AP|+|PF|=|PF1|+|PF2|=2A

所以|OQ|=12|AP|=a

確定垂足為Q的軌跡為圓.這是圓錐曲線定義較為常見的考點應用題目.

2.利用定義和正余弦定理求焦點三角形

比如常見的求解焦點三角形面積問題.如下題：

已知雙曲線 （a＞０，b＞０），Ｐ為雙曲線上任一點，∠F1PF2=θ, 求ΔF1PF2的面積.

這個題目的解答需要在結合定義分析的基礎上熟知并巧用正余弦定理.利用面積公式和正余弦得到①和②，

ＳΔF1PF2＝12|PF1|·|PF2|sinθ①

(2c)2＝|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosθ ②

結合圓錐曲線中雙曲線定義得到

|PF1|-|PF2|=2a

即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2③

通過②與③得到|PF1|·|PF2|=2b21-cosθ④

代入①得出三角形面積ＳΔF1PF2＝b2sinθ1-cosθ=b2cotθ2，從而完成題目的解答.

在焦點三角形題目解答中，還有一類常見題目，即求某點的坐標.比如下題：

已知A(112，３)為一定點，Ｆ為雙曲線x29-y227=1的右焦點，Ｍ在雙曲線右支上移動，當|AM|＋12|MF|最小時，求Ｍ點的坐標.這種是常見的考察距離和最差值的問題，通常需要考慮三角形兩邊和與差同第三條邊之間的關系，其中利用定義來轉換12數(shù)量關系來解題是常見手法，這在本題目中也較為典型.

解過M作MP垂直準線于點Ｐ，則12|MF|＝|MP|，所以|AM|＋12|MF|＝|AM|＋|MP|≤|AP|.當A、M、P三點共線時，|AM|＋12|MF|最小.

我們以下面這道題為例，假設Ｐ（x,y）是橢圓x2a2+y2b2=1 （a>b>0）上一點，Ｆ１、Ｆ２為橢圓的兩焦點，求|PF1|·|PF2|的最大值和最小值.這道題可結合橢圓的第二定義得到|PF1|與|PF2|的表達式，根據(jù)0≤x2≤a2得到最大值與最小值.

3.利用定義解求證題

高考常見題目中，解求證類題目中經(jīng)常會遇到需要應用第二定義證明的求證拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切或以橢圓焦點弦為直徑的圓與相對應的準線相離、以雙曲線焦點弦為直徑的圓與相應的準線相交等題目.比如過拋物線y2=2px的焦點F任作一條直線m,交這拋物線于P1、P2兩點，求證以P1P2為直徑的圓和這拋物線的準線相切.這道題目就是運用拋物線的定義和平面幾何知識來證的典型題目.我們假設P1P2中點為P0，過P1、P2、P0分別向準線引垂線P1Q1、P2Q2、P0Q0，得到垂足Q1、Q2、Q0，則|P1F|=|P1Q1|，|P2F|=|P2Q2|，所以|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|=2|P0Q0|，從而確定P0Q0是以P1P2為直徑的圓P0的半徑，且P0Q0⊥l，證實圓與準線相切.

總之，利用圓錐曲線定義解決題目，對定義的了解和應用是根本，結合定義、正余弦定理等解決焦點、三角形、準線、圓錐曲線上的點等題目，可謂事半功倍.

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對圓錐曲線應用的考查歷來是高考中的重難點，在掌握圓錐曲線定義的基礎上做到結合定義巧妙應用進而解題，有助于學生在考試過程中把握分數(shù)，還能夠結合幾何元素與軌跡等考查學生應用性思維和發(fā)散性思維，培養(yǎng)其舉一反三的數(shù)學能力.下面我們針對圓錐曲線定義在高中數(shù)學解題中的應用做簡單分析探討.

圓錐曲線定義中主要以橢圓定義、雙曲線定義為主，圓錐曲線上的點與兩個焦點之間的關系是解題分析的關鍵，二者的關系決定了某點的運動軌跡是拋物線、橢圓或者雙曲線，所以在解題過程中，必須對三者定義有深入了解.假使圓錐曲線上的點與兩個焦點構成的是三角形，通常會使用第一定義結合正余弦定理來進行解題，涉及焦點或者準線時，解題可參考常用的統(tǒng)一定義.應用過程中的重難點在于讓學生養(yǎng)成巧妙運用定義深入剖析題目并解題的意識，所以，需要讓學生在學習和運用的過程中樹立等價轉換的思想，尤其注意數(shù)形結合，在解題中將圓錐曲線的各自定義和解題難點、切入點進行有效區(qū)別和聯(lián)系.

1.利用定義求軌跡

圓錐曲線定義的應用是解題中常用方法，也是求軌跡的典型方法.比如已知兩個定圓O1和O2，它們的半徑分別為a和b，且|O1O2|=c，動圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當?shù)淖鴺讼?，求動圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線.

這個題目的解決很明顯可以利用圓錐曲線的定義來解決，解題過程也并不復雜，以O1O2的中點O為原點，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標系，從而得到O1與O2坐標.然后我們假設動圓的半徑為r，由動圓M與圓O1內(nèi)切、與圓O2內(nèi)切得到|MO1|和 |MO2|值，最后利用其互相之間的關系來得到M點的軌跡，確定其以O1、O2為焦點，是雙曲線的坐支（x<0），根據(jù)半徑之間關系得到軌跡方程.

比如典型例題應用：F１、F２是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩焦點（見圖1），P是橢圓上任一點, 從任一焦點引∠F1PF2的外角平分線的垂線，求垂足Q的軌跡.

解延長垂線F1Q交F2P的延長線于點A，

等腰三角形APF1中

所以|PF1|=|AP|

從而|AF2|=|AP|+|PF|=|PF1|+|PF2|=2A

所以|OQ|=12|AP|=a

確定垂足為Q的軌跡為圓.這是圓錐曲線定義較為常見的考點應用題目.

2.利用定義和正余弦定理求焦點三角形

比如常見的求解焦點三角形面積問題.如下題：

已知雙曲線 （a＞０，b＞０），Ｐ為雙曲線上任一點，∠F1PF2=θ, 求ΔF1PF2的面積.

這個題目的解答需要在結合定義分析的基礎上熟知并巧用正余弦定理.利用面積公式和正余弦得到①和②，

ＳΔF1PF2＝12|PF1|·|PF2|sinθ①

(2c)2＝|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosθ ②

結合圓錐曲線中雙曲線定義得到

|PF1|-|PF2|=2a

即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2③

通過②與③得到|PF1|·|PF2|=2b21-cosθ④

代入①得出三角形面積ＳΔF1PF2＝b2sinθ1-cosθ=b2cotθ2，從而完成題目的解答.

在焦點三角形題目解答中，還有一類常見題目，即求某點的坐標.比如下題：

已知A(112，３)為一定點，Ｆ為雙曲線x29-y227=1的右焦點，Ｍ在雙曲線右支上移動，當|AM|＋12|MF|最小時，求Ｍ點的坐標.這種是常見的考察距離和最差值的問題，通常需要考慮三角形兩邊和與差同第三條邊之間的關系，其中利用定義來轉換12數(shù)量關系來解題是常見手法，這在本題目中也較為典型.

解過M作MP垂直準線于點Ｐ，則12|MF|＝|MP|，所以|AM|＋12|MF|＝|AM|＋|MP|≤|AP|.當A、M、P三點共線時，|AM|＋12|MF|最小.

我們以下面這道題為例，假設Ｐ（x,y）是橢圓x2a2+y2b2=1 （a>b>0）上一點，Ｆ１、Ｆ２為橢圓的兩焦點，求|PF1|·|PF2|的最大值和最小值.這道題可結合橢圓的第二定義得到|PF1|與|PF2|的表達式，根據(jù)0≤x2≤a2得到最大值與最小值.

3.利用定義解求證題

高考常見題目中，解求證類題目中經(jīng)常會遇到需要應用第二定義證明的求證拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切或以橢圓焦點弦為直徑的圓與相對應的準線相離、以雙曲線焦點弦為直徑的圓與相應的準線相交等題目.比如過拋物線y2=2px的焦點F任作一條直線m,交這拋物線于P1、P2兩點，求證以P1P2為直徑的圓和這拋物線的準線相切.這道題目就是運用拋物線的定義和平面幾何知識來證的典型題目.我們假設P1P2中點為P0，過P1、P2、P0分別向準線引垂線P1Q1、P2Q2、P0Q0，得到垂足Q1、Q2、Q0，則|P1F|=|P1Q1|，|P2F|=|P2Q2|，所以|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|=2|P0Q0|，從而確定P0Q0是以P1P2為直徑的圓P0的半徑，且P0Q0⊥l，證實圓與準線相切.

總之，利用圓錐曲線定義解決題目，對定義的了解和應用是根本，結合定義、正余弦定理等解決焦點、三角形、準線、圓錐曲線上的點等題目，可謂事半功倍.

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