胡昊灝，商德江

（哈爾濱工程大學(xué)水聲技術(shù)國防重點實驗室，哈爾濱150001）

復(fù)合層合矩形板水下聲輻射解析計算

胡昊灝，商德江

（哈爾濱工程大學(xué)水聲技術(shù)國防重點實驗室，哈爾濱150001）

基于一階剪切形變理論(FSDT)，建立四邊簡支矩形復(fù)合層合板水下聲輻射解析模型，采用一種基于定積分的方法計算板表面流載聲壓，以提高輻射聲阻抗的運(yùn)算效率。為驗證算法的正確性，將所得結(jié)果與數(shù)值計算方法進(jìn)行了對比。1階剪切形變理論計算結(jié)果也與經(jīng)典層合板理論(CLPT)的計算結(jié)果進(jìn)行了比較，指出其在計算復(fù)合層合板聲輻射時的優(yōu)勢。最后分析了跨厚比，鋪層角度等參數(shù)對聲輻射的影響，為結(jié)構(gòu)噪聲控制提供參考。

聲學(xué)；復(fù)合層合板；1階剪切形變理論；聲輻射；噪聲控制

復(fù)合層合材料由于具有強(qiáng)度高，質(zhì)量輕等優(yōu)點，在航空航天，船舶制造等工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，然而關(guān)于復(fù)合層合結(jié)構(gòu)的振動與聲輻射問題目前研究較少。

早期一些科研人員采用三維彈性理論分析復(fù)合結(jié)構(gòu)振動與聲輻射問題，Berry[1]采用三維彈性理論計算了敷設(shè)均勻阻尼層的四邊簡支矩形板的結(jié)構(gòu)聲響應(yīng)，結(jié)果表明相比于阻尼層中的壓縮波分量，剪切波分量對聲輻射的影響可以忽略。事實上因為三維彈性理論未對位移和應(yīng)力做任何簡化，需要給出各層的三維彈性力學(xué)方程和應(yīng)變、應(yīng)力的邊界條件以及連續(xù)條件，最后聯(lián)合求解。該方法計算量很大，只有層數(shù)很少、加載方式、邊界條件都非常簡單時，才可能求解。

求解復(fù)合層合板動力學(xué)問題最為常用的是二維彈性理論，其中最簡單的方法是基于Kirchhoff假設(shè)的經(jīng)典層合板理論(CLPT)[2]，該方法僅考慮結(jié)構(gòu)彎曲形變而不考慮剪切形變，包含的未知數(shù)少，計算速度快。Daneshjou采用CLPT理論分析了無限長層合圓柱殼的隔聲量問題[3]，Yin[4]應(yīng)用經(jīng)典層合理論研究了雙周期平行加肋無限大復(fù)合層合薄板的聲輻射。很顯然CLPT僅適合于較薄結(jié)構(gòu)。

1階剪切形變理論(FSDT)被用來分析有一定厚度的復(fù)合結(jié)構(gòu)的動力學(xué)問題，Ghinet和Atalla[5]利用FSDT分析了無限長復(fù)合層合圓柱殼的頻散關(guān)系，進(jìn)一步求出了復(fù)合層合圓柱殼吻合頻率、環(huán)頻率、隔聲量等參量的表達(dá)式。Cao[6]在Yin[4]的基礎(chǔ)上采用FSDT無限大加肋復(fù)合層合薄板的聲輻射研究，將聲壓值與Yin[4]的方法進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)在低頻時兩者計算結(jié)果一致，但在中、高頻時兩者聲壓值差別較大。然而，之前的文獻(xiàn)主要集中分析了無限大復(fù)合層合結(jié)構(gòu)的聲學(xué)問題[7]，對有限大復(fù)合層合結(jié)構(gòu)的聲輻射問題鮮有觸及。

本文以一流載四邊簡支復(fù)合層合矩形板為例，用解析法建立了其動力學(xué)模型以及聲輻射模型。對于重流體載荷下板的動力學(xué)問題，聲壓載荷作用不能忽略，然而關(guān)于板結(jié)構(gòu)輻射聲阻抗積分，在運(yùn)算過程麻煩且較費(fèi)時[8]，本文通過積分變換以及三角函數(shù)積化和差公式將原來積分化為一系列一重定積分的形式，整個過程沒有用任何近似，從而提高了計算效率和準(zhǔn)確性。

1 模型描述

由纖維增強(qiáng)的矩形復(fù)合層合板，假設(shè)其四邊均簡支于無限大剛性障板上，如圖1板上側(cè)為無限大流體域，板下側(cè)為真空，其位移場由1階剪切形變理論來描述，該理論認(rèn)為變形前垂直于中性面的直線，在形變后仍為直線但不再垂直于中性面，也就是說考慮了橫向剪切應(yīng)變的影響。

圖1 復(fù)合層合板聲輻射模型示意圖

對于層合板上任意一點M，由圖2可知此時的位移場表達(dá)式為

其中u0，v0，w0分別為中性面上沿x，y，z方向的位移，而φx，φy則分別為繞y軸和繞x軸的剪切轉(zhuǎn)動位移。

1.1 運(yùn)動方程

假設(shè)應(yīng)變與位移滿足線性關(guān)系

對于復(fù)合板上的任意一點，其合成應(yīng)力以及合成力矩表達(dá)式為

圖2 復(fù)合層合板位移場

其中N=[Nx,Ny,Nxy]T表示層合板橫截面上的合成應(yīng)力，M=[Mx,My,Mxy]T表示層合板橫截面上的合成力矩。Aij，Bij，Dij分別為拉伸剛度，拉伸-彎曲耦合剛度，彎曲剛度。Qx，Qy分別表示橫向剪切力。Kc表示剪切修正因子，因為1階剪切形變理論假設(shè)橫向剪切應(yīng)力沿厚度方向按常數(shù)規(guī)律分布，而事實上橫向剪切應(yīng)變沿厚度方向至少是按二次規(guī)律變化，所以要對剪切剛度系數(shù)加以修正。

由虛功原理可推導(dǎo)出系統(tǒng)動力學(xué)平衡方程

上式中I0，I1，I2表示質(zhì)量慣性矩。

將關(guān)系式(3)代入(4)中便得到關(guān)于位移的系統(tǒng)運(yùn)動方程

U=[u0,v0,w0,φx,φy]T表示待求位移向量，q=[0,0,F-p,0,0]T為外力載荷，其中F為橫向諧和點激勵，p表示流體在板表面聲壓載荷，Lij表示剛度系數(shù)，Mij表示質(zhì)量系數(shù)。

板表面流體聲壓載荷p，可由Rayleigh積分公式得到

其中ρ0為流體密度，k0為聲波波數(shù)，為板表面法向振速，為板表面上的點與場點的距離。

1.2 方程求解

以反對稱角鋪設(shè)纖維材料的復(fù)合層合板為例，因為滿足四邊簡支邊界條件，所以位移形式解可設(shè)為

將(7)式代入系統(tǒng)運(yùn)動方程(5),然后在方程兩邊同乘以模態(tài)型函數(shù)，利用三角函數(shù)的正交性得到

求解方程組(8)得到模態(tài)展開系數(shù)amn，進(jìn)而可求得復(fù)合層合板的輻射聲功率為

“*”表示共軛轉(zhuǎn)置，Zmnpq為輻射聲阻抗。

1.3 輻射聲阻抗

將(7)式中的橫向位移w代入Rayleigh積分公式(6)，可得到聲壓模態(tài)展開系數(shù)為

輻射聲阻抗Zmnpq的表達(dá)式為

這是一個復(fù)雜的四重積分，直接求解很困難，其中Rmnpq為聲輻射阻，Xmnpq為聲輻射抗，以自輻射阻Rmnmn為例利用文獻(xiàn)[8]的方法通過坐標(biāo)變化將原來的四重積分化為二重積分

其中

《秀才胡同》用典更重于典故的使用，大多是每提及一個典故便賦予歌詞一種氛圍。這首歌通過多個典故的交織重疊來敘寫故事，這也是其高明之處：已經(jīng)向已經(jīng)有了完整骨架的愛情故事中填充更多的典故以組成其血肉，使得歌曲無論從哪個方面都有可玩味的地方，以人類比便是豐腴之楊貴妃。

傳統(tǒng)方法是利用高斯二重積分公式數(shù)值求解(13)式，但隨著計算頻率增加，模態(tài)階數(shù)增加，計算速度顯著降低。

將(13)式中的積分進(jìn)一步化簡。首先利用極坐標(biāo)變換κ=aρcosθ，τ=aρsinθ，使積分表達(dá)式變?yōu)?/p>

(14)中的被積函數(shù)進(jìn)行積化和差公式運(yùn)算后，可將關(guān)于ρ的積分直接求出來，原來的二重積分變?yōu)橐恢囟ǚe分

其中

2 數(shù)值計算

2.1 算法驗證

以往文獻(xiàn)關(guān)于有限大復(fù)合層合板水下聲輻射的算例較少，為了驗證算法的正確性，這里取一單層各向同性板作為參考對象，事實上單層各向同性板可以看作一個特殊的復(fù)合層合板（各層均為相同各向同性材料，且無加強(qiáng)纖維），只要對式(3)中的剛度系數(shù)進(jìn)行特殊設(shè)置，進(jìn)而求解運(yùn)動方程(8)，即可得到聲輻射解。

待驗證板的長度a=0.6 m，寬b=0.6 m，厚度為h=0.005 m，材料為鋼，參考聲功率級為0.67×10-18W，圖3是把基于1階剪切形變理論(FSDT)計算得到的結(jié)果，與有限元法(FEM)結(jié)合邊界元法(BEM)所計算的結(jié)果進(jìn)行比較。從圖中可看到兩者計算結(jié)果基本一致，所以上述基于1階剪切形變理論算法所建立的復(fù)合層合板聲輻射模型是正確的。

圖3 兩種不同方法計算各向同性單層板聲輻射

2.2 與經(jīng)典層合板理論(CLPT)比較

假設(shè)所分析模型為由六層單層板構(gòu)成的復(fù)合層合板，且各層厚度相等均為h=0.002 5 m，板長度a=0.6 m，寬b=0.6 m，為了計算方便假設(shè)各層材料相等，纖維鋪設(shè)角度分別為(45°/-45°/90°/-90°/45°/-45°)。楊氏模量E1=1.2×1011pa，E2=1×1010pa；泊松比υ12=0.4，υ21=0.4；剪切模量G12=G23=5.9×109pa，G12=3×109pa；各層材料密度均為激勵點位置為0.3 m，0.2 m，激勵力幅值為1 N。

圖4給出了基于1階剪切形變理論(FSDT)與基于經(jīng)典層合板理論CLPT時復(fù)合層合板輻射聲功率的頻率響應(yīng)曲線，在650 Hz以下的頻率兩者計算結(jié)果完全一致，但隨著分析頻率增高，兩者計算結(jié)果差別較大，不僅峰值大小不同，而且存在明顯的頻率偏移。很顯然基于Kirchhoff假設(shè)的經(jīng)典層合板理論認(rèn)為變形前垂直于中性面的直線變形后仍垂直于中性面，也就是說忽略了剪切形變的影響，在低頻段由于波長遠(yuǎn)大于結(jié)構(gòu)厚度，剪切形變尚可忽略，在中、高頻段波長比較接近于結(jié)構(gòu)厚度，此時剪切形變對振動和聲輻射的影響不能忽略。這也說明了對于厚板的聲輻射問題FSDT比CLPT更準(zhǔn)確。

2.3 復(fù)合層合板參數(shù)分析

所選模型參數(shù)與圖4所用的參數(shù)一致，鋪設(shè)角為(45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°)。從圖5中看出跨厚比對復(fù)合層合板輻射聲功率影響較大。

圖4 FSDT理論與CLPT理論計算復(fù)合層合板聲輻射對比

圖5 不同跨厚比對聲輻射的影響

從整體來看跨厚比越小，輻射聲功率越小，因為跨厚比減小，相當(dāng)于結(jié)構(gòu)的相對厚度增加，對于低頻段相當(dāng)于慣性增加，對于高頻段則意味著更多剪切形變能的耗損，這兩種機(jī)理都會使輻射聲功率下降。

由圖6可知纖維鋪設(shè)角度對復(fù)合層合板輻射聲功率的影響規(guī)律較為復(fù)雜，這是因為鋪設(shè)角對拉伸剛度，彎曲剛度以及耦合剛度的影響不是簡單的線性關(guān)系。從圖6看到45度鋪設(shè)角時輻射聲功率整體水平較低，在較低頻段輻射聲功率則是隨著鋪設(shè)角度的增加而有所增加。

圖6 不同纖維鋪設(shè)角對聲輻射的影響

3 結(jié)語

在1階剪切形變理論的基礎(chǔ)上建立了纖維增強(qiáng)的輻射層合板聲輻射模型，通過數(shù)值計算得到如下結(jié)論：

(1)基于1階剪切形變理論的復(fù)合層合板動力學(xué)問題雖然遠(yuǎn)比經(jīng)典層合板理論復(fù)雜，但它更適合具有一定厚度的復(fù)合板，尤其是在中高頻段的分析。且計算過程仍比三維彈性理論簡單；

(2)傳統(tǒng)方法計算矩形板輻射聲阻抗積分時計算量較大(四重積分或二重積分)，本文所采用的一重定積分法推導(dǎo)過程雖然繁瑣，卻降低了程序計算量；

(3)減少復(fù)合層合板的跨厚比能有效降低輻射聲功率，復(fù)合層合板鋪設(shè)角對輻射聲功率的影響較復(fù)雜，45度時整體輻射聲功率水平較低。

[1]Berry A,Foin O,Szabo J P.Three dimensional elasticity model for a decoupling coating on a rectangular plate immersed in a heavy fluid[J].Journal of the Acoustical Society of America,2001,109(6):2704-2714.

[2]Qatu M S.Vibration of laminated shells and plate[M].Amsterdam:Elsevier academic press,2004.

[3]Daneshjou K,Nouri A,Talebitooti R.Sound transmission through lam inated composite cylindrical shells using analytical model[J].Arch Applied Mechanical,2007,77: 363-379.

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Analytical Calculation of Sound Radiation for Underwater Lam inated Composite Rectangular Plates

HU Hao-hao,SHANG De-jiang

(National Defense Key Laboratory of UnderwaterAcoustic Technology Harbin Engineering University, Harbin 150001,China)

Based on the First Order Shear Deformation Theory(FSDT),the analytical model for underwater sound radiation calculation of a simply supported lam inated composite plate is built.A definite integral method is adopted to estimate the surface fluid-loaded sound pressure of the plate.This method can raise the effect for sound radiation impedance estimation.The accuracy of the proposed model is validated by comparing the result of this method with that of numerical method.The result of this method is also compared with that based on the classical lam inated plate theory(CLPT).It is shown that this method has the superiority in calculation of the sound radiation field of composite lam inated plates.Finally, the effects of ply’s orientation angle and width-to-depth ratio on the sound radiation are analyzed for structural noise control.

acoustics;lam inated composite plates;first order shear deformation theory;sound radiation;noise control

TB535

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.01.046

1006-1355(2014)01-0205-04

2013-04-03

國家自然科學(xué)基金資助項目（基金編號：11274080）

胡昊灝（1983-），男，湖南省湘潭縣人，博士，目前從事水下結(jié)構(gòu)聲輻射、噪聲被動控制研究。

E-mail:huhaohao049@sohu.com