文/劉靜

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》明確將“獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識．”作為總目標之一，以上提到“作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)不是現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，而是創(chuàng)造的數(shù)學(xué)”。提出通過數(shù)學(xué)問題解決的學(xué)習(xí)，可以發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生獨立地、創(chuàng)造性地解決問題的能力，而問題解決的主要形式和途徑是數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵。從創(chuàng)設(shè)良好的數(shù)學(xué)問題情境，激發(fā)創(chuàng)造熱情；關(guān)注數(shù)學(xué)解題的思維過程，培養(yǎng)創(chuàng)造意識；優(yōu)化數(shù)學(xué)解題的引導(dǎo)策略，發(fā)展創(chuàng)造力三部分對在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力作了理性思考，并聯(lián)系教學(xué)實踐做了操作性的闡述．

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題；教學(xué)過程；發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造力

一、解題教學(xué)發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造力的理念解析

創(chuàng)造力一般是指產(chǎn)生新的想法，發(fā)現(xiàn)和制造新的事物的能力．創(chuàng)造力與一般能力的區(qū)別在于它的新穎性和獨創(chuàng)性．它的主要成分是發(fā)散思維，即無定向、無約束地由已知探索未知的思維方式.數(shù)學(xué)本身的特點使它與創(chuàng)造力有著不解之緣。數(shù)學(xué)問題解決的能力是數(shù)學(xué)能力的核心．解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中有其不可替代的重要作用：（1）解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容；（2）解題是掌握數(shù)學(xué)，學(xué)會“數(shù)學(xué)地思維”的基本途徑；（3）解題是評價學(xué)習(xí)的重要方式。數(shù)學(xué)教學(xué)的一個很重要的任務(wù)，就是教學(xué)生學(xué)習(xí)如何解數(shù)學(xué)題，教學(xué)生學(xué)會“數(shù)學(xué)地思維”．學(xué)數(shù)學(xué)，就要解數(shù)學(xué)題，數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)對學(xué)生鞏固知識、培養(yǎng)素質(zhì)、發(fā)展能力和促進個性心理發(fā)展都具有極其重要的作用和意義．

二、在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造力

（一）關(guān)注數(shù)學(xué)解題思維過程，培養(yǎng)創(chuàng)造意識

我們在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，不僅要關(guān)心問題的結(jié)果，更要關(guān)心求得結(jié)果的過程，即問題解決的整個思考過程．數(shù)學(xué)解題思維過程的四個階段實質(zhì)是：理解、轉(zhuǎn)換、實施、反思，關(guān)注數(shù)學(xué)問題解決的過程，就應(yīng)關(guān)注解題的每個階段：

1.理解題目

任何問題解決的過程，首先是理解這個問題，對它進行表征以形成問題空間．例如：

求■+■（x≥0）的最小值.

學(xué)生從代數(shù)意義上理解問題，因此，嘗試用函數(shù)的思想解決問題，但感到困難．此時我們可以帶學(xué)生重新審題：（1）你能重述問題嗎？（2）你用到了所有的條件嗎？（3）你能從幾何角度來理解■的意義嗎？

學(xué)生在熟悉題目的基礎(chǔ)上對問題進行幾何敘述，從而解決問題．具有創(chuàng)造力的人在解決問題時，總是以獨特的方式聯(lián)結(jié)不同的概念、知識，從而對問題作出創(chuàng)造性的理解.

2.擬定計劃

當學(xué)生開始解決數(shù)學(xué)問題時，我引導(dǎo)學(xué)生對自己提出開闊思路的問題：

（1）見到過這個問題嗎？見到過類似的問題嗎？（條件、圖、結(jié)論）

（2）見過與問題相關(guān)的問題嗎？（相關(guān)問題的條件，結(jié)論和方法可以利用嗎？）

例如，在四邊形ABCD中AD=BC，點E、F分別是AB、CD的中點，延長AD、BC與直線EF分別交于Ｐ、Ｑ兩點，求證：∠APE=∠BQE

這時可以聯(lián)想到已經(jīng)做過的問題：在四邊形ABCD中AD=BC，點E、F、M分別是AB、CD、AC的中點，求證：△EFM是等腰三角形.

不難發(fā)現(xiàn)兩題條件是相同的，三角形中位線定理可以利用，因而解決新問題的大門鑰匙已經(jīng)握在手中了．

創(chuàng)造力來自基本的認知過程，通過關(guān)注學(xué)生這一階段觀察、比較、分析、特殊化、一般化、模型化等數(shù)學(xué)思維方法的訓(xùn)練，必定促使其數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的發(fā)展．

3.實施計劃

執(zhí)行解題方案時，要檢查每一個步驟．在這一過程中我既會采用抽象、分類、歸納、演繹等邏輯思維的方式，也常常運用直覺靈感等非邏輯思維的方式來解決問題．在實施解題計劃時我們要清楚地“看出”這個步驟的正確性，并且“證明”這個步驟的正確性．

例如，已知x2+■=14，求x+■_______．

比較條件和目標，直覺告訴我們運算過程與乘法公式（a+b）2=a2+b2+2ab有關(guān)．但問題的解決還需借助恰當?shù)倪壿嬐评恚簒2+■與（x+■）2相差一項2x·■=2也就是說后者比前者大2．于是就有（x+■）2=16則x+■=±4．

直覺靈感屬非邏輯思維方式，它具有爆發(fā)性、靈活性，富有創(chuàng)造力．非邏輯思維能力的發(fā)展有賴于長期的有目的的邏輯思維，而邏輯思維也往往借助于直覺、靈感，發(fā)展學(xué)生的直覺思維和邏輯思維能力，從而促進創(chuàng)造力的發(fā)展．

4.回顧反思

引導(dǎo)學(xué)生自己去做，就必然出現(xiàn)學(xué)生經(jīng)常不用教師講的或課本上現(xiàn)成的方法和思路去解決問題的現(xiàn)象．教師對解決錯誤問題時僅僅加以點評、引導(dǎo)、總結(jié)是遠遠不夠的．反思應(yīng)該是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必不可少的一個環(huán)節(jié)．引導(dǎo)學(xué)生進行反思是數(shù)學(xué)問題解決過程中重要的引導(dǎo)策略．

例如，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是AB上的中線，且CD=1，若△ABC的周長為2+■，求△ABC的面積．

■

通常設(shè)AC=x，BC=y用方程組x+y=■（1）x2+y2=22 （2）

求得x=■y=■或x=■y=■再求的S△ABC=■.

這時應(yīng)當回顧解題過程：題目要求什么？為什么要解方程組？求出x，y的值后是怎樣求面積的？不難看出本題的求解過程還可以優(yōu)化：把（1）式平方減去（2）式，得2xy=1，可得S△ABC=■xy=■．

解題回顧的過程中，要回顧：一開始是怎樣探索的，走過哪些彎路，產(chǎn)生過哪些錯誤，為什么會出現(xiàn)這些彎路和錯誤等．久而久之，就可以總結(jié)出帶有規(guī)律性的經(jīng)驗．這些帶有規(guī)律性的經(jīng)驗，有的是解題的策略，有的是解題的元認知知識，它們都是今后解題的行動指南。

（二）優(yōu)化數(shù)學(xué)解題的引導(dǎo)策略，發(fā)展創(chuàng)造力

1.一題多解，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維

一題多解是從不同的角度、不同的方位審視分析同一題中的數(shù)量關(guān)系，用不同解法求得相同結(jié)果的思維過程．教學(xué)中適當?shù)囊活}多解，可以激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和去創(chuàng)造的強烈欲望，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維．

例如，如圖，已知四邊形ABCD中，AB=CD，M、N分別是AD、BC的中點，EF⊥MN，求證：∠AEF=∠DFE．

同學(xué)們有以下證法：

解法一（如圖1）：

延長BA，NM，CD，交于點G，H，連接BD，取中點P，連接MP，NP

∵AB=CD，M，N，P為中點，∴MP=NP（中位線的意義）

∴∠PNM=∠PMN=∠BGN=∠CHN．

∵MN⊥EF，∴∠HOF=∠HOE=90°∴∠FEA=∠EFD

解法二（如圖2）：

分別過點D，B作AB，AD的平行線，交于點G連接CG，取CG的中點H，連接NH，DH

∵AB=CD，且AB∥DG，AD∥BG．∴AB=DG=CD，∠AEF=∠DLF，可證△CGD為等腰三角形，得NH=DM且NH∥DM，∴四邊形MDHN為平行四邊形，

易得∠AEF=∠DFE

解法三（如圖3）：

過點M，B，C，M作AB，AM，DM，CD的平行線，交于點O，P，連接OP

∵M為中點，易得BP=OC，

∵N為中點，可得△BPN≌△CON，∴PN=ON

可得MN⊥OP，∵EF⊥MN，易得∠AEF=∠DFE

■

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性空前高漲，信心倍增．

2.多題一解，培養(yǎng)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)模型的能力

發(fā)展數(shù)學(xué)創(chuàng)造力，需要有把握問題的實質(zhì)的能力，學(xué)生在解決問題的學(xué)習(xí)中，必須要以已有的解題經(jīng)驗為基礎(chǔ)，同時要在新問題與舊經(jīng)驗之間建構(gòu)起意義上的聯(lián)系．新課程標準也要求培養(yǎng)學(xué)生的建模思想．

例如，（1）如圖4，已知等腰△ABC中，AB=AC.D是底邊BC上任一點，過點D作DE⊥AB，垂足為E，作DF⊥AC，垂足為F，求證：DE+DF為定值．

■

圖4 圖5

（2）如圖5，已知正方形ABCD中，G是BC邊上任一點，對角線BD，AC交于點O，過點G作GE⊥BD，垂足為E，GF⊥AC，垂足為F，求證：GE+GF為定值．

至此，再將問題的背景變化到其他四邊形，如，矩形、等腰梯形等，或者將條件中點的位置更一般化，如（圖4）中的D是直線BC上一點等．

學(xué)生通過分析對比，不僅加深了對圖形的幾何性質(zhì)的理解，更重要的是體驗了化歸的思想．

總之，在日常教學(xué)中，我們不僅要培養(yǎng)學(xué)生具有現(xiàn)代化科學(xué)的系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識和基本技能，更應(yīng)注重學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累，促使學(xué)生學(xué)會思考，具有獨立地、創(chuàng)造性地解決問題的能力．筆者通過創(chuàng)設(shè)良好的數(shù)學(xué)問題情境，激發(fā)創(chuàng)造熱情；關(guān)注數(shù)學(xué)解題的思維過程，培養(yǎng)創(chuàng)造意識；優(yōu)化數(shù)學(xué)解題的引導(dǎo)策略，發(fā)展創(chuàng)造力三部分對數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中發(fā)展創(chuàng)造力進行了理性思考和實踐探究。

參考文獻：

［1］馬忠林.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論.廣西教育出版社，2001.

［2］邵瑞珍.教育心理學(xué).上海教育出版社，1998.

［3］G·波利亞.怎樣解題.科學(xué)出版社，1982.

［4］羅增儒，羅新兵.作為數(shù)學(xué)教育任務(wù)的數(shù)學(xué)解題.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2005（01）.

編輯 王團蘭

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》明確將“獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識．”作為總目標之一，以上提到“作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)不是現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，而是創(chuàng)造的數(shù)學(xué)”。提出通過數(shù)學(xué)問題解決的學(xué)習(xí)，可以發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生獨立地、創(chuàng)造性地解決問題的能力，而問題解決的主要形式和途徑是數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵。從創(chuàng)設(shè)良好的數(shù)學(xué)問題情境，激發(fā)創(chuàng)造熱情；關(guān)注數(shù)學(xué)解題的思維過程，培養(yǎng)創(chuàng)造意識；優(yōu)化數(shù)學(xué)解題的引導(dǎo)策略，發(fā)展創(chuàng)造力三部分對在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力作了理性思考，并聯(lián)系教學(xué)實踐做了操作性的闡述．

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題；教學(xué)過程；發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造力

一、解題教學(xué)發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造力的理念解析

創(chuàng)造力一般是指產(chǎn)生新的想法，發(fā)現(xiàn)和制造新的事物的能力．創(chuàng)造力與一般能力的區(qū)別在于它的新穎性和獨創(chuàng)性．它的主要成分是發(fā)散思維，即無定向、無約束地由已知探索未知的思維方式.數(shù)學(xué)本身的特點使它與創(chuàng)造力有著不解之緣。數(shù)學(xué)問題解決的能力是數(shù)學(xué)能力的核心．解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中有其不可替代的重要作用：（1）解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容；（2）解題是掌握數(shù)學(xué)，學(xué)會“數(shù)學(xué)地思維”的基本途徑；（3）解題是評價學(xué)習(xí)的重要方式。數(shù)學(xué)教學(xué)的一個很重要的任務(wù)，就是教學(xué)生學(xué)習(xí)如何解數(shù)學(xué)題，教學(xué)生學(xué)會“數(shù)學(xué)地思維”．學(xué)數(shù)學(xué)，就要解數(shù)學(xué)題，數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)對學(xué)生鞏固知識、培養(yǎng)素質(zhì)、發(fā)展能力和促進個性心理發(fā)展都具有極其重要的作用和意義．

二、在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造力

（一）關(guān)注數(shù)學(xué)解題思維過程，培養(yǎng)創(chuàng)造意識

我們在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，不僅要關(guān)心問題的結(jié)果，更要關(guān)心求得結(jié)果的過程，即問題解決的整個思考過程．數(shù)學(xué)解題思維過程的四個階段實質(zhì)是：理解、轉(zhuǎn)換、實施、反思，關(guān)注數(shù)學(xué)問題解決的過程，就應(yīng)關(guān)注解題的每個階段：

1.理解題目

任何問題解決的過程，首先是理解這個問題，對它進行表征以形成問題空間．例如：

求■+■（x≥0）的最小值.

學(xué)生從代數(shù)意義上理解問題，因此，嘗試用函數(shù)的思想解決問題，但感到困難．此時我們可以帶學(xué)生重新審題：（1）你能重述問題嗎？（2）你用到了所有的條件嗎？（3）你能從幾何角度來理解■的意義嗎？

學(xué)生在熟悉題目的基礎(chǔ)上對問題進行幾何敘述，從而解決問題．具有創(chuàng)造力的人在解決問題時，總是以獨特的方式聯(lián)結(jié)不同的概念、知識，從而對問題作出創(chuàng)造性的理解.

2.擬定計劃

當學(xué)生開始解決數(shù)學(xué)問題時，我引導(dǎo)學(xué)生對自己提出開闊思路的問題：

（1）見到過這個問題嗎？見到過類似的問題嗎？（條件、圖、結(jié)論）

（2）見過與問題相關(guān)的問題嗎？（相關(guān)問題的條件，結(jié)論和方法可以利用嗎？）

例如，在四邊形ABCD中AD=BC，點E、F分別是AB、CD的中點，延長AD、BC與直線EF分別交于Ｐ、Ｑ兩點，求證：∠APE=∠BQE

這時可以聯(lián)想到已經(jīng)做過的問題：在四邊形ABCD中AD=BC，點E、F、M分別是AB、CD、AC的中點，求證：△EFM是等腰三角形.

不難發(fā)現(xiàn)兩題條件是相同的，三角形中位線定理可以利用，因而解決新問題的大門鑰匙已經(jīng)握在手中了．

創(chuàng)造力來自基本的認知過程，通過關(guān)注學(xué)生這一階段觀察、比較、分析、特殊化、一般化、模型化等數(shù)學(xué)思維方法的訓(xùn)練，必定促使其數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的發(fā)展．

3.實施計劃

執(zhí)行解題方案時，要檢查每一個步驟．在這一過程中我既會采用抽象、分類、歸納、演繹等邏輯思維的方式，也常常運用直覺靈感等非邏輯思維的方式來解決問題．在實施解題計劃時我們要清楚地“看出”這個步驟的正確性，并且“證明”這個步驟的正確性．

例如，已知x2+■=14，求x+■_______．

比較條件和目標，直覺告訴我們運算過程與乘法公式（a+b）2=a2+b2+2ab有關(guān)．但問題的解決還需借助恰當?shù)倪壿嬐评恚簒2+■與（x+■）2相差一項2x·■=2也就是說后者比前者大2．于是就有（x+■）2=16則x+■=±4．

直覺靈感屬非邏輯思維方式，它具有爆發(fā)性、靈活性，富有創(chuàng)造力．非邏輯思維能力的發(fā)展有賴于長期的有目的的邏輯思維，而邏輯思維也往往借助于直覺、靈感，發(fā)展學(xué)生的直覺思維和邏輯思維能力，從而促進創(chuàng)造力的發(fā)展．

4.回顧反思

引導(dǎo)學(xué)生自己去做，就必然出現(xiàn)學(xué)生經(jīng)常不用教師講的或課本上現(xiàn)成的方法和思路去解決問題的現(xiàn)象．教師對解決錯誤問題時僅僅加以點評、引導(dǎo)、總結(jié)是遠遠不夠的．反思應(yīng)該是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必不可少的一個環(huán)節(jié)．引導(dǎo)學(xué)生進行反思是數(shù)學(xué)問題解決過程中重要的引導(dǎo)策略．

例如，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是AB上的中線，且CD=1，若△ABC的周長為2+■，求△ABC的面積．

■

通常設(shè)AC=x，BC=y用方程組x+y=■（1）x2+y2=22 （2）

求得x=■y=■或x=■y=■再求的S△ABC=■.

這時應(yīng)當回顧解題過程：題目要求什么？為什么要解方程組？求出x，y的值后是怎樣求面積的？不難看出本題的求解過程還可以優(yōu)化：把（1）式平方減去（2）式，得2xy=1，可得S△ABC=■xy=■．

解題回顧的過程中，要回顧：一開始是怎樣探索的，走過哪些彎路，產(chǎn)生過哪些錯誤，為什么會出現(xiàn)這些彎路和錯誤等．久而久之，就可以總結(jié)出帶有規(guī)律性的經(jīng)驗．這些帶有規(guī)律性的經(jīng)驗，有的是解題的策略，有的是解題的元認知知識，它們都是今后解題的行動指南。

（二）優(yōu)化數(shù)學(xué)解題的引導(dǎo)策略，發(fā)展創(chuàng)造力

1.一題多解，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維

一題多解是從不同的角度、不同的方位審視分析同一題中的數(shù)量關(guān)系，用不同解法求得相同結(jié)果的思維過程．教學(xué)中適當?shù)囊活}多解，可以激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和去創(chuàng)造的強烈欲望，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維．

例如，如圖，已知四邊形ABCD中，AB=CD，M、N分別是AD、BC的中點，EF⊥MN，求證：∠AEF=∠DFE．

同學(xué)們有以下證法：

解法一（如圖1）：

延長BA，NM，CD，交于點G，H，連接BD，取中點P，連接MP，NP

∵AB=CD，M，N，P為中點，∴MP=NP（中位線的意義）

∴∠PNM=∠PMN=∠BGN=∠CHN．

∵MN⊥EF，∴∠HOF=∠HOE=90°∴∠FEA=∠EFD

解法二（如圖2）：

分別過點D，B作AB，AD的平行線，交于點G連接CG，取CG的中點H，連接NH，DH

∵AB=CD，且AB∥DG，AD∥BG．∴AB=DG=CD，∠AEF=∠DLF，可證△CGD為等腰三角形，得NH=DM且NH∥DM，∴四邊形MDHN為平行四邊形，

易得∠AEF=∠DFE

解法三（如圖3）：

過點M，B，C，M作AB，AM，DM，CD的平行線，交于點O，P，連接OP

∵M為中點，易得BP=OC，

∵N為中點，可得△BPN≌△CON，∴PN=ON

可得MN⊥OP，∵EF⊥MN，易得∠AEF=∠DFE

■

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性空前高漲，信心倍增．

2.多題一解，培養(yǎng)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)模型的能力

發(fā)展數(shù)學(xué)創(chuàng)造力，需要有把握問題的實質(zhì)的能力，學(xué)生在解決問題的學(xué)習(xí)中，必須要以已有的解題經(jīng)驗為基礎(chǔ)，同時要在新問題與舊經(jīng)驗之間建構(gòu)起意義上的聯(lián)系．新課程標準也要求培養(yǎng)學(xué)生的建模思想．

例如，（1）如圖4，已知等腰△ABC中，AB=AC.D是底邊BC上任一點，過點D作DE⊥AB，垂足為E，作DF⊥AC，垂足為F，求證：DE+DF為定值．

■

圖4 圖5

（2）如圖5，已知正方形ABCD中，G是BC邊上任一點，對角線BD，AC交于點O，過點G作GE⊥BD，垂足為E，GF⊥AC，垂足為F，求證：GE+GF為定值．

至此，再將問題的背景變化到其他四邊形，如，矩形、等腰梯形等，或者將條件中點的位置更一般化，如（圖4）中的D是直線BC上一點等．

學(xué)生通過分析對比，不僅加深了對圖形的幾何性質(zhì)的理解，更重要的是體驗了化歸的思想．

總之，在日常教學(xué)中，我們不僅要培養(yǎng)學(xué)生具有現(xiàn)代化科學(xué)的系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識和基本技能，更應(yīng)注重學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累，促使學(xué)生學(xué)會思考，具有獨立地、創(chuàng)造性地解決問題的能力．筆者通過創(chuàng)設(shè)良好的數(shù)學(xué)問題情境，激發(fā)創(chuàng)造熱情；關(guān)注數(shù)學(xué)解題的思維過程，培養(yǎng)創(chuàng)造意識；優(yōu)化數(shù)學(xué)解題的引導(dǎo)策略，發(fā)展創(chuàng)造力三部分對數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中發(fā)展創(chuàng)造力進行了理性思考和實踐探究。

參考文獻：

［1］馬忠林.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論.廣西教育出版社，2001.

［2］邵瑞珍.教育心理學(xué).上海教育出版社，1998.

［3］G·波利亞.怎樣解題.科學(xué)出版社，1982.

［4］羅增儒，羅新兵.作為數(shù)學(xué)教育任務(wù)的數(shù)學(xué)解題.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2005（01）.

編輯 王團蘭

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》明確將“獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識．”作為總目標之一，以上提到“作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)不是現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，而是創(chuàng)造的數(shù)學(xué)”。提出通過數(shù)學(xué)問題解決的學(xué)習(xí)，可以發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生獨立地、創(chuàng)造性地解決問題的能力，而問題解決的主要形式和途徑是數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵。從創(chuàng)設(shè)良好的數(shù)學(xué)問題情境，激發(fā)創(chuàng)造熱情；關(guān)注數(shù)學(xué)解題的思維過程，培養(yǎng)創(chuàng)造意識；優(yōu)化數(shù)學(xué)解題的引導(dǎo)策略，發(fā)展創(chuàng)造力三部分對在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力作了理性思考，并聯(lián)系教學(xué)實踐做了操作性的闡述．

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題；教學(xué)過程；發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造力

一、解題教學(xué)發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造力的理念解析

創(chuàng)造力一般是指產(chǎn)生新的想法，發(fā)現(xiàn)和制造新的事物的能力．創(chuàng)造力與一般能力的區(qū)別在于它的新穎性和獨創(chuàng)性．它的主要成分是發(fā)散思維，即無定向、無約束地由已知探索未知的思維方式.數(shù)學(xué)本身的特點使它與創(chuàng)造力有著不解之緣。數(shù)學(xué)問題解決的能力是數(shù)學(xué)能力的核心．解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中有其不可替代的重要作用：（1）解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容；（2）解題是掌握數(shù)學(xué)，學(xué)會“數(shù)學(xué)地思維”的基本途徑；（3）解題是評價學(xué)習(xí)的重要方式。數(shù)學(xué)教學(xué)的一個很重要的任務(wù)，就是教學(xué)生學(xué)習(xí)如何解數(shù)學(xué)題，教學(xué)生學(xué)會“數(shù)學(xué)地思維”．學(xué)數(shù)學(xué)，就要解數(shù)學(xué)題，數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)對學(xué)生鞏固知識、培養(yǎng)素質(zhì)、發(fā)展能力和促進個性心理發(fā)展都具有極其重要的作用和意義．

二、在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造力

（一）關(guān)注數(shù)學(xué)解題思維過程，培養(yǎng)創(chuàng)造意識

我們在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，不僅要關(guān)心問題的結(jié)果，更要關(guān)心求得結(jié)果的過程，即問題解決的整個思考過程．數(shù)學(xué)解題思維過程的四個階段實質(zhì)是：理解、轉(zhuǎn)換、實施、反思，關(guān)注數(shù)學(xué)問題解決的過程，就應(yīng)關(guān)注解題的每個階段：

1.理解題目

任何問題解決的過程，首先是理解這個問題，對它進行表征以形成問題空間．例如：

求■+■（x≥0）的最小值.

學(xué)生從代數(shù)意義上理解問題，因此，嘗試用函數(shù)的思想解決問題，但感到困難．此時我們可以帶學(xué)生重新審題：（1）你能重述問題嗎？（2）你用到了所有的條件嗎？（3）你能從幾何角度來理解■的意義嗎？

學(xué)生在熟悉題目的基礎(chǔ)上對問題進行幾何敘述，從而解決問題．具有創(chuàng)造力的人在解決問題時，總是以獨特的方式聯(lián)結(jié)不同的概念、知識，從而對問題作出創(chuàng)造性的理解.

2.擬定計劃

當學(xué)生開始解決數(shù)學(xué)問題時，我引導(dǎo)學(xué)生對自己提出開闊思路的問題：

（1）見到過這個問題嗎？見到過類似的問題嗎？（條件、圖、結(jié)論）

（2）見過與問題相關(guān)的問題嗎？（相關(guān)問題的條件，結(jié)論和方法可以利用嗎？）

例如，在四邊形ABCD中AD=BC，點E、F分別是AB、CD的中點，延長AD、BC與直線EF分別交于Ｐ、Ｑ兩點，求證：∠APE=∠BQE

這時可以聯(lián)想到已經(jīng)做過的問題：在四邊形ABCD中AD=BC，點E、F、M分別是AB、CD、AC的中點，求證：△EFM是等腰三角形.

不難發(fā)現(xiàn)兩題條件是相同的，三角形中位線定理可以利用，因而解決新問題的大門鑰匙已經(jīng)握在手中了．

創(chuàng)造力來自基本的認知過程，通過關(guān)注學(xué)生這一階段觀察、比較、分析、特殊化、一般化、模型化等數(shù)學(xué)思維方法的訓(xùn)練，必定促使其數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的發(fā)展．

3.實施計劃

執(zhí)行解題方案時，要檢查每一個步驟．在這一過程中我既會采用抽象、分類、歸納、演繹等邏輯思維的方式，也常常運用直覺靈感等非邏輯思維的方式來解決問題．在實施解題計劃時我們要清楚地“看出”這個步驟的正確性，并且“證明”這個步驟的正確性．

例如，已知x2+■=14，求x+■_______．

比較條件和目標，直覺告訴我們運算過程與乘法公式（a+b）2=a2+b2+2ab有關(guān)．但問題的解決還需借助恰當?shù)倪壿嬐评恚簒2+■與（x+■）2相差一項2x·■=2也就是說后者比前者大2．于是就有（x+■）2=16則x+■=±4．

直覺靈感屬非邏輯思維方式，它具有爆發(fā)性、靈活性，富有創(chuàng)造力．非邏輯思維能力的發(fā)展有賴于長期的有目的的邏輯思維，而邏輯思維也往往借助于直覺、靈感，發(fā)展學(xué)生的直覺思維和邏輯思維能力，從而促進創(chuàng)造力的發(fā)展．

4.回顧反思

引導(dǎo)學(xué)生自己去做，就必然出現(xiàn)學(xué)生經(jīng)常不用教師講的或課本上現(xiàn)成的方法和思路去解決問題的現(xiàn)象．教師對解決錯誤問題時僅僅加以點評、引導(dǎo)、總結(jié)是遠遠不夠的．反思應(yīng)該是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必不可少的一個環(huán)節(jié)．引導(dǎo)學(xué)生進行反思是數(shù)學(xué)問題解決過程中重要的引導(dǎo)策略．

例如，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是AB上的中線，且CD=1，若△ABC的周長為2+■，求△ABC的面積．

■

通常設(shè)AC=x，BC=y用方程組x+y=■（1）x2+y2=22 （2）

求得x=■y=■或x=■y=■再求的S△ABC=■.

這時應(yīng)當回顧解題過程：題目要求什么？為什么要解方程組？求出x，y的值后是怎樣求面積的？不難看出本題的求解過程還可以優(yōu)化：把（1）式平方減去（2）式，得2xy=1，可得S△ABC=■xy=■．

解題回顧的過程中，要回顧：一開始是怎樣探索的，走過哪些彎路，產(chǎn)生過哪些錯誤，為什么會出現(xiàn)這些彎路和錯誤等．久而久之，就可以總結(jié)出帶有規(guī)律性的經(jīng)驗．這些帶有規(guī)律性的經(jīng)驗，有的是解題的策略，有的是解題的元認知知識，它們都是今后解題的行動指南。

（二）優(yōu)化數(shù)學(xué)解題的引導(dǎo)策略，發(fā)展創(chuàng)造力

1.一題多解，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維

一題多解是從不同的角度、不同的方位審視分析同一題中的數(shù)量關(guān)系，用不同解法求得相同結(jié)果的思維過程．教學(xué)中適當?shù)囊活}多解，可以激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和去創(chuàng)造的強烈欲望，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維．

例如，如圖，已知四邊形ABCD中，AB=CD，M、N分別是AD、BC的中點，EF⊥MN，求證：∠AEF=∠DFE．

同學(xué)們有以下證法：

解法一（如圖1）：

延長BA，NM，CD，交于點G，H，連接BD，取中點P，連接MP，NP

∵AB=CD，M，N，P為中點，∴MP=NP（中位線的意義）

∴∠PNM=∠PMN=∠BGN=∠CHN．

∵MN⊥EF，∴∠HOF=∠HOE=90°∴∠FEA=∠EFD

解法二（如圖2）：

分別過點D，B作AB，AD的平行線，交于點G連接CG，取CG的中點H，連接NH，DH

∵AB=CD，且AB∥DG，AD∥BG．∴AB=DG=CD，∠AEF=∠DLF，可證△CGD為等腰三角形，得NH=DM且NH∥DM，∴四邊形MDHN為平行四邊形，

易得∠AEF=∠DFE

解法三（如圖3）：

過點M，B，C，M作AB，AM，DM，CD的平行線，交于點O，P，連接OP

∵M為中點，易得BP=OC，

∵N為中點，可得△BPN≌△CON，∴PN=ON

可得MN⊥OP，∵EF⊥MN，易得∠AEF=∠DFE

■

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性空前高漲，信心倍增．

2.多題一解，培養(yǎng)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)模型的能力

發(fā)展數(shù)學(xué)創(chuàng)造力，需要有把握問題的實質(zhì)的能力，學(xué)生在解決問題的學(xué)習(xí)中，必須要以已有的解題經(jīng)驗為基礎(chǔ)，同時要在新問題與舊經(jīng)驗之間建構(gòu)起意義上的聯(lián)系．新課程標準也要求培養(yǎng)學(xué)生的建模思想．

例如，（1）如圖4，已知等腰△ABC中，AB=AC.D是底邊BC上任一點，過點D作DE⊥AB，垂足為E，作DF⊥AC，垂足為F，求證：DE+DF為定值．

■

圖4 圖5

（2）如圖5，已知正方形ABCD中，G是BC邊上任一點，對角線BD，AC交于點O，過點G作GE⊥BD，垂足為E，GF⊥AC，垂足為F，求證：GE+GF為定值．

至此，再將問題的背景變化到其他四邊形，如，矩形、等腰梯形等，或者將條件中點的位置更一般化，如（圖4）中的D是直線BC上一點等．

學(xué)生通過分析對比，不僅加深了對圖形的幾何性質(zhì)的理解，更重要的是體驗了化歸的思想．

總之，在日常教學(xué)中，我們不僅要培養(yǎng)學(xué)生具有現(xiàn)代化科學(xué)的系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識和基本技能，更應(yīng)注重學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累，促使學(xué)生學(xué)會思考，具有獨立地、創(chuàng)造性地解決問題的能力．筆者通過創(chuàng)設(shè)良好的數(shù)學(xué)問題情境，激發(fā)創(chuàng)造熱情；關(guān)注數(shù)學(xué)解題的思維過程，培養(yǎng)創(chuàng)造意識；優(yōu)化數(shù)學(xué)解題的引導(dǎo)策略，發(fā)展創(chuàng)造力三部分對數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中發(fā)展創(chuàng)造力進行了理性思考和實踐探究。

參考文獻：

［1］馬忠林.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論.廣西教育出版社，2001.

［2］邵瑞珍.教育心理學(xué).上海教育出版社，1998.

［3］G·波利亞.怎樣解題.科學(xué)出版社，1982.

［4］羅增儒，羅新兵.作為數(shù)學(xué)教育任務(wù)的數(shù)學(xué)解題.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2005（01）.

編輯 王團蘭