張海輝

摘 要： 高等數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程，也是理工類(lèi)等非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的必修科目。日常的高等數(shù)學(xué)教學(xué)無(wú)太多的實(shí)踐應(yīng)用，更側(cè)重于書(shū)本知識(shí)的傳授與講解。本文從數(shù)學(xué)模型的角度，闡述了高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型的思想滲透與教學(xué)實(shí)例，為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)及教學(xué)搭建了一個(gè)應(yīng)用型、實(shí)踐型平臺(tái)，探討了新時(shí)期培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新與實(shí)踐相關(guān)能力的一個(gè)有效途徑。

關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué) 概念教學(xué) 思想滲透 應(yīng)用能力培養(yǎng)

《高等數(shù)學(xué)》是各大院校非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)類(lèi)主干課程。一直以來(lái)，在高等數(shù)學(xué)的教與學(xué)中，存在若干誤區(qū)。一方面，教師在講臺(tái)上不遺余力，全身心地投入。另一方面，眾多學(xué)生拋出了數(shù)學(xué)無(wú)用論的語(yǔ)調(diào)，認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)根本就沒(méi)有什么用途與前途，對(duì)日后的工作、就業(yè)、生活無(wú)太多的幫助與作用，認(rèn)為大學(xué)數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)不需要花太多心思與精力去學(xué)習(xí)，因?yàn)槠潆x自己很遠(yuǎn)，更有學(xué)生形成了學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)無(wú)用論的錯(cuò)誤觀念。

數(shù)學(xué)建模在近幾十年的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，是數(shù)學(xué)知識(shí)在各個(gè)領(lǐng)域運(yùn)用的最典型的體現(xiàn)。在抽象、嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用的一些問(wèn)題之間架起了橋梁，起到了紐帶的作用。數(shù)學(xué)建模的運(yùn)用反映了數(shù)學(xué)的各科知識(shí)，又解決了實(shí)際問(wèn)題。越來(lái)越多的教師在各個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科的教學(xué)中開(kāi)始滲透與運(yùn)用建模的思想和方法。著名的院士李大潛說(shuō)過(guò)，要將數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)模型的一些理論、方法、觀念、思維和大學(xué)數(shù)學(xué)的一些課程相結(jié)合，相融合、相滲透。安排具體的實(shí)踐課程，構(gòu)建具體的實(shí)踐案例應(yīng)用于實(shí)際教學(xué)過(guò)程。這對(duì)于學(xué)生提高課堂的參與性、互動(dòng)性、主動(dòng)性，對(duì)于學(xué)生在快樂(lè)、愉悅、實(shí)際的環(huán)境中體會(huì)數(shù)學(xué)的美、數(shù)學(xué)的樂(lè)趣、數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，對(duì)于學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)與生活的實(shí)際結(jié)合領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)、學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容，由此培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的能力有非常大的促進(jìn)與推動(dòng)作用。下面將分類(lèi)別從幾個(gè)方面說(shuō)明數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)領(lǐng)域的滲透與運(yùn)用。

1.在高等數(shù)學(xué)的概念教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想

高等數(shù)學(xué)的概念教學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)與重點(diǎn)，大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不同于中學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)側(cè)重于理解，需要大量的練習(xí)輔助。而大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)很多知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，更側(cè)重的是對(duì)于概念的理解與運(yùn)用，掌握與延伸。譬如，高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)模塊線(xiàn)性代數(shù)的學(xué)習(xí)，線(xiàn)性代數(shù)的線(xiàn)性相關(guān)性、線(xiàn)性無(wú)關(guān)等概念，更側(cè)重的是定義的掌握與性質(zhì)的理解。而這些，在傳統(tǒng)的教學(xué)課堂上，學(xué)生是不太容易理解和掌握的，甚至學(xué)生有的時(shí)候不知道你在說(shuō)什么，講什么，為什么。因此，具有實(shí)際背景的實(shí)踐與實(shí)際應(yīng)用實(shí)例會(huì)讓學(xué)生更有興趣，對(duì)于所學(xué)的知識(shí)有求知欲，特別是如果能在學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)穿插或引用這些模型的思想，那就更是恰到好處，事半功倍。

舉個(gè)實(shí)例：在學(xué)習(xí)介值性定理的時(shí)候，對(duì)于連續(xù)函數(shù)，如果在一個(gè)連續(xù)的區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)，則在其區(qū)間內(nèi)部一定存在一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值等于零。數(shù)學(xué)分析或者高等數(shù)學(xué)以至考研入學(xué)試題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)運(yùn)用介值定理（或稱(chēng)根的存在性定理）命題?？墒呛芏嗤瑢W(xué)在學(xué)習(xí)的時(shí)候會(huì)問(wèn)：介值性定理到底有什么用，除了能用來(lái)解題外，在實(shí)際生活中有應(yīng)用嗎？在經(jīng)典的數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，有一個(gè)模型：椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？這個(gè)模型運(yùn)用的是基本的函數(shù)思想，將椅子能在不平的地面上放穩(wěn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)與實(shí)際應(yīng)用密切相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，最后運(yùn)用函數(shù)的介值性定理解決問(wèn)題。這就是一個(gè)非常好的在日常的概念與知識(shí)體系教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的例子。當(dāng)然，并不是所有的概念都一定要附和一個(gè)相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)模型，這不是我們的目的與教學(xué)的正確方法，應(yīng)該有選擇性地穿插、引用經(jīng)典的，或者在授課過(guò)程中，根據(jù)課堂的氣氛、學(xué)生反映、學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的程度適當(dāng)、適時(shí)、適度地滲透數(shù)學(xué)模型的教學(xué)，達(dá)到有機(jī)、合理、互進(jìn)式的整合。

2.在應(yīng)用型知識(shí)與問(wèn)題教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想

在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，很多科目的學(xué)習(xí)本身就與實(shí)踐有著緊密聯(lián)系，譬如常微分方程、概率等的學(xué)習(xí)，我們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中本身就會(huì)接觸很多實(shí)際問(wèn)題。只不過(guò)這些問(wèn)題或作業(yè)或練習(xí)的目的是為了教材上知識(shí)點(diǎn)的邏輯推理與運(yùn)用的掌握。在相關(guān)教學(xué)環(huán)節(jié)，教師應(yīng)該全面而充分地了解與把握教材中相關(guān)問(wèn)題的應(yīng)用背景，讓學(xué)生了解并知曉這些問(wèn)題的實(shí)用價(jià)值。對(duì)于一些本身就涉及與關(guān)聯(lián)實(shí)際生活或相關(guān)應(yīng)用領(lǐng)域的例題和習(xí)題，通過(guò)引導(dǎo)、通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題的實(shí)際探討，使學(xué)生深刻體會(huì)到這其中所用的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想，同時(shí)結(jié)合各學(xué)科學(xué)生所學(xué)專(zhuān)業(yè)的實(shí)際問(wèn)題，如物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際背景，滲透數(shù)學(xué)建模思想。例如在講解高等數(shù)學(xué)的變化率的時(shí)候，可以結(jié)合實(shí)際生活中的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，在經(jīng)濟(jì)管理專(zhuān)業(yè)的課程中，引入蛛網(wǎng)模型及相應(yīng)的敏感度分析，讓學(xué)生與自己的學(xué)科相聯(lián)系，加深對(duì)問(wèn)題的理解，進(jìn)一步拓寬知識(shí)面。又如，對(duì)工科學(xué)生講變力做功時(shí)，就要用到定積分知識(shí)的數(shù)學(xué)建模，對(duì)于管理專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，在安排生產(chǎn)、車(chē)輛調(diào)度時(shí)要應(yīng)用到線(xiàn)性規(guī)劃模型。這樣結(jié)合學(xué)生所學(xué)專(zhuān)業(yè)的實(shí)際問(wèn)題滲透數(shù)學(xué)建模思想，使數(shù)學(xué)知識(shí)直接應(yīng)用于學(xué)生今后的專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)中，有效地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，極大地提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

3.在教學(xué)與課后作業(yè)環(huán)節(jié)適度運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件

多媒體的教學(xué)手段在現(xiàn)代教學(xué)中起到了不可或缺的推動(dòng)作用。課堂上的多媒體教學(xué)對(duì)教師的教與學(xué)生的學(xué)起到明顯的促進(jìn)與提升作用。學(xué)生學(xué)習(xí)環(huán)境的改善與學(xué)習(xí)相關(guān)資源的豐富、教學(xué)的硬件的提高為我們?cè)谌粘５恼n堂教學(xué)中或課堂之后的學(xué)生的個(gè)人學(xué)習(xí)生活中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模思想的滲透與潛移默化的應(yīng)用提供了現(xiàn)實(shí)的可能。在國(guó)外，很多學(xué)生并不會(huì)算復(fù)雜無(wú)比的算式，但他們會(huì)嫻熟地運(yùn)用電腦軟件輔助課后學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)與軟件使用的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)相關(guān)的規(guī)律并更好、更深刻地理解了所學(xué)知識(shí)。如，在講解一些導(dǎo)數(shù)、方程、函數(shù)、我們可以借助軟件描繪相關(guān)的圖形、動(dòng)態(tài)演示相關(guān)的變化過(guò)程，通過(guò)這樣一些建模與模型的主動(dòng)滲透的意識(shí)主動(dòng)性地借助于便捷、形象、生動(dòng)的客觀軟件載體深化學(xué)習(xí)，更好地提高對(duì)實(shí)際問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與解決能力。

綜上，高等數(shù)學(xué)教學(xué)是大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)教學(xué)中的最基礎(chǔ)最重要的一環(huán)，學(xué)好這門(mén)基礎(chǔ)課程對(duì)于掌握相關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及后續(xù)課程的學(xué)習(xí)有著非常重要的作用。教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)建模在建立和處理相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，實(shí)際上就是將相關(guān)的數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐解題過(guò)程。任課老師應(yīng)該在平時(shí)的日常教學(xué)組織管理中有意識(shí)地體現(xiàn)相關(guān)的數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模的思想，在教學(xué)過(guò)程中著力培養(yǎng)學(xué)生相關(guān)的數(shù)學(xué)模型意識(shí)，提高學(xué)生的興趣，強(qiáng)化求知意識(shí)，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力、實(shí)踐及創(chuàng)造的能力。這對(duì)于培養(yǎng)新一代應(yīng)用型大學(xué)生有很重大的現(xiàn)實(shí)意義。

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現(xiàn)主持國(guó)家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元基金（項(xiàng)目號(hào)：11226285）。endprint