廣東金丹

引言

高等幾何是高等師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的主干課程之一，不少學(xué)者將它與數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)并稱為數(shù)學(xué)教育基礎(chǔ)課程的“三高”，其重要性不言而喻。但現(xiàn)實(shí)教學(xué)工作中，教師可能會(huì)因?yàn)楦惺懿坏礁叩葞缀闻c初等幾何知識(shí)之間的直接聯(lián)系，忽視高等幾何而造成了初等幾何與高等幾何知識(shí)的脫節(jié)，無(wú)法構(gòu)建起較為完整的幾何知識(shí)體系。

事實(shí)上，無(wú)論是數(shù)學(xué)的哪一個(gè)分支，都遵循由淺及深的發(fā)展規(guī)律。高等幾何是初等幾何的承接，在知識(shí)上是初等幾何的因襲和擴(kuò)張，在觀念上是初等幾何的深化與發(fā)展[1]。在高等幾何中貫穿著大量的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想、方法和觀點(diǎn)，不僅能擴(kuò)展幾何知識(shí)領(lǐng)域，開闊幾何視野，提高個(gè)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還能加深教師對(duì)初等幾何的理解，進(jìn)而站在更高的層次靈活引導(dǎo)學(xué)生處理初等幾何問(wèn)題，這對(duì)于教師從事的數(shù)學(xué)教學(xué)工作有著極其重要而深遠(yuǎn)的影響。

高等幾何對(duì)初等幾何的指導(dǎo)意義這個(gè)論題有著非常廣闊而豐富的研究空間，多年來(lái)有不少的國(guó)內(nèi)外學(xué)者潛心鉆研在這一問(wèn)題上，而且也得到了許多精彩的結(jié)論。本文筆者借鑒前人的研究成果，嘗試從高等幾何課程地位和新大綱背景下對(duì)中職初等幾何教學(xué)要求的角度來(lái)認(rèn)識(shí)高等幾何與初等幾何的關(guān)系，淺談高等幾何學(xué)習(xí)對(duì)豐富初等幾何研討方法和拓寬初等幾何解題途徑的指導(dǎo)意義。

1 高等幾何對(duì)初等幾何教學(xué)的指導(dǎo)意義

1.1 高等幾何和初等幾何的界定與聯(lián)系

在探討高等幾何對(duì)初等幾何解題研究的指導(dǎo)作用之前，首先就本文所涉及到的高等幾何和初等幾何這兩個(gè)概念所涵蓋的范圍加以限定，并簡(jiǎn)單了解其內(nèi)容特點(diǎn)以及在克萊因群論觀點(diǎn)下存在的內(nèi)在聯(lián)系，明確高等幾何與初等幾何之間并不是相互孤立的：初等幾何是高等幾何的基礎(chǔ)，而高等幾何是初等幾何的延伸和拓展。

習(xí)慣上，我們把小學(xué)和中學(xué)階段所接觸的幾何知識(shí)都納入初等幾何范圍。初等幾何以歐氏幾何為理論基礎(chǔ)，是幾何學(xué)中最為基礎(chǔ)的部分，包括空間與圖形、平面解析幾何、立體幾何等等。初等幾何所涉及的思想方法具有較強(qiáng)的針對(duì)性，內(nèi)容相對(duì)直觀，學(xué)生可以先直接采用觀察、測(cè)量等實(shí)驗(yàn)手段了解幾何圖形，發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，再根據(jù)實(shí)際認(rèn)知水平逐步抽象思維，完成邏輯演繹證明。而我們所說(shuō)的“高等幾何”通常是指在19世紀(jì)初期產(chǎn)生的另一幾何學(xué)重要分支——射影幾何。它的開辟和盛行，一方面是由于它有巨大的美學(xué)魅力，另一方面是由于它把幾何作為一個(gè)整體來(lái)研究時(shí)所獲得的明顯效果以及它與非歐幾何的緊密聯(lián)系[2]。高等幾何主要以克萊因的幾何學(xué)群論觀點(diǎn)為指導(dǎo)，他提出采用變換群對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類，重點(diǎn)突出變換不變性的基本數(shù)學(xué)思想，這在幾何學(xué)不同的理論體系中具有一定的普適性。結(jié)合克萊因的群論觀點(diǎn)，我們可以這樣概括：歐氏幾何涵蓋于射影幾何，歐氏幾何是射影幾何的一個(gè)特例。

1.2 高等幾何和初等幾何的課程地位

初等幾何一直都是中等職業(yè)院校數(shù)學(xué)教育的重要組成部分之一，而高等幾何是高等師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的基礎(chǔ)課程之一，初等幾何與高等幾何的課程開設(shè)都具有其必要性和重要性。研究高等幾何知識(shí)體系的構(gòu)建對(duì)中職數(shù)學(xué)教學(xué)工作產(chǎn)生的影響，有必要關(guān)注高等幾何課程的教學(xué)目的和新大綱背景下對(duì)初等幾何教學(xué)的要求。

1.2.1 高等幾何的教學(xué)目的

培養(yǎng)具有現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)教學(xué)的數(shù)學(xué)教師，是高等師范院校數(shù)學(xué)教育的培養(yǎng)方向。高等幾何作為高師數(shù)學(xué)專業(yè)的重要專業(yè)課程之一，是數(shù)學(xué)教育任務(wù)的重要組成部分，其課程的開設(shè)一般是安排在學(xué)習(xí)了解析幾何和高等代數(shù)之后，目的是在具備一定的初等幾何、解析幾何和高等代數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地學(xué)習(xí)射影幾何知識(shí)，引入變換群觀點(diǎn)，抓住變換和不變性的基本數(shù)學(xué)思想。高等幾何涵蓋了大量現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想、方法、理論、應(yīng)用等，對(duì)于發(fā)展空間概念，豐富高層次的幾何知識(shí)，提高數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯推理和合情推理能力具有重要作用。不僅能更深入地認(rèn)識(shí)幾何學(xué)，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)微分幾何、畫法幾何或者其他高等數(shù)學(xué)知識(shí)做好準(zhǔn)備，還訓(xùn)練了抽象思維，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)審美意識(shí)，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)修養(yǎng)，提高了從師能力，為數(shù)學(xué)教學(xué)工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

1.2.2 新教學(xué)大綱對(duì)初等幾何的要求

清華大學(xué)蕭樹鐵教授說(shuō)，在我國(guó)的傳統(tǒng)文化中，邏輯思維一直比較薄弱，數(shù)學(xué)，尤其是歐氏幾何，在這方面的訓(xùn)練是大有可為的。著名數(shù)學(xué)家陳省身在2002年接受采訪時(shí)更是強(qiáng)調(diào)，中學(xué)一定要講歐氏幾何，幾何推理的部分不能取消，整個(gè)數(shù)學(xué)就是建立在推理之上的。2009年重新修訂的《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》就是在教育形勢(shì)的發(fā)展和教學(xué)改革的不斷深入的大環(huán)境下應(yīng)運(yùn)而生的，它明確了“以服務(wù)為宗旨，以就業(yè)為導(dǎo)向，以提高質(zhì)量為重點(diǎn)”的辦學(xué)方針，提出本課程的任務(wù)是：使學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，具備必需的相關(guān)技能與能力，為學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)、掌握職業(yè)技能、繼續(xù)學(xué)習(xí)和終身發(fā)展奠定基礎(chǔ)。新大綱將數(shù)學(xué)課程劃分為基礎(chǔ)模塊、職業(yè)模塊和拓展模塊，在各模塊間進(jìn)行知識(shí)組合，在各學(xué)科間進(jìn)行知識(shí)滲透。在新大綱下，培養(yǎng)目標(biāo)已經(jīng)由重點(diǎn)培養(yǎng)邏輯思維能力轉(zhuǎn)向培養(yǎng)幾何直觀能力和空間想象能力，這要求教師調(diào)整教學(xué)觀念和教學(xué)方法，“注意突出幾何的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算等探索與研究幾何問(wèn)題的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直覺(jué)”。[3]幾何學(xué)的教育價(jià)值不容小覷，歐氏幾何長(zhǎng)期以來(lái)作為訓(xùn)練邏輯推理的素材的地位不可取代，幾何對(duì)學(xué)生多種能力的塑造和培養(yǎng)有著至關(guān)重要的影響。

1.3 豐富初等幾何研討方法，拓寬初等幾何解題途徑

明確了高等幾何與初等幾何的關(guān)聯(lián)，將有利于我們把高等幾何中獲得的觀點(diǎn)、體會(huì)反饋于初等幾何。事實(shí)上，將高等數(shù)學(xué)知識(shí)下放到初等數(shù)學(xué)教材中的成分越來(lái)越多，我們所熟悉的初等幾何中有部分內(nèi)容是需要以高等幾何為理論依據(jù)的，例如平面幾何的平移、旋轉(zhuǎn)是在正交變換群下的合同變換；立體幾何直觀圖的畫法、截面圖的作法分別是以透視仿射對(duì)應(yīng)性質(zhì)及笛沙格定理的理論為作圖依據(jù)[4]。前蘇聯(lián)幾何學(xué)家亞格龍?jiān)?jīng)指出：“在初等幾何中……，包含了兩個(gè)重要的有普遍意義的思想，它們構(gòu)成了幾何學(xué)的一切進(jìn)一步發(fā)展的基礎(chǔ)，其重要性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了幾何學(xué)的界限。其中之一是演繹法和幾何學(xué)的公理基礎(chǔ)；另一個(gè)是幾何的變換和幾何學(xué)的群論基礎(chǔ)?！笨梢?，學(xué)生在學(xué)習(xí)初等幾何的過(guò)程中，實(shí)際上也是接受高等幾何數(shù)學(xué)意識(shí)和思想方法滲透的過(guò)程。利用這一特點(diǎn)，我們可以考慮用高等幾何理論來(lái)解決部分初等幾何問(wèn)題，從而為初等幾何研究探討和解題方法尋求更廣泛的途徑[5]。另一方面，由于許多高等幾何定理、命題可以給出初等幾何的證明或解答，因此也可以將此類高等幾何問(wèn)題進(jìn)行改編，創(chuàng)作出初等幾何中的提高題、壓軸題等，這無(wú)疑為教師們探索初等幾何的教學(xué)和科研指明了方向。

下文將通過(guò)仿射變換尋找初等幾何命題解題思路。

在高等幾何中，只要經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)姆律渥儞Q，任意一個(gè)三角形、平行四邊形、梯形或橢圓可對(duì)應(yīng)變?yōu)樘厥獾恼切?、正方形、等腰梯形或圓形。如果所給命題在這些特殊的圖形中結(jié)論成立，則根據(jù)仿射變換保持同素性、結(jié)合性、平行性、共線三點(diǎn)的單比不變、封閉圖形的面積之比不變等性質(zhì)即可推出在原命題中結(jié)論也成立[4]。

例如：將任意三角形每一頂點(diǎn)與對(duì)邊上的三等分點(diǎn)相連得六條直線，求證這六條直線所圍成的六邊形三雙對(duì)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)。

（圖 1）

（圖 2）

由于點(diǎn)線的結(jié)合性在仿射變換上都不變，所以可以利用仿射變換將任意三角形ΔA'B'C'（圖1）變成正三角形ABC（圖2），且各邊的三等分點(diǎn)及中點(diǎn)對(duì)應(yīng)變成正三角形各邊的三等分點(diǎn)和中點(diǎn)，因而本題就正三角形的情況證之。

因此，上述命題等價(jià)于：設(shè)L1、M1、N1（i＝1，2）分別為正三角形ABC三邊上的三等分點(diǎn)，由六條直線圍成六邊形P1R2Q1P2R1Q2，求證三雙對(duì)頂點(diǎn)的連線 P1P2，R1R2，Q1Q2共點(diǎn)。

顯然，運(yùn)用高等幾何的知識(shí)來(lái)處理上述題目時(shí)解法相當(dāng)簡(jiǎn)單。當(dāng)然這種高等解法不能直接進(jìn)入中職數(shù)學(xué)課堂，但仍具有重要的參考價(jià)值，為教師思考問(wèn)題指明方向，在一定程度上起到啟發(fā)和誘導(dǎo)的作用。高等幾何讓我們處于更高的立足點(diǎn)，以更遠(yuǎn)的視野、更豐富的知識(shí)，從幾何學(xué)的全局和整體來(lái)理解和把握初等幾何。面對(duì)初等幾何題目，我們的思路不再單一，可以嘗試站在另一種角度去思考、分析和理解初等問(wèn)題，以尋求更為簡(jiǎn)捷的處理方法，在不斷的探索中不僅豐富了初等幾何解題的途徑，還可以創(chuàng)新初等幾何問(wèn)題，充分發(fā)揮高等幾何對(duì)初等幾何的指導(dǎo)作用。

[1]關(guān)麗娟.高等幾何與初等幾何的相融性[J].高師理科學(xué)刊,2007，9：76.

[2]R·柯朗、H·羅賓.什么是數(shù)學(xué)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1995.

[3]中華人民共和國(guó)教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[4]李恩鳳.高等幾何與初等幾何的關(guān)系[J].青海師專學(xué)報(bào),2001，6：53.

[5]劉德金,張全信.試論高等幾何對(duì)初等幾何的指導(dǎo)作用[J].德州師專學(xué)報(bào),1997.

[6]張初榮.試談高等幾何對(duì)中學(xué)幾何教學(xué)的指導(dǎo)作用[J].零陵師專學(xué)報(bào),1989（第 3期）.